И.В. Садовничая, Т.Н. Фоменко - Предел и непрерывность функции одной переменной (теория и задачи)

КОНТРОЛЬНЫЙ ЛИСТОКСРОКОВ ВОЗВРАТАКНИГА ДОЛЖН А БЫТЬВОЗВРАЩЕНА НЕ ПОЗЖЕУКАЗАННОГО ЗДЕСЬСРОКА.Nячит. билета.�JOi��J20 � 6/t--ЗtСрок возвратаМОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М.В. ЛОМОНОСОВАФакультет вычислительной математики и ки бернетики0/,0/.J'Jо/,ot., IЧИ.В.

Садовничая, Т.Н. ФоменкоМАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ:ТЕОРИЯ И ЗАДАЧИУчебное пособиедля студентов 1 курса университетовПод общей редакциейакадемика РАН В .А. Ильина1 А6.1vчоов.1 7 fпт-ры_,МОСКВА-2012ЗБн;с- 1 7'3УДК 378(075.8):517.2ББК 22.161я73С14ОГЛАВЛЕНИЕПРЕДИСЛОВИЕПечатается по решению Редакционно-издательского сов етафакультета вычислительной математики и кибернетикиМГУ имени МВ. Ломонос оваПод общей редакцией академика РАН Ильина В.АРецензенты:доцент факультета ВМК МГУ к.ф.-м.н. Тихомиров В.В.,профессор факультета ВМК МГУ д.ф.-м.н.

Фомичёв В.В.Садовничая И.В., ФоменкоCl4Т.Н.Математический анализ. Предел и непрерывность функцииодной переменной: теория и задачи: Учеб. пособие длЯ студентовМ.: Издательский отдел факультета ВМиК1 курса университетов.МГУ им. М.В. Ломоносова {лицензия ИД N 05899 от 24.09.2001 г.);-МАКС Пресс, 2012.-80 с.ISBN 978-5-89407-471-9Издание посвящено теоретическим и пракrическим аспектам темы «Предел инепрерывность функции одной переменной», изучаемой в первом семестре в рам­ках программы курса математического анализа.

Оно основано на опыте чтенияавторами лекций и ведения практических занятий на факультете ВМК МГУ.Данное пособие является продоmкением учебного пособия И.В. Садовничей,Т.Н. Фоменко и Е.В. Хорошиловой <<Вещественные числа и последовательности.Теория и задачи» и содержит разделы, посвящеш1ые понятию фушщии одной пе­ременной, понятию предела функции, непрерывности в точке и на множестве и ихлрименению в различных задачах анализа.

Для лучшего усвоения материала при­водится ряд иллюстраций, а также набор задач по рассматриваемой теме, часть изкоторых излагается с полным решением, а часть дается для самостоятельной ра­боты студентов.Цель пособия- помочь студенту в изучении теоретической части и приобрете­нии практических навыков решения задач по теме <<Предел и непрерывностьфункции одной переменной».Для студентов университетов.

Издание может быть полезно также преподава­телям, читающим лекции и ведущим лрактические заиятия по математическомуанализу и всем, кто желает самостоятельно изучить данную тему или более под ­_робно с ней ознакомиться.УДК 378(075.8):517.2ББК 22.161я73Научная библиотека МГУ1 1111 1 1 1111 1 111 111 1111111167067609©Факультет вычислительной математикии ки б е р н етики МГУ имени М.В. Ломоносова, 2012©Садовничая§2.§1.§2.§3.§4.§5.ISBN 978-5-317-04160-1ISBN 978-5-89407-471-9ISBN 978-5-317-04160-1§1.И.В Фомевко Т.Н., 2012..§6.§1.§2.§3.§4.§5.§ 6.§7.§8 .Глава______1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ______0405___Понятие предела функции., ____О5Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Асимптотическое сравнение функций.15Глава192.

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИПонятие непрерывности.Локальные свойства непрерывныхфункций19Глобальные свойства непрерывных функций25Монотонные функции28Основные элементарные функции32Замечательные пределы46Равномерная непрерывность функции49Глава523. ЗАД АЧИОпределения предела функции52Простейшие приемы вычисления пределов56Вычисление пределов функцийспомощью I и II замечатель-ных пределов59Вычисление пределов на бесконечности63Асимптотическое сравнение функций65Выделение главного члена (главной части) функци67Отыскание и юrассификация точек разрыва графикафункции71Равномерная непрерывность функции74СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ78ПРЕДИСЛОВИЕ.Уважаемые читатели!Данное учебное пособие содержит материал по те ем«Предел и непрерывность функции одной переменной»вобъёме программы курса математического анализа длястудентов первого курса факультета ВМК, как специа листовтак и бакалавров.

