К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику, страница 3

Для этого проварьируем уравнения (1.6)sX∂riδri =δqα .∂qαα=1(1.8)Отметим, что в отличие от δri , вариации обобщенных координат δqα являются независимыми друг от друга. Согласно правилу дифференцирования сложной функции можнонаписать!ö XN µsNX∂U∂U X ∂ri, δri =,δqα∂ri∂ri α=1 ∂qαi=1i=1¶ XsN µsXX∂U ∂ri∂U (r(q), t)=δqα,.(1.9)=δqα∂ri ∂qα∂qαα=1α=1i=1Далее, левую часть уравнения (1.7) можно преобразовать следующим образом:Ã!µ 2¶ XNNsXd rid2 ri X ∂rimi, δri =mi,δqα22dtdt∂qαα=1i=1i=1½µ¶µ¶¾NsX X d∂rid ∂ri=ṙi ,− ṙi ,δqα .midt∂qdt∂qααα=1i=1(1.10)Для того чтобы выразить правую часть уравнения (1.10) в виде производных от функции Лагранжа, как и в рассмотренном выше случае одной частицы, мы расширим наборнезависимых переменных, включив в него величины q̇α , α = 1, ..., s, называемые обобщенными скоростями.

Таким образом, по определению, любая из набора переменных q, q̇является независимой от остальных. Заметим попутно, что поскольку уравнения Ньютона представляют собой систему дифференциальных уравнений второго порядка длянеизвестных функций ri (t), то после перехода к обобщенным координатам мы получимсистему s независимых уравнений для s неизвестных функций qα (t), которые также будутдифференциальными уравнениями второго порядка. Поэтому для решения этой системытребуется задание 2s дополнительных условий – значений s обобщенных координат и s11Глава 1.

Формализм Лагранжаобобщенных скоростей в некоторый момент времени. Другими словами, состояние системы при наличии связей определяется заданием независимых величин q, q̇ в некоторыймомент времени.Выразим декартовы скорости частиц через обобщенные скорости. Для этого возьмемполную производную по времени соотношений (1.6)sX∂riṙi =q̇α ,∂qαα=1i = 1, ..., N .(1.11)Имея в виду данное выше определение, продифференцируем уравнения (1.11) по q̇β :sX ∂ri ∂ q̇α∂ ṙi=,∂ q̇β∂qα ∂ q̇βα=1β = 1, ..., s.(1.12)В силу независимости скоростей q̇α производная ∂ q̇α /∂ q̇β равна единице при α = β, и нулюв противном случае, т.е.,∂ q̇α= δαβ ,∂ q̇βгде δαβ обозначает единичную матрицу½δαβ =1, α = β ,0, α =6 β.Поэтому сумма в правой части уравнения (1.12) сводится к одному члену:∂ ṙi∂ri=.∂ q̇β∂qβ(1.13)Далее, преобразуем полную производную по времени от ∂ri /∂qβ :( s µ)µ¶sXX ∂ri ¶d ∂ri∂ri∂∂=q̇α =q̇α .dt ∂qβ∂q∂q∂q∂qαββαα=1α=1Выражение в фигурных скобках есть не что иное, как ṙi , так чтоd ∂ri∂ ṙi=.dt ∂qβ∂qβ(1.14)С помощью соотношений (1.13) и (1.14) правая часть уравнения (1.10) теперь может бытьпреобразована следующим образом¶ µ¶¾¶ µ¶¾µs ½NXXd ∂rid∂ ṙi∂ri∂ ṙimimiṙi ,− ṙi ,δqα =ṙi ,− ṙi ,δqαdt∂qαdt ∂qαdt∂ q̇α∂qαα=1α=1i=1i=1()¾Ns ½sNNXXX1 d ∂ ṙi2 1 ∂ ṙi2d ∂ X mi ṙi2∂ X mi ṙi2=mi−δqα =−δqα2dt∂q̇2∂qdt∂q̇2∂q2ααααα=1α=1i=1i=1i=1¾s ½Xd ∂T∂T=−δqα ,dt ∂ q̇α ∂qαα=1NXµs ½Xd12§1.3.

Уравнения Лагранжа при наличии связейгдеT =NXmi ṙ 2ii=12есть полная кинетическая энергия системы. Используя этот результат, а также уравнение(1.9), переписываем уравнение (1.7) в виде¾s ½X∂(T − U )d ∂Tδqα = 0 .−dt∂q̇∂qααα=1Учитывая, что потенциальная энергия не зависит от обобщенных скоростей, последнееуравнение можно также представить в виде¾s ½Xd ∂L∂L−δqα = 0 ,(1.15)dt∂q̇∂qααα=1где функция Лагранжа L = T − U предполагается выраженной через обобщенные координаты и обобщенные скорости системы (а также время), а именно,L(q, q̇, t) = T (ṙ(q, q̇)) − U (r(q), t) .В силу независимости вариаций обобщенных координат левая часть уравнения (1.15) будет равна нулю, только если коэффициент при каждой из δqα обращается в нуль независимо от остальных:d ∂L∂L−= 0,dt ∂ q̇α ∂qαα = 1, ..., s.(1.16)Итак, мы показали, что в случае, когда на систему наложены идеальные голономные связи, уравнения движения могут быть записаны в форме Лагранжа (1.16).

Вид этих уравнений не зависит от конкретного выбора обобщенных координат системы, что, в частности,и доказывает их ковариантность. Можно также показать, что этот результат остаетсясправедливым и в случае связей, явно зависящих от времени.Пример 1. Функция Лагранжа в цилиндрических координатах. Рассмотрим движение материальной точки в аксиально-симметричном поле, т.е. поле, которое не меняется приповоротах на произвольный угол вокруг некоторой оси. Таково, например, поле прямогозаряженного провода. В этом случае в качестве q целесообразно выбрать цилиндрическиекоординаты (ρ, φ, z), направив ось z по оси симметрии поля.

Тогда поле не будет зависетьот угловой координаты φ. Переход от декартовых координат к цилиндрическим задаетсяформуламиx = ρ cos φ ,y = ρ sin φ ,z = z.(1.17)Дифференцируя эти соотношения по времени, получаемẋ = ρ̇ cos φ − ρ sin φ φ̇ ,ẏ = ρ̇ sin φ + ρ cos φ φ̇ ,а возводя их в квадрат и складывая, находим выражение для квадрата скорости материальной точки в цилиндрических координатахṙ 2 = ρ̇2 + ρ2 φ̇2 + ż 2 ,13(1.18)Глава 1.

Формализм Лагранжаи затем ее функцию Лагранжа в аксиально-симметричном полеL=m 2(ρ̇ + ρ2 φ̇2 + ż 2 ) − U (ρ, z) .2(1.19)Запишем теперь уравнения Лагранжа в этих координатах. Мы имеем∂L∂U (ρ, z)= mρφ̇2 −,∂ρ∂ρ∂L= mρ̇ .∂ ρ̇Поэтому уравнение Лагранжа по переменной ρ имеет видmρ̈ − mρφ̇2 +∂U (ρ, z)= 0.∂ρПо переменной z уравнение Лагранжа остается тем же, что и в декартовых координатах:mz̈ +∂U (ρ, z)= 0.∂zНаконец,∂L= 0,∂φ∂L= mρ2 φ̇ ,∂ φ̇так что соответствующее уравнение Лагранжа есть простоd 2(ρ φ̇) = 0 .dt§1.4.(1.20)Включение диссипативных и электромагнитных силПосле того, как мы представили уравнения движения в лагранжевой форме для системс потенциальными силами и идеальными связями, естественно расширить класс допустимых взаимодействий, рассмотрев функции Лагранжа более общего вида, чем простейшийL = T − U.Рассмотрим функцию Лагранжа следующего вид൶mṙ 2λtL(r, ṙ, t) = e− U (r, t) ,(1.21)2где λ есть некоторый постоянный параметр.

Составим уравнения Лагранжа. Мы имеем∂L∂U= −eλt.∂r∂r∂L= eλt mṙ ,∂ ṙПодстановка в уравнение (1.16) дает∂Ud ¡ λt ¢e mṙ = −eλt.dt∂rВыполняя дифференцирование и сокращая на eλt , получаемmr̈ = −k ṙ −∂U,∂r14k ≡ mλ .§1.4. Диссипативные и электромагнитные силыТаким образом, функция Лагранжа (1.21) описывает движение частицы массы m поддействием потенциальной силы Fp = −∂U/∂r и силы трения, пропорциональной скоростичастицы, Fd = −k ṙ .Рассмотрим, далее, функцию Лагранжа видаL(r, ṙ, t) =´mṙ 2 q ³+ A(r, t), ṙ − qϕ(r, t) ,2c(1.22)где A(r, t), ϕ(r, t) – заданные векторная и скалярная функции координат и времени, а qи c постоянные параметры. Член, линейный по скорости частицы в функции Лагранжа,называют обобщенным потенциалом.Составим уравнения Лагранжа. Мы имее쵶∂Lq∂Lq ∂Ax∂Ay∂Az∂ϕ= mẋ + Ax ,=ẋ +ẏ +ż − q∂ ẋc∂xc ∂x∂x∂x∂xи аналогичные выражения по переменным y, z.

Подстановка в уравнение (1.16) даетµ¶µ¶q ∂Ax∂Ax∂Ax∂Axq ∂Ax∂Ay∂Az∂ϕmẍ +ẋ +ẏ +ż +=ẋ +ẏ +ż − q, (1.23)c ∂x∂y∂z∂tc ∂x∂x∂x∂xили, перенося все силы в правую часть,½·¸·¸ ¾∂Ay ∂Ax∂Az ∂Ax∂ϕ qq ∂Ax−q+−ẏ +−ż .mẍ = −c ∂t∂x c∂x∂y∂x∂z(1.24)Введем следующие обозначенияEx = −1 ∂Ax ∂ϕ−,c ∂t∂xEy = −Hx =∂Az ∂Ay−,∂y∂zHy =1 ∂Ay ∂ϕ−,c ∂t∂y∂Ax ∂Az−,∂z∂xEz = −Hz =1 ∂Az ∂ϕ−,c ∂t∂z∂Ay ∂Ax−.∂x∂y(1.25)Определение вектора H = (Hx , Hy , Hz ) нетрудно запомнить, если представлять его в видеформального векторного произведения “вектора” ∂/∂r с A :H = [∂/∂r, A] .Вектор H называется ротором вектора A. Операция взятия ротора данного вектораобозначается обычно символом rot, так что H = rotA.

С помощью “вектора” ∂/∂r определение вектора E = (Ex , Ey , Ez ) также может быть переписано компактно какE=−1 ∂A ∂ϕ−.c ∂t∂rВо введенных обозначениях уравнение (1.24) принимает видqmẍ = qEx + [ṙ, H]x ,c15(1.26)Глава 1. Формализм Лагранжагде [ṙ, H]x = ẏHz − żHy . Вместе с аналогичными уравнениями для координат y, z последнее уравнение можно переписать в форме одного векторного уравненияqmr̈ = qE + [ṙ, H] .(1.27)cВыражение в правой части представляет собой силу Лоренца, причем E и H являютсянапряженностями электрического и магнитного полей, соответственно, а c есть скоростьсвета. Мы видим, таким образом, что функция Лагранжа (1.22) описывает движениечастицы с массой m и зарядом q в электромагнитном поле.

Величины A и ϕ называютсоответственно векторным и скалярным потенциалами электромагнитного поля.Пример 2. Движение в поле тяжести при наличии связей с трением. Рассмотрим движениематериальной точки массы m по параболе, расположенной вертикально в поле тяжести,предполагая, что действующая на точку сила трения пропорциональна ее скорости (коэффициент трения k). Направим ось z вертикально вверх, и пусть уравнением параболыбудетax2z=, y = 0 , a = const .2Примем x за обобщенную координату точки. Мы имеемż = axẋ ,и поэтомуṙ 2 = ẋ2 + a2 x2 ẋ2 .Потенциальная энергия точки U = mgax2 /2, где g – ускорение силы тяжести. Подставляяэти выражения в уравнение (1.21), получаем функцию Лагранжа в виде©ªmL(x, ẋ, t) = ekt/m (1 + a2 x2 )ẋ2 − gax2 .(1.28)2Составим уравнение Лагранжа.