К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику, страница 4

Имеем©ª∂L= mekt/m a2 xẋ2 − gax .∂x∂L= mekt/m (1 + a2 x2 )ẋ ,∂ ẋПодставляя эти выражения в уравнение (1.16), получаем после сокращения на ekt/m(1 + a2 x2 )(mẍ + k ẋ) + max(g + aẋ2 ) = 0 .Пример 3. Движение в однородном магнитном поле. Рассмотрим движение заряженнойчастицы в постоянном однородном поле напряженности H. Выберем ось z в направлениивектора H. Тогда согласно (1.27) уравнения движения частицы примут видmẍ =qHẏ ,cmÿ = −qHẋ ,cmz̈ = 0 ,где H ≡ |H|. Из последнего уравнения следует немедленно, что z(t) = z0 + ż0 t, где z0 , ż0 –значения z-компонент радиус-вектора и скорости частицы в момент времени t = 0.

Первыеже два уравнения удобно интегрируются с помощью введения комплексной комбинацииu = x + iy. Умножая второе уравнение на i и складывая с первым, получимü = −iω u̇ ,16ω≡qH.mc§1.4. Диссипативные и электромагнитные силыПервый интеграл этого уравнения есть u̇ = −iωu + c, где c – некоторая комплекснаяпостоянная. Написав ее в виде c = iω(a+ib) с вещественными a и b, полученное уравнениеможно переписать так:v̇ = −iωv , v ≡ u − (a + ib) .Решение этого уравнения естьv = Ae−iωt ,где A – новая комплексная постоянная.

Записав ее в виде A = |A|e−iα и выделяя вещественную и мнимую части решения, получаем Re(v) = x − a = |A| cos(ωt + α) ,Im(v) = y − b = −|A| sin(ωt + α) , откудаx(t) = a + |A| cos(ωt + α) ,y(t) = b − |A| sin(ωt + α) .Из этих уравнений следует, в частности, уравнение проекции траектории частицы наплоскость (x, y):(x − a)2 + (y − b)2 = |A|2 .Это есть окружность радиуса |A| с центром в точке (a, b). Таким образом, в постоянномоднородном магнитном поле частица движется по винтовой линии, ось которой расположена параллельно вектору напряженности поля, причем абсолютная величина скоростичастицы и ее проекция на направление поля постоянны, а период одного витка не зависитот скорости и равен 2π/|ω|.17Глава 2.

Законы сохраненияГлава 2.СТВИЯЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙ-В примере 1 (глава 1) рассматривалась задача о движении точки в аксиальносимметричном поле. Мы нашли, что в этом случае функция Лагранжа не зависит явно от координаты φ, задающей угол поворота вокруг оси симметрии поля, а из уравнения Лагранжа по этой координате [см.

уравнение (1.20)] следует, что величина pφ = ρ2 φ̇остается постоянной при движении системы. Вообще, любая комбинация обобщенных координат и обобщенных скоростей, сохранение которой следует из уравнений движениясистемы, называется интегралом движения. Как видно, pφ является первым интеграломуравнений движения частицы. Поскольку для решения основной задачи механики требуется интегрировать уравнения движения, методы нахождения интегралов движениязанимают в ней центральное место.Важнейшей категорией интегралов движения являются законы сохранения, под которыми понимают величины, постоянство которых следует из свойств симметрии пространства и времени. Как показывает опыт, механические свойства замкнутой системы, т.е.

системы, на которую не действуют внешние силы, не меняются при произвольных перемещениях системы как целого в пространстве (т.е. перемещениях, сохраняющихвзаимные расстояния между точками системы). Любое такое перемещение можно представить в виде параллельного переноса (трансляции) системы в некотором направлениии ее поворота вокруг некоторой оси.

Неизменность свойств движения системы при такихчастного вида перемещениях называют соответственно однородностью и изотропией пространства относительно данной системы. Аналогично, механические свойства замкнутыхсистем оказываются одними и теми же независимо от того, на каком интервале временирассматривается их эволюция. Это свойство называют однородностью времени.Поскольку механические свойства системы полностью определяются заданием еефункции Лагранжа, то эти свойства будут оставаться неизменными при любом из указанных перемещений в пространстве или во времени, если данное перемещение не меняетфункции Лагранжа системы.§2.1.Законы сохранения импульса и момента импульсаРассмотрим следствия, вытекающие из свойств симметрии пространства.

Получимсперва общее выражение для вариации функции Лагранжа при перемещении системыв пространстве. Пусть силы, действующие на систему, а также наложенные на нее связитаковы, что функция Лагранжа не меняется при вариации обобщенных координат видаδqα = Qα (q)², где Qα (q) есть некоторые заданные функции обобщенных координат, а ² –малый постоянный параметр (независящий от q, t). Найдем соответствующее изменениеобобщенных скоростей.