Предполагается, что читатель знакомтеорией вещественных чисел и последовательностей.В пособии 3 главы. В каждой главе своя двойнаянумерация определений, всех утверждений, а также задач, суказанием номера параграфа.В первой и второй главах излагается теоретическийматериал по теме «Предел и непрерывность функции однойпеременной».Для лучшего восприятия материаламыпоместили несколько рисунков, примеров и замечаний,разъясняющих те или иные понятия и утверждения.В третьей главе помещены подборки задач по всемразделам первых двух глав.

Наряду с вычислительнымизадачами, приводится ряд задач на доказательство. Мыполагаем, что их решение является одной из наиболееэффективных форм усвоения теоретического материала. Приэтом в каждом параграфе часть задач приводится с подробнымирешениями, а остальные даются ДJIЯ самостоятельной работыстудентов. Все задачи снабжены ответами.Список литературы в конце пособия содержит учебникии задачники, которые использовались при составлении данногопособия, а также некоторые источники ДJIЯ дальнейшегознакомства с изложенными в пособии темами.Пособие предназначено, в первую очередь, ДJIЯ студентовпервого курса факультета ВМК МГУ, а также дляпервокурсниковдругихуниверситетов,изучающихматематический анализ.

Мы надеемся, что оно окажетсяполезным как С'l)'дентам, так и преподавателям при изученииили преподавании данной темы.�И.В.САДОВНИЧАЯ, Т.Н.ФОМЕНКО.4Глава 1. Предел функции.§1. Понятие предела функции.Определение 1.1. Если ·х;аждому элементу х из мно­жестваХ � �ставится в соответствие по известномуза'х;ону f не'х;оторое {единственное) число у Е �. то гово­рят, что на ммжествеХ задана фун:к;ци.я у = f(х).Число х называется аргументом или (независц­мой) переменной; .мно�жество ХХ1 - обла­стью определения фун'х;чии f; число у = f(х) (ч-астным) зна'Чением фун'х;чии в точ'х;е х; множествоУ = f(X) = {f(x) 1 х Е Х} � � - обласmъ ю измене­ния или .мно:;1сесmвом зна'Чений фун'х;чии f(x).

Частоисполъзуются обозначения:Х = Df, У = Еf.Графи-х:о.м фун-х:ции у = f(x) назъtвается .множе­ство точе'х; плос'х;ости, абсчиссы 'х;Оторых равны допусти­мым значениям аргумента х, а ординаты - соответ­ствуюшим значениям фун'х;чии у, то ест·ь графи'/\, фун'х;­чии f - это множество Г1 = {(х, f(x)) ЕХ х Yjx ЕХ} .Иначе говоря, отождествляя функцию f с ее графи­ком Г f, можно понимать функцию как отображение, т.е.подмножество Г f произведенияХ х �такое, что Vx Е Х:З!(х, у) Е Гf � Х х �' где у = f(x) (определение отобра­жения см., например, в [4]).Определение 1 .2.

Пустъ а Е �� б > О. МножествоU.,(a) \ {а} = (а- б, а) U (а, а+ б) будем называтъ про-х:оолоmой д- о'К:ресmносmъю точ'х;и а и обозначатъ И б (а).Пусть функция у = f( х) определена на множестве Х,а Е �- предельная точкаХ.Опред�ление 1.3 (предел функции по Гейне) .Число Ь Е � называется пределом или пределънъtмзид'Чением фунх:чии у = f(x) в точхе а, если для лю­бой последователъности {хп } аргументов фун'х;71,7J,и, та5'КОй, что {Xn } сходится 'К а при п+оо ' но хn --,�._r- а\fп Е N, соответствующая последовате.л:ьпосrпъ { f(x )}значений фун'Кции сходится 'К Ь.Определение 1 . 4 (предел функции по Kow )Числq Ь Е IR называется пределом или преде.лы-t �зна-чением фун'К ции у = f(x) в точ'Х:е а, если для лю­бого числа с > О найдется б = б(с) > О та'Х:ое, что дл.ялюбого х из множества Иб ( а) nХ выполняется неравен­ство /J(x)- Ь/ <с.Обозначения: lim f(x)= Ь или f(x)Ь.-tn=о-tх-+ах_.аТеорема 1.1.

Определения 1.3 и 1.4 Э'Квивалентны.Доказательство. 1) Предположим, что выполненоопределение предела по Коши. Выберем произвольную по­следователыюсть {Xn} аргументов, такую, что {хп} схо­дится к а, но Xn =1- а \fn Е N. Пусть с > О - некотороевещественное число. Тогда (в силу определения по Ко­ши) существует положительное число б = б(с) такое, чтоодля любой точки х Е Иб ( а ) nХ выполнено неравенство/ f (x)..- Ь/ <с . Так как п lim Xn= а и Xn =1- а, то найдется..�+оонатуральный номер N = N(б ) такой, что О</хп- а/ <б,ото есть х Е U5(a) nХ при всех n ;?: N. Значит, для любого n ;?: N выполняется неравенство j f(xп)- Ь/ <с, сле­довательно, последовательность {f(хп)} сходится к Ь. Мыпоказали, что, если выполнено определение предела функ­ции по Коши, то выполнено и определение по Гейне.2) Предположим теперь, что определение по Коши невыполнено.

Это означает, что существует такое веществен­ное число с > О, что для любого б Е IR найдется точока хХб Е U5(a) nХ, для которой будет иметь местонеравенство /.f(x) - Ь/ ;?: с. Обозначим дп = 1/ n для всехn Е N. Получим, что для любого натурального n суще-­ствует точка Xn Е Х такая, что О < /хп - а / < 1/ n, но=б;?: Е. Это означает, что последовательность { Xn}гументовсходится к а , но соответствующая последова­артельность {.f(xn )} значений функции не сходится к Ь. Зна­чит, число Ь не является пределом функции и в смыслеопределения по Гейне.

ОПример 1.1. 1) Рассмотрим фун'Кцию f (x)- = х .Пустъ а Е IR. Тогда lim f ( x) = а, та-х: -х:а-х: для лю-/.f (Хп ) - Ь/х�абой последователыюсти { Хп} аргументов, та-х:ой, •тюп lim Xn = а, будет выполнено: п lim f (хп)= lim Xn = а .�+оо-+ооn�+ooВыше определен предел функции как число Ь Е IR.Определим теперь понятие бесконечного предела.Определение 1.5 (по Гейне) . Предел фун-х:цииу = f(x) в точ-х:е а Е IR равен оо(+оо или - оо), еслидля любой последовательности {хп} аргументов фун-х:­чии, mшx:O'il, что {хп} сходится 'Х: а при n ---> +оо, ноXn =1- а \fn Е N, соответствующая последователъностъ{ f (хп)} значений фун'Кции стремится 'К оо (+оо или-оо)). Обозначения: lim f (x) = оо(+оо или -оо) илиf(x)х�а--->х-аоо(+оо или - оо).Определение 1 .6 (по Коши) .

Преде.л фун-х:цииу = .f(x) в точ-х:е а равен оо (+оо ·или - оо), если д.1Lялюбого чнсла с> О найдется б= б(с) >О та'Х:ое, что дляолюбого х нз множества U5(a) nХ вътолнено: /f(x)/ >с(J(x) >с нли .f(x)<-Е ) . Обозначения: lim f(x) = оо (+оох�аили - оо) или f (x)оо (+оо или - оо).--->х�аОпределениЯ 1.5 и 1.6 эквивалентны. Доказательствотогоэполностью аналогично доказательству теоремы 1. 1.Введем понятие правого (левого) предела функции. По­требуем, чтобы для любого б >О множество (а, а + б ) nХ((а - д, а ) nХ) содержало хотя бы один элемент.Определение 1.7 (по Гейне) .

Число Ь Е IR HЛ't.LЬ = оо, +оо, -оо, называется правъtм (левым} преде7лом фун:х:ции у = f(x) в то-ч.-х;е а Е IR, если дм лю бойпоследователъности {Xn} аргументов фyн-x;u,u:u., та-х;ой,-ч.то {xn} сходител -х;а и хn >а (xn<а) Vn Е N, соответ­ствующая. последователъностъ {f(хп)} зна-ч.ений фун-х;­u,ии сходител -х; Ь или, соответственно, -х; оо, +оо, -оо.Определение 1.8 ( по Коши ) . Число Ь Е ffi.