И.В. Садовничая, Т.Н. Фоменко - Предел и непрерывность функции одной переменной (теория и задачи), страница 8

Пусть.n->+ooрим теперь подпоследовательность { х%" } последователь­ности {х� } . Поскольку для любого натурального n выпол­няется неравенство l x�" - x%J < 1 / kп , то получаем , чтоlim х% = � . Так как функция f ( х ) непрерывна в точке � ,n->+ooто lim f(x� ) = ! (� ) , lim f(x%J = !(0. Но по построе-непрерывности этой фун кци и, но и от множества, на ко­тором она рассматривается.При ведем соответствующие при мер ы.При мер 6 .

1 . Функ;чия у = х 2 , равномерно непрерыв­ная на любом сегм ент е (по теореме Кантора), не явля­ется равномерно непрерывной, например, набеск;оне"-tномпро.межутк;е [1 , + оо ) , так; к;ак; существует"-tисло Е = 2так;ое, "-tто для любого натурал ъног о "-tисла n най дутсято"-tк;и х� = n + 1 /n, х� = n, удовлетвор.яющие условиюlx� - x� l = 1 /n, для -х:оторыз.; будет выrwлне·по:2/ ( х�) - (х�) 2 / = j (n + 1/n - п ) (n + 1 /n + n) l == 1 /n (2n + 1 /n) > ( 1 /n) 2n = 2 = .Е·Пример 6.2.

Рассмотрим функ;чию f (x) так;ую, "-tтоf (x) = 1 при х Е (0 , 1 ) и f(x) = 2 при х Е ( 1 , 2) . Она, о"-tе­видно, равномерно непрерывна на к;аждом из интервалов(0, 1) и ( 1 , 2 ) , но легк;о проверитъ, "-tто она не являетсяравномерно непрерывной на их обвединении.nn->+ооnn->+ooнию последовательностей {х� } , {х�} должно выполнятьсянеравенство : l f (x�J - f(x%J I � Е , где Е - фиксированноечисло.

М ы пришли к противоречию. Значит, наше пред­положение неверно, и функция f(x) является равномернонепрерывной на сегменте [а, Ь] . ОЗамечание 6.2. Наличие или отсутствие равномернойнепрерывности функции f ( х) зависит не только от свойств5051Глава 3 . З адач и.и указать по любому Е > О соответствующее ему (какое­н ибудь) б = б(с) > О .Ре шение . Рассмотрим неравенство:§ 1 . Определения предела(предельного значения) функции.Здесь мы рассмотрим задачи на понимание определенийпредела функции по Коши и по Гейне .1.1.

Доказать, что lim sin .Х! не существует.Х-+00Решение. Рассмотрим последовательности {хп } , {Уп } , гдеXn = 27Г;+1!.2 -t О , Уп = 27Г;+ 1!. -t О . Заметим, что f (хп ) =61sin _.!_f(Уп)sin...!...=для любого n Е .N. Поэтому=1,=XnYn2,lim f(хп ) = 1, а lim f (Уп ) = � - Согласно определению(1)Для упрощения его решения рассмотрим более сильноеnнеравенство: / bo xn + . .

. + bn - X + Ьп / � j b0xn j - ( j b1x - l j +l. . . + / Ьп - 1 х / + / Ьп / ) > с . Последнее неравенство равносильноследующему:·Х-+00(2)Х --+ 00предела функции по Гейне, это означает, что lim sin lХ неХ--+00существует, что и требовалось доказать.1 .2. Доказать , что lim х 2 = 4, пользуясь определениемх--+ 2предела по Коши и указав по любому с > О соответствующее ему ( какое-нибудь ) б = б (с) > О .Решение . Воспользуемся определением предела по Коши.Заметим, что неравенство /х 2 - 4/ < с эквивалентно двой­ному неравенству : � < l x l = ± х < J4 + с. Из двухвозможных интервалов для х выбираем то'г, в которомсодержится число 2, а именно, интервал: � < х <J4+€. Определим, при каких б > О полученное неравен­ство для / х / следует из неравенства: О < / х - 2 / < б. Тоесть при каких б > О б-окрестность точки 2 содержитсяв интервале ( �; J4 + с ) .

Ясно, что б должно удовле­творять неравенству: О < б < min{ J4+€ - 2 , 2 - �} .Вычисления rюказывают, что min{ J4 + с - 2 , 2 - �} =J4+€ - 2. Итак, для произвольна го с > О ·мы нашлиб = б(с) > О такие, что для всех х, удовлетворяющих нера­венству О < / х - 2 / < б, верно неравенство: /х 2 - 4 / < с.Ответ: О < б :::::; J4 + с - 2.1 . 3.

Доказать, