И.В. Садовничая, Т.Н. Фоменко - Предел и непрерывность функции одной переменной (теория и задачи), страница 7

Так как длина хор:ды окружности не превосходит длины соответствующеидуги, то можем утверждать, что в случае О < lxl < 7Г /2выполнено: 1 sin x l � lxl .Если lxl � 1r /2, то утверждение леммы следует из цепочки неравенств 1 sin xl � 1 < 7Г/2 � lxl. О·увыполнено: / sin х - sin х 0 /1= 2 cosх+2х011·sin=х - х0х - ха�2221 11<2·:2 = Е .дЭто означает, что функция у = sin х непрерывна на всейчисловой оси . Непрерывность функции у = cos х на всейчисловой оси следует из аналогичных рассуждений и це­почки неравенств1J cos x - cos x 0 J = 2 sinх+2х011·sinх - хах�222 Хо1 1-1< Е.Функции у = tg х и у = ctg х непрерывны на областяхсвоего определения как частные от деления непрерывныхфункций.Обра т н ы е три г о но.ме три'Ч ес х;и е ф ун х;ции.Рис. 5: Иллю страция к доказательству Лемм ы 4.4.Выберем теперь произвольную точку ха на числовойоси. Получаем , что для любого веrцественного Е > О су­ществует значение д = Е, такое, что при всех х Е Ва (хо)42Функция арксинус: у = ! ( х) = arcsin х - обратная кфункции х = sin y на сегменте [-1Г/2, 7Г/2] ; область опре­деления - сегмент [- 1 , 1]; множество значений - сегмент[- 1r /2, 7Г /2] ; возрастает и непрерывна на области опреде­ления (по теореме об обратной функции) ; нечетная ..

Функция арккосинус: у = f (x ) = arccos x - обратнаяк функции х = cos у на сегменте [0 , 1r] ; область опреде­ления - сегмент [- 1 , 1]; множество значений - сегмент[0, 1r] ; убывает и непрерывна на области определения (потеореме об обратной функции) .Функция арктангенс: у = f(x) = arctg x - обратная кфункции х = tg y на интервале (-1Г/2 , 7Г/2) ; область опре­деления - вся числовая ось; множество значений - ин­тер вал ( - 7r /2, 1r /2 ) ; возрастает и непрерывна на областиопределения (по теореме об обратной функции) ; нечетная.Функция арккотангенс: у = f ( х) = arcctg х - обрат­аян к функции х = ctg у на интервале (О , 1r); область о п ре­деления - вся числовая ось; множество значений - интер-43вал (0, 1r) ; убывает и непрерывна на области определения(по теореме об обратной функции) .Ниже мы дадим определения и опишем основн ые свой­ства гиперболических и обратных гиперболических функ­ций.

Эти функции не являются простейшими элементар­ными: они строятся из показательны х , логари фмическихи степенных с помощью арифметических операций и опе­рации композиции . При решении задач, однако, часто бы­вает удобно пользоваться именно гиперболическими и об­ратными к ним функциями, не «раскладывая» их на про­стейшие.Гunepбoлu'ltecxue фун ?r/ц uи .е х - е- х=хsh:ескийболичгиперСинус2Область определения - вся числовая ось; множество зна­чений - вся числовая ось; возрастает на области опреде­ления ; непре рывна на области определения; нечетная.ех + е - х=хch:ескийболичгиперусКосин2Область определения - вся числовая ось; мно:жество зна­чений - промежуток [1 , +оо); убывает на промежутке( -оо, О] , возрастает на промежутке [0, +оо) ; непрерывнана области определени я; четная.е х - е- хsh x= ---Тангенс гиперболический: th х = -еХ + е- хch xество знамножось;ваячисловсяяелениопредОбластьчений - интервал ( - 1 , 1 ) ; возрастает на области опреде­ления ; непре рывна на области определения ; нечетuая.е х + е-х-Котангенс гиперболический: cth х = -ех - е-ХОбласть определения - множество ( - оо, О) U (О, +оо) ; мно­.:жество значений - ( -оо, - 1 ) U ( 1 , +оо); убывает на проме­жутках ( - оо , О) и (О, +оо); непрерывна на области опреде­ления ; нечетная.44Некоторы е полезные соотношения, связанные с гипер­болическими функциями ( проверяются непосредственно) :1ch2 x - sh 2 x = l '· l - th2 х = -; с t h2 х - 1ch 2 х1= -- ·sh2 х ,= 2 sh х ch х; cl1 2x = ch 2 х + sh 2 х ,·sh(x±y) = sh x ch y±sh y ch x; ch(x±y ) = ch x ch y±sh x sh y.sh 2хОбра т н ы е г иперболи'ltе с хие фунхчии.Функцияареа-синусгиперболический:arsh x - ln(x + Jx 2 + 1 )обратная к функциих = sh у.

Область определения - вся числовая ось·'множество значении - вся числовая ось; возрастает инепрерывна на области определения; нечетная.Функцияареа-косинусгиперболический:У = arch x = ln(x + Jx 2 - 1 )обратная к функциих = ch У на промежутке [0, +оо) . Область определения промежуток [1 , +оо) ; множество значений - промежуток[0, +оо) ; возрастает и непрерывна на области определения.Функцияареа-тангенсгиперболическии"11+хобратная к функции х = th у .У = arth х =2 ln 1 хОбласть определения - интервал ( -1, 1 ) ; множествозначений - вся числовая ось; возрастает и непрерывна наобласти определения; нечетная.Функцияареа-котангенсгиперболическии" .·1 х+1У = arcth х = 2 ln- обратная к функции х = cth у .х 1О бласть определения - м ножество ( - оо , - 1 ) u ( 1 , +оо);множество значений - ( -оо, О ) U (0, +оо) ; убывает наПр омежутках ( -оо, - 1 ) и (1, +оо) ; непрерывна на областио пределения; нечетная.У=v-·_-_45у§5.

Замечательные пределы.Докажем два полезных соотношения, связанных с эле­ментарными функциями.Теорема 5 . 1 (первый замечательный предел) .sin xlim -- = 1 .х-->0хХсначала,ПокажемчтоДоказательство.sin xlim -- = 1 . Рассмотрим окружность единичногох-->0+0Храдиуса с центром в начале координат - точке О ( см.Рис.

6 ниже ) . Пусть А - точка пересечения окружностис осью Ох; точка В принадлежит первой координатнойчетверти и лежит на окружности так, что L.AOB = х;точка С лежит на луче ОБ так, что CA.lOA. Тогда1площадь треугольника АОВ равна 2 sin x; площадь1сектора А О В р авна х площадь треу1·ольника А О С2 ;1равна 2 tg х.

Из геометрических соображений заключаем,1х.� -- .Ч'ГО sш х � х � tg x , следовательно, 1 � cos xsш хsin xОтсюда получаем двойное неравенство cos х � -- � 1 .хТак как крайняя левая и крайняя правая части последнего неравенства стремятся к единице при х � О + О,sin xто получаем, что lim -- = 1 . Теперь утверждениех-->0+0Хтеоремы следует из следующей цепочки соотношений:sin tsin( t)sin х1.1..= lffi -- = 1 . 0l lffi -- = lffi_--х -->0-0Хt-->0+0Следствие.

limх-->0-tarcsin х1-Хlffiх->0t-->0+0ttg х= 1 , lim -- = 1,х->0arctg хХ46=1.ХРис . 6: ИллюстрациякДоказательство . lim1-Х->0tдоказательству Теоремы 5 . 1 .arcsin хХ{t = arcsin x }lffi -- = 1 ·'sin t1.tg хsin х1. sin х1m -- = lim= l1m -- . lim -1 . 1х-> О ХХ->0 Х COS ХХ-->0 ХХ->0 COS Х. arctg хtl1m{ t = arctg х} = lim - = 1 . ОХ-->0Хt->0 tg tТеоре ма 5 .2 (второй замечательный предел ) .=t-o·1 ·'=lim ( 1 + 1/х)х = е 'х ->±ооlim ( 1 + х)1 /х = е.Х->0Доказательство.

1 ) Пусть {xn } - последовательностьвещественных чисел; X n � + оо при n � +оо. Тогда[х п] � Xn < [х п] + 1 , [xn] � +оо при n � +оо ([xn] - целаячасть x n ) - Не ограничивая общности, можем считать, что[х п] > О. Значит, 1 + 1 / ( [хп] + 1 ) � 1 + 1/хп � 1 + 1/[хп] и473) Наконец, lim ( 1 + х) 1/хх--+±0справедливо неравенство:]xn � (1 + 1 /[xn] ) [xn +l .n)n1/x+�1[x)(])1+[xn]+1/(1(.lIm (1 + 1 / [Xn] ) [xn] - е при любомПокажем теперь , что n�+ooтель но, выб еремвыборе последовательности {xn}· Дейkствие. Значит, сущеlim (1 + 1 /k )Е: > о Мы знае м что �+ook(1 + 1/k) k - e < t:ствует такой номер К = K(t: ) , что+оо при n -r + оо , топр и всех k >- К · Так как Xnчто неравенствосуществует натуральное число N такое,N.

Но это означает,[хп] � К выполняется при всех n �хN, то есть чтоnчто (1 + 1 / [хп]) [ п] e < t: при всех �х+оо . Отсюда получаем, чтое при n(1 + 1 / [хп]) [ п][x n]1=+1при n -r + оо :[х п ] + 1='•l1-1�1_l-r-r)(-11'[xn] + l11=11+]1)[xn()1( [xn] +11 [xn]_1 [xn)+l - 1 + _1+11)][х(п)[xn]()( [xn]е о предельном пе�е.=+т-r.+е .-1е,е.=={t = - х - 1 }=(( )+1 t ll im 1)t--++oo (+ t48= е · 1 = е.Следствие.{t=1 /х} = lim (1 + 1 /t) tt--+±oo= е.ах - 1ln(1 + x)lim= 1 ; lim -- = I n a ;х--+0х--+0 ХХ(1 + х) а - 1 =limа.Х--+0ХДоказательство .ln(1 + х)= lim (In(1 + x) l fx ) = ln lim (1 +x) 1 /x = ln е = 1 .limХ--+0х�ОХх�Оt ln а.

ах - 1хОтсюда: lпn -- = { t = а - 1 } = lim= In a ;х� о хt--+0 ln (t + 1 )ea ln( l +x) - 1( 1 + х) а - 1= limlim= {а In ( 1 + х) = t} =ххх� ох --+0et - 1et - 1tjalim= lim -- lim· а = а. Оt�o etfa - 1t�o tt --+0 et /a - 1Напомним, что f (x)g(x) при х -r О, если. f (x)l 1m -- = 1 .

На основании доказанного выше составимХ--+0g(Х )таблицу некоторых эквивалентностей (при х -r 0) :·=rvsin хrvх)tg хrvх'arcsin хrvх'arctg хrvхе,следовательно (по теоремностен )'нер авенствах для последовательвходеопределению предеlimоо (1 + 1 /xn) x n = е .

Согласноn� +х - е..llm ( 1 + 1/ х) ла по Гейне ' это означает, что х�+оо. Тогдаооктсяемистрх2) Пусть теперь-ххх1х+11.= ��оо 1 + - х - 1=lim 1 + хХх ��00 Хх� - оо( )о=)§ 6. Равномерная непрерывность функции.Определение 6 . 1 . Фун:к;чия f (х) наз ывается равпо­на множестве А, если для л юбо г о>ЕО найдется mа'к;ое б = б (с) > О, -ч,то для л ю бой napъtrпо-ч,е'к; х', х" множества А, дл.я 'r.:ornopыx верно неравен­ств о lx' - x" l < б, будет выполнено : lf (x' ) - f (x") l < t: .Замечание 6 .

1 . Если фу нкция f(x) равномерно непре­рыв на на множестве А , то она непрерывна в любой точкеХо Е А: положим в определении равномерной непрерьш­но сти х" = х0 , получим, что для любого вещественного.мерпо пепреръtвnой49Е > О найдется такое д = д(Е) > О, что для любой точки х'множества А, для которой верно неравенство l x' - x o l < д,будет выполнено: l f(x') - f (xo ) l < Е . Это в точности опре­деление непрерьшности функции f ( х) в точке Хо .Теорема 6 . 1 (Кантор). Если фун/JС'Ция f (x) непрерыв­на на сегменте [а, Ь] , то она равнш·.tерно непреръtвна нанем.Доказательство. Предположим, что f(x) непрерывна,но не равномерно непрерывна на сегменте [а, Ь] .

Тогда най­дется такое Е > О, что для любого д > О будет существо­вать пара точек х ' , х" Е [а, Ь] , удовлетворяющих условиюl x' - x" l < д, для которых будет выполняться неравенствоl f (x ' ) - f(x") l � Е . Обозначим дп = 1/n для любого на­турального n. Согласно сказанному выше, найдется такоес > О, что для любого натурального n будет существоватьпара точек х� , х� Е [а, Ь] таких, что l x� - x� l < 1/n, ноl f(x�) - f(x�) l � Е .Рассмотрим последовательность { х� } . Она ограниче­на (так как а � х� � Ь \fn Е N), следовательно, изнее можно выделить сходящуюся подпоследовательностьlim х�" = � , тогда � Е [а, Ь] . Рассмот{х'kп } .