По определению производной имее쵶qα (t + ∆t) − qα (t)dqα= δ limδ∆t→0dt∆tqα (t + ∆t) − qα (t)(qα + δqα )(t + ∆t) − (qα + δqα )(t)− lim= lim∆t→0∆t→0∆t∆tδqα (t + ∆t) − δqα (t),= lim∆t→0∆t18§2.1. Законы сохранения импульса и момента импульсат.е.δdqαd= δqα ,dtdt(2.1)и следовательно, δ q̇α = Q̇α ² . Используя этот результат, а также уравнения Лагранжа(1.16), вариацию функции Лагранжа можно представить в виде¾¾ Xs ½s ½X∂L∂Ld ∂L∂LδL =δqα +δ q̇α =Qα ² +Q̇α ² ,∂qα∂ q̇αdt ∂ q̇α∂ q̇αα=1α=1илиsd X ∂LQα .δL = ²dt α=1 ∂ q̇α(2.2)Таким образом, из условия неизменности функции Лагранжа, δL = 0, вытекает следующий закон сохраненияsX∂LQα = const .∂ q̇αα=1(2.3)Если вспомнить, что функция Лагранжа в обобщенных координатах получается изфункции Лагранжа в декартовых координатах согласно L = L(r(q), ṙ(q, q̇), t), то, применяя правило дифференцирования сложной функции, а также соотношение (1.13), левуючасть уравнения (2.3) можно переписать такÃ!¶ss XN µNsXXXX∂L∂L ∂ ṙi∂L∂ri δqαQα =,Qα =,,∂ q̇α∂ ṙi ∂ q̇α∂ ṙi α=1 ∂qα ²α=1α=1 i=1i=1или, учитывая формулу (1.8),¶sN µXX∂L∂L δriQα =,.∂q̇∂ṙ²αiα=1i=1(2.4)Рассмотрим теперь отдельно трансляции и повороты системы.

Пусть внешние поля исвязи, наложенные на систему, не нарушают однородности пространства в направлении,определяемом единичным вектором n. При трансляции системы в направлении вектораn на расстояние δr = ² радиус-векторы всех частиц системы получают одно и то жеприращение δri = n². По формулам (2.3), (2.4) находим закон сохранения!Ã NX ∂L, n = const.(2.5)∂ ṙii=1Таким образом, следствием однородности пространства в некотором направлении является сохранение проекции на это направление вектораP =NXpi ,i=119pi =∂L.∂ ṙiГлава 2.

Законы сохраненияРис. 1: К выводу формулы (2.6).Относительно замкнутой системы пространство однородно по всем направлениям, и поэтому все три компоненты вектора P такой системы сохраняются. Мы будем называтьP обобщенным декартовым импульсом системы (а вектор pi – обобщенным декартовымимпульсом i-ой частицы).Замечание 1: вектор pi = ∂L/∂ ṙi не совпадает, вообще говоря, с обычным импульсомmi ṙi . Характерным примером является движение при наличии магнитного поля (см.

§1.4).В этом случае формула (1.22) дает p = ∂L/∂ ṙ = mṙ + qc A.Рассмотрим теперь поворот системы как целого на угол δϕ = ² относительно некоторойоси, направление которой задается единичным вектором n по правилу правого винта.Выберем начало системы координат где-нибудь на оси поворота и определим, как приэтом меняется радиус-вектор r. Обозначим угол между векторами n и r через β (см.Рис. 1).

Вектор δr ортогонален плоскости, проходящей через векторы n, r, а его величина|δr| = (|r| sin β)δϕ .Если ввести вектор δϕ = nδϕ, то это выражение можно представить как модуль векторного произведения векторов δϕ и r : |δr| = |[δϕ, r]|. С другой стороны, направлениевектора [δϕ, r] совпадает с направлением δr, поэтому справедливо векторное равенствоδr = [δϕ, r] .(2.6)Таким образом, при повороте системы на угол δϕ радиус-векторы частиц системыполучают приращение δri = [δϕ, ri ], i = 1, ..., N.

Используя формулу (2.4) и циклическипереставляя сомножители скалярно-векторного произведения, найдем¶ XNN µNXX∂L δri(n, [ri , pi ]) .,(pi , [n, ri ]) ==∂ṙ²ii=1i=1i=1Закон сохранения (2.3) принимает вид!ÃNXn,[ri , pi ] = const .i=120(2.7)(2.8)§2.1. Законы сохранения импульса и момента импульсаТаким образом, из изотропии пространства относительно вращений вокруг направленияn следует сохранение проекции на это направление вектораM=NXmi ,mi = [ri , pi ] ,i=1называемого моментом импульса системы. Относительно замкнутой системы пространство изотропно по всем направлениям, и потому все три компоненты ее момента импульсасохраняются.Замечание 2: Так же как pi не всегда совпадает с обычным импульсом, mi не равен,вообще говоря, величине [ri , mi ṙi ].На величины, стоящие в левых частях уравнений (2.5) и (2.8), можно посмотреть такжеи с другой точки зрения. Вернемся к записи законов сохранения в форме (2.3).

Обозначимчерез x декартову координату, определяющую положение системы как целого по оси,параллельной вектору n. Если мы примем x за одну из обобщенных координат, скажемx ≡ q1 , то при трансляции в направлении n вариации обобщенных координат будут иметьвид½½δq1 = ²,Q1 = 1,⇒δqα = 0, α = 2, ..., s,Qα = 0, α = 2, ..., s,Подстановка в уравнение (2.3) приводит к закону сохранения∂L= const .∂ ẋ(2.9)Поскольку правая часть тождества (2.4) не зависит от выбора обобщенных координат, товеличина const – та же, что и в уравнении (2.5), т.е.∂L= (P , n) .∂ ẋ(2.10)Другими словами, производная функции Лагранжа по ẋ дает величину проекции обобщенного декартова импульса системы на направление n.

Аналогично, если мы выберемугол поворота ϕ системы как целого вокруг некоторой оси за одну из обобщенных координат, например, ϕ ≡ q1 , то вариации обобщенных координат при повороте вокруг даннойоси будут иметь тот же вид, что и выше, а соответствующая сохраняющаяся величина∂L= const∂ ϕ̇(2.11)в силу тождества (2.4) совпадает с величиной проекции момента импульса системы наэту ось:∂L= (M , n) .∂ ϕ̇(2.12)Как мы видим, в данной формулировке оба закона сохранения являются следствием того,что функция Лагранжа не меняется при сдвигах какой-либо обобщенной координаты qαна произвольную постоянную величину, qα → qα + ², при фиксированных остальных qβ21Глава 2.