А.С. Городецкий - Лекции по дифференциальным уравнениям
Описание файла
PDF-файл из архива "А.С. Городецкий - Лекции по дифференциальным уравнениям", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
¨¬¥¨ . . ¥å ¨ª®-¬ ⥬ â¨ç¥áª¨© ä ªã«ìâ¥â. . ®à®¤¥æª¨© DZ IIIᥬ¥áâà®áª¢ , 2002 £.1¥ªæ¨ï 1http://www.mexmat.net/ 1.4á¥âï¡àï 2002 £.á®¢ë¥ ¯®ïâ¨ï.DZਬ¥à. ¡ëª®¢¥ë¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¥ ãà ¢¥¨ï:1.ẋ = x2 − t,ẍ + x = 0.à ¢¥¨ï ¢ ç áâëå ¯à®¨§¢®¤ëå:∂z∂2z∂ 2z=+ 2,2∂t∂x∂yz(t, x, y).¯à¥¤¥«¥¨¥. ¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ãà ¢¥¨¥¬ n-£® ¯®à浪 ®â ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© §ë¢ ¥âáïãà ¢¥¨¥ ¢¨¤ F (t, x, ẋ, . .
. , x(n) ) = 0,(1)£¤¥ x(t) — ¥¨§¢¥áâ ï äãªæ¨ï, t — ¥§ ¢¨á¨¬ ï ¯¥à¥¬¥ ï.¯à¥¤¥«¥¨¥. à ¢¥¨¥, à §à¥èñ®¥ ®â®á¨â¥«ì® áâ à襩 ¯à®¨§¢®¤®© ¨¬¥¥â ¢¨¤x(n) = f (t, x, ẋ, . . . , x(n−1) ).(2)¯à¥¤¥«¥¨¥. ªá¨¬ «ìë© ¯®à冷ª ¯à®¨§¢®¤®© ¥¨§¢¥á⮩ äãªæ¨¨, ¢å®¤ï饩 ¢ ãà ¢¥¨¥ §ë¢ ¥âáï ¯®à浪®¬ í⮣® ãà ¢¥¨ï.¯à ¥¨¥ 1. ©â¨ à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï x(n) = 0. DZ®ª § âì, çâ® ®¨ ®¡à §ãîâ «¨¥©®¥¯à®áâà á⢮, ©â¨ à §¬¥à®áâì í⮣® ¯à®áâà á⢠. ¤ ç¨ â¥®à¨¨ ®¡ëª®¢¥ëå ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨© ():ãé¥á⢮¢ ¨¥ à¥è¥¨ï ¤¨á⢥®áâì à¥è¥¨ï¢®©á⢠à¥è¥¨©¯à¥¤¥«¥¨¥. ®¢®àïâ, ç⮠ᥬ¥©á⢮ äãªæ¨© ϕ(t, c1, .
. . , cn) — ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1),¥á«¨ ¯à¨ 䨪á¨à®¢ ëå ¯à®¨§¢®«ìëå ¯®áâ®ïëå ci äãªæ¨ï ϕ(t) ï¥âáï à¥è¥¨¥¬, ¨ «î¡®¥à¥è¥¨¥ ¯à¨ ¤«¥¨â í⮬ã ᥬ¥©áâ¢ã.1)2)3)2.à ¢¥¨¥ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 .ẋ = f (t, x)(3)¯à¥¤¥«¥¨¥. ¥è¥¨¥¬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¢¨¤ (3) §ë¢ ¥âáï äãªæ¨ï ϕ : I → R1â ª ï, çâ®ϕ̇(t) ≡ f (t, ϕ(t))¯à¥¤¥«¥¨¥.
¥è¥¨¥ ϕ(t) ãà ¢¥¨ï (3) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ç «ìë¬ ãá«®¢¨ï¬ (. ã.) (t0 , x0),¥á«¨ ϕ(t0 ) = x0 .DZਬ¥à. «ï ãà ¢¥¨ï ẋ = f (t) à¥è¥¨¥ á . ã. (ta, x0 ) áãé¥áâ¢ã¥â, ¥¤¨á⢥®, § ¤ ñâáïä®à¬ã«®©ϕ(t) = x0 +Ztt02f (τ )dτ.¥ªæ¨ï 1http://www.mexmat.net/¥®¬¥âà¨ç¥áª ï ¨â¥à¯à¥â æ¨ï. DZ®«ï ¯à ¢«¥¨© ¨ ¨â¥£à «ìë¥ ªà¨¢ë¥.¯à¥¤¥«¥¨¥. ®¡« á⨠G ⊂ R2(G ⊂ Rn) § ¤ ® ¯®«¥ ¯à ¢«¥¨©, ¥á«¨ ¢ ª ¤®© â®çª¥ ®¡« áâ¨3.¢ë¡à ¯àï¬ ï, ¯à®å®¤ïé ï ç¥à¥§ íâã â®çªã.¯à¥¤¥«¥¨¥. ਢ ï, ª®â®à ï ¢ ª ¤®© ᢮¥© â®çª¥ ª á ¥âáï ¯®«ï ¯à ¢«¥¨© §ë¢ ¥âáï¨â¥£à «ì®© ªà¨¢®© ¤ ®£® ¯®«ï ¯à ¢«¥¨©.«ï ¥¯à¥à뢮£® ¯®«ï ¨â¥£à «ì ï ªà¨¢ ï, ¯à®å®¤ïé ï ç¥à¥§ ¤ ãî â®çªã ®¡« á⨠áãé¥áâ¢ã¥â, ¤«ï £« ¤ª®£® ¯®«ï ® ª ⮬㠥 ¥¤¨á⢥ .DZ।«®¥¨¥.
à 䨪 à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï (3) ï¥âáï ¨â¥£à «ì®© ªà¨¢®© ᮮ⢥âáâ¢ãî饣®¯®«ï ¯à ¢«¥¨©.®ª § ⥫ìá⢮. DZãáâì (t0 , x0 ) ¯à¨ ¤«¥¨â £à 䨪ã, ϕ(t0 ) = x0 . £¥á 㣫 ª«® ª á ⥫쮩 ϕ(t0 ) à ¢¥ f (t0 , x0 ), â £¥á 㣫 ª«® ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¯à ¢«¥¨ï à ¢¥ f (t0 , ϕ(t0 )), f (t0 , x0 ) = f (t0 , ϕ(t0 )). . «ï ãà ¢¥¨ï ẋ = f (t)®á¨ Ox. ¬¥ç ¨¥4.¯®«¥ ¯à ¢«¥¨© ¨¢ ਠ⮠®â®á¨â¥«ì® ᤢ¨£®¢ ¢¤®«ì¥ªâ®à®¥ ¯®«¥ R1.DZãáâì ẋ = v(x) — ¢â®®¬®¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ãà ¢¥¨¥.¯à¥¤¥«¥¨¥. ®çª a ∈ R1 §ë¢ ¥âáï ®á®¡®© â®çª®© ¢¥ªâ®à®£® ¯®«ï v(x), ¥á«¨ v(a) = 0. í⮬ á«ãç ¥ ϕ(t) ≡ a — à¥è¥¨¥.¢ ï ä®à¬ã« .
DZãáâì ¨â¥à¢ «¥ U ⊂ R ¢¥ªâ®à®¥ ¯®«¥ v ¥ ¨¬¥¥â ®á®¡ëå â®ç¥ª. 饬à¥è¥¨¥ (3) á ç «ì묨 ãá«®¢¨ï¬¨ (t0 , x0 ), x0 ∈ U .dt1=,dxv(x)Zxdξt − t0 =.v(ξ)dx= v(x),dtx0DZਬ¥à.ẋ = kx, k > 0, x(t) = x · ek(t−t0 ) — ãà ¢¥¨¥ ®à¬ «ì®£® à §¬®¥¨ï.ẋ = kx, k < 0 — ãà ¢¥¨¥ à ᯠ¤ (à ¤¨® ªâ¨¢®£® ¢¥é¥á⢠).ẋ = x2 — ãà ¢¥¨¥ ¢§àë¢ .1x(t) = c−t— à¥è¥¨¥ § ª®¥ç®¥ ¢à¥¬ï ã室¨â ∞.2/3ẋ = 3x , x(t) ≡ 0 — à¥è¥¨¥, x(t) = (t − c)3 — à¥è¥¨¥, x(t) = t3 — ç á⮥ à¥è¥¨¥.3. ª®«ìª® áãé¥áâ¢ã¥â à¥è¥¨© ã í⮣® ãà ¢¥¨ï á .
ã. x(0) = 0?. áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥ ẋ = v(x), x ∈ C(u), U ⊂ R1 . ®£¤ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï á . ã.(t0 , x0 )1) áãé¥áâ¢ã¥â ∀t0 ∈ R, ∀x0 ∈ U2) ¥¤¨á⢥® (â. ¥. ¤¢ à¥è¥¨ï á â ª¨¬ . ã. ®¡ï§ ë ᮢ¯ ¤ âì ¢ ¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ®á⨠t0 )3) § ¤ ñâáï ä®à¬ã«®©¯à ¥¨¥¥®à¥¬ t − t0 =ϕ(t)Zx0dξ,v(ξ)ϕ(t) ≡ x0 ,¥á«¨ v(x0 ) 6= 0¥á«¨ v(x0 ) = 0.®ª § ⥫ìá⢮. DZãªâ 3 㥠¤®ª § ¢ëè¥, ¯ãªâ 1 á«¥¤ã¥â ¨§ ¯ãªâ 3.
«ï ¯ãªâ 2 㮤®ª § âì ¥¤¨á⢥®áâì ⮫쪮 ¢ á«ãç ¥, ª®£¤ x0 — ®á®¡ ï â®çª .3¥ªæ¨ï 1http://www.mexmat.net/DZ।¯®«®¨¬ ¯à®â¨¢®¥, ⮣¤ áãé¥áâ¢ã¥â à¥è¥¨¥ ψ(t):ψ(t1 ) = x1 , v(x1 ) = 0,ψ(t2 ) = x2 , v(x2 ) 6= 0,â. ¥. x1 — ®á®¡ ï â®çª , x2 — ¥®á®¡ ï â®çª . DZãáâì t3 — ¬ ªá¨¬ «ì®¥ § 票¥ [t1 , t2 ] â ª®¥,çâ® v(ψ(t3 )) = 0, ¯ãáâì ⮣¤ x3 = ψ(t3 ). ª¨¬ ®¡à §®¬ ∀et ∈ (t3 , t2 ) ψ(et) ¥ ®á®¡ ï â®çª .DZ।«®¥¨¥.
â¥£à « Rx2®ª § ⥫ìá⢮.xeet − t2 =dξv(ξ)Zx2dξ.v(ξ)xeà á室¨âáï ¯à¨ xe → x3 .|v(ex)| ≤ k|ex − x3 |x xZ 2 Z 2 dξdξe|t − t2 | = ≥ k|ξ − x3 | v(ξ) xexe 1Z 1 dx ¯à¨ ε → 0 + 0 .xεDZ®«ã稬 ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥, â. ª. ¢¥«¨ç¨ et − t2 ®£à ¨ç¥ .5.¥ªâ®àë¥ ¯®«ï R2.DZãáâì v(x) — ¢¥ªâ®à®¥ ¯®«¥ R2 . ® § ¤ ñâ ẋ = v(x) — ¢â®®¬ãî á¨á⥬ã.¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï ẋ = v(x) — ®â®¡à ¥¨¥ ϕ : I → R2dϕ(t0 ) = v(ϕ(t0 )).dt¯à¥¤¥«¥¨¥. ¡à § ®â®¡à ¥¨ï ϕ ¢ í⮬ á«ãç ¥ §ë¢ ¥âáï ä §®¢®© ªà¨¢®© ¯®«ï v.DZਬ¥à. ®¤¥«ì óå¨é¨ª-¥à⢠(®âª -®«ìâ¥àà ). DZãáâì ¥áâì x ¥à⢠¨ y å¨é¨ª®¢, ⮣¤ ®áâ®ï¨¥ à ¢®¢¥á¨ï:ẋ = kx − axyẏ = −ly + bxyà ¢¥¨ï ¬ «ëå ª®«¥¡ ¨©:y0 =x0 =x′′ = −x,¯à ¥¨¥ 3. DZ®ª § âì, çâ® x(t) = (x1 , x2),kalbẋ1 = x2.ẋ2 = −x1x1 (t) = a sin t + b cos t,x2 (t) = a cos t − b sin t4¥ªæ¨ï 1http://www.mexmat.net/¥áâì à¥è¥¨¥.
â® íâ® § ªà¨¢ë¥?¥ª àâ®¢ë ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï.DZãáâì § ¤ ë ¢¥ªâ®àë¥ ¯®«ï ¯àאַ©ẋ = v(x), x ∈ R1 ,ẏ = w(y), y ∈ R1 .®£¤ ¢¥ªâ®à®¥ ¯®«¥ẋ = v(x),,ẏ = w(y),ẋ = sin x,ẏ = sin y(x, y) ∈ R2 . §ë¢ ¥âáï ¨å ¤¥ª àâ®¢ë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬.¯à ¥¨¥ 4. à¨á®¢ âì ä §®¢ë¥ ¯®àâà¥âë ¢¥ªâ®àëå ¯®«¥©1)2)5ẋ = sin x.ẏ = cos y¥ªæ¨ï 2http://www.mexmat.net/ 2.11á¥âï¡àï 2002 £.à ¢¥¨ï á à §¤¥«ïî騬¨áï ¯¥à¥¬¥ë¬¨.¯à¥¤¥«¥¨¥. à ¢¥¨¥ §ë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ á à §¤¥«ïî騬¨áï ¯¥à¥¬¥ë¬¨, ¥á«¨ ®® ¨¬¥1.¥â ¢¨¤:dyf (y)=.dxg(x)(1) áᬮâਬ á¨á⥬ã, ª®â®à ï § ¤ ñâáï ¢¥ªâ®àë¬ ¯®«¥¬ ¯«®áª®áâ¨, ïî騬áï ¯àï¬ë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ ¢¥ªâ®àëå ¯®«¥© ¯àאַ©: ẏ = f (y)ẋ = g(x)(2)DZ।«®¥¨¥.
¥è¥¨¥ ϕ á¨á⥬ë (2) ¨¬¥¥â ¢¨¤ ϕ = (ϕ1, ϕ2 ), £¤¥ ϕ1, ϕ2 — à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨©¨ ẋ = g(x) ᮮ⢥âá⢥® .¥è¥¨¥ á¨á⥬ë (2) á . ã. y(t0 ) = y0ẏ = f (y)x(t0 ) = x0Zxx0:dξ= t − t0 =g(ξ)Zyy0dνf (ν)¥¬¬ .DZãáâì ¢ ®¡« á⨠U ⊂ R2 ¤«ï «î¡®© â®çª¨ (x0 , y0 ) ∈ U g(x0 ) 6= 0, f (y0) 6= 0.
®£¤ ¢ U¨â¥£à «ìë¥ ªà¨¢ë¥ ãà ¢¥¨ï (1) ᮢ¯ ¤ îâ á ä §®¢ë¬¨ ªà¨¢ë¬¨ á¨á⥬ë (2).®ª § ⥫ìá⢮.f (y0 )1) DZãáâì γ — ä §®¢ ï ªà¨¢ ï á¨á⥬ë (2). áᬮâਬ ¢¥ªâ®à γ̇(x0 , y0 ) = (γ1 , γ2 ), tgα = γγ12 = g(x,0)â. ¥. ᮢ¯ ¤ ¥â á 訬 ¯®«¥¬ ¯à ¢«¥¨©, § ç¨â γ ï¥âáï ¨â¥£à «ì®© ªà¨¢®©.2) DZãáâì γ — ¨â¥£à «ì ï ªà¨¢ ï ãà ¢¥¨ï (1). DZ à ¬¥âਧ㥬 γ = (γ1 (t), γ2 (t)), ¯à¨ç¥¬ ¢ë¡¥à¥¬ ¢ ª ç¥á⢥ γ1 (t) à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï ẋ = g(x).
DZ஢¥à¨¬, çâ® ¯ à ¬¥âਧ æ¨ï (γ1 (t), γ2 (t)) ¤ ¥âà¥è¥¨¥ á¨á⥬ë (2):γ˙1g(x0 )g(γ1 )==⇒ γ˙2 = f (γ2 ),γ˙2f (y0 )f (γ2 )â. ¥. γ2 — ä §®¢ ï ªà¨¢ ï á¨á⥬ë (2).«¥¤á⢨¥.¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1) á . ã.Zx(x0 , y0 )dξ=g(ξ)x0Zyáãé¥áâ¢ã¥â, ¥¤¨á⢥® ¨ § ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®©:dνf (ν)y0󥬮¨ç¥áª®¥ ¯à ¢¨«®:dyf (y)=⇒dxf (x)DZਬ¥à (¨á⥬ ®âª -®«ìâ¥àà ).Zdy=f (y)Zẏ = −ly + bxyẋ = kx − axy6dx+ C.g(x)¥ªæ¨ï 2http://www.mexmat.net/â á¨á⥬ §ë¢ ¥âáï á¨á⥬®© ®âª -®«ìâ¥àà . í⮩ á¨á⥬ë áãé¥áâ¢ã¥â ®¤ â®çª à ¢®¢¥á¨ï. ®¯à®á: ª ª ¢ë£«ï¤ïâ ä §®¢ë¥ ªà¨¢ë¥ í⮩ á¨á⥬ë?¬¥áâ® á¨á⥬ë à áᬮâਬ á«¥¤ãî饥 ãà ¢¥¨¥:dy−ly + bxy(bx − l)y==dxkx − axyx(k − ay)⇓ZZk − aybx − ldy =dx + Cyx⇓(k ln y − ay) + (l ln x − bx) = C.2.¨¥©ë¥ ãà ¢¥¨ï.㤥¬ à áᬠâਢ âì ⮫쪮 ãà ¢¥¨ï ¯¥à¢®£® ¯®à浪 .¯à¥¤¥«¥¨¥. à ¢¥¨¥ẋ = f (t)x(3) §ë¢ ¥âáï «¨¥©ë¬ ®¤®à®¤ë¬ ãà ¢¥¨¥¬ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 .
(㤥¬ áç¨â âì, çâ® f (x) ∈ C ¥ª®â®à®¬ ¨â¥à¢ «¥ ¨«¨ R.)⢥थ¨¥.«®©:¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (3) á . ã.(t0 , x0 )x(t) = x0 eRtáãé¥áâ¢ã¥â, ¥¤¨á⢥® ¨ § ¤ ¥âáï ä®à¬ã-f (ξ)dξt0®ª § ⥫ìá⢮. ¥©á⢨⥫ì®, (3) — ç áâë© á«ãç © ãà ¢¥¨ï á à §¤¥«ïî騬¨áï ¯¥à¥¬¥ë¬¨.dx= f (t)dt,xZxZtdν= f (ξ)dξ,νx0t0xln=x0Ztf (ξ)dξ,t0x(t) = x0 eRtt0f (ξ)dξ, ¬¥ç ¨¥ 1. ᥠà¥è¥¨ï ®¡à §ãîâ «¨¥©®¥ ¯à®áâà á⢮.«¥¤á⢨¥. ¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (3) ¨¬¥¥â ¢¨¤ cϕ(t), £¤¥ ϕ — «î¡®¥ ¥ã«¥¢®¥ à¥è¥¨¥. ¬¥ç ¨¥ 2.
â¥£à «ìë¥ ªà¨¢ë¥ ãà ¢¥¨ï (3) ¨¢ ਠâë ®â®á¨â¥«ì® á ⨩ ¢¤®«ì Ox. ¬¥ç ¨¥3. (DZ®ç¥¬ã 󫨥©ë¥?) DZãáâì C 1 (R) — «¨¥©®¥ ¯à®áâà á⢮ C 1 -£« ¤ª¨å äãª0権 R. C (R) — «¨¥©®¥ ¯à®áâà á⢮ ¥¯à¥àë¢ëå äãªæ¨© R. áᬮâਬ «¨¥©ë© ®¯¥à â®à L : C 1 (R) → C 0 (R). L(ϕ) = dϕdt − f (t)ϕ. à ¢¥¨¥ (3) ⇔ Lx = 0.¯à¥¤¥«¥¨¥.
à ¢¥¨¥ ¢¨¤ ẋ = f (t)x + g(t)7(4)¥ªæ¨ï 2http://www.mexmat.net/ §ë¢ ¥âáï «¨¥©ë¬ ¥®¤®à®¤ë¬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ãà ¢¥¨¥¬ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 .Lx = g.¥¬¬ . î¡®¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (4) ¨¬¥¥â ¢¨¤: ϕç + ϕ®¤, £¤¥ ϕçà¥è¥¨¥ (4), ϕ®¤ — ¥ª®â®à®¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (3) ¨ ®¡à â®.—䨪á¨à®¢ ®¥ ç á⮥®ª § ⥫ìá⢮. DZãáâì ϕ(t) = ϕç + ϕ®¤ .
®£¤ dϕdϕçdϕ®¤=+= f (t)ϕç + g(t) + f (t)ϕ®¤ = f (t)(ϕç + ϕ®¤ ) + g(t) = f (t)ϕ + g(t)dtdtdtDZ®ª ¥¬, çâ® ¥á«¨ ϕç — à¥è¥¨¥ (4), ¨ ϕb — à¥è¥¨¥ (4), â® ϕb = ϕç + ϕ®¤ . «ï í⮣® ¯®ª ¥¬,çâ® ϕb − ϕç ¥áâì à¥è¥¨¥ (3):d(ϕb − ϕç )dϕb dϕç=−=dtdtdt= f (t)ϕb + g(t) − f (t)ϕç − g(t) = f (t)(ϕb − ϕç ).¥â®¤ ¢ ਠ樨 ¯®áâ®ïëå.3. áâì ãà ¢¥¨¥ ẋ = f (t)x + g(t). áᬮâਬ ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥: ẋ = f (t)x.¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤: Cϕ(t).DZ®¯à®¡ã¥¬ ©â¨ à¥è¥¨¥ (4) ¢ ¢¨¤¥: ϕç = C(t)ϕ(t).ϕ̇ç = Ċ(t)ϕ(t) + C(t)ϕ̇(t) = f˙(t)C(t)ϕ(t) + g(t),g(t)Ċ(t) =,ϕ(t)Ċ(t)ϕ(t) = g(t),ϕç = ϕ(t)Ztg(ξ)dξ —ϕ(ξ)C(t) =Ztt0g(ξ)dξ + ee,ϕ(ξ)ç á⮥ à¥è¥¨¥.t0¨¥©ë¥ ãà ¢¥¨ï ¯¥à¢®£® ¯®à浪 á ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨¬¨ ª®íää¨æ¨¥â ¬¨.4.I) ¤®à®¤ë© á«ãç ©:ẋ = f (t)x, f (t + T ) ≡ f (t), T — ¯¥à¨®¤, T > 0.. â®¡à ¥¨¥ ¬®®¤à®¬¨¨ A : R → R, A(x0 ) = xT , £¤¥ xT — § 票¥ ¢ ¬®¬¥â¢à¥¬¥¨ T à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï (3) á .
ã. x(0) = x0 .(ᥠ¯à®áâà á⢮ óà áá«®¥® ¨â¥£à «ìë¥ ªà¨¢ë¥.). â®¡à ¥¨¥ ¬®®¤à®¬¨¨ A ¥áâì 㬮¥¨¥ λ ( λ — ¬ã«ì⨯«¨ª â®à), λ =RTexp f (τ )dτ .¯à¥¤¥«¥¨¥¥®à¥¬ 0 ᫨ λ > 1, â® ¢á¥ à¥è¥¨ï → ∞ ¯à¨ t → +∞. ᫨ λ < 1, â® ¢á¥ à¥è¥¨ï → 0 ¯à¨ t → +∞. ᫨ λ = 1, â® ¢á¥ à¥è¥¨ï ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨¥.8¥ªæ¨ï 2http://www.mexmat.net/RtRT®ª § ⥫ìá⢮.
x(t) = x0 exp f (ξ)dξ . ¬®¬¥â t = T x(T ) = x0 exp f (ξ)dξ , x(N T ) = λN x0 ,00x(N T + s) = λN x(s). «ï ®ª®ç ¨ï ¤®ª § ⥫ìá⢠®áâ «®áì § ¬¥â¨âì, çâ® |x(s)| ¯à¨ 0 ≤ s ≤ T®£à ¨ç¥ ᢥàåã ¨ ®â¤¥«ñ ®â ã«ï. II) ¥®¤®à®¤ë© á«ãç ©:ẋ = f (t)x + g(t), f (t + T ) ≡ f (t), g(t + T ) ≡ g(t). «ï ãà ¢¥¨ï (4) á ¯¥à¨®¤¨ç묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ®â®¡à ¥¨¥ ¬®®¤à®¬¨¨¨¬¥¥â ¢¨¤ Ax0 = λx0 + c.®ª § ⥫ìá⢮. DZãáâì ϕ1 , ϕ2 — à¥è¥¨¥ (4).®£¤ Aa1 − Aa2 = λ(a1 − a2 ). ¥©á⢨⥫ì®, à áᬮâਬ ψ = ϕ1 − ϕ2 — íâ® à¥è¥¨¥ ®¤®à®¤®£®ãà ¢¥¨ï ẋ = f (t)x á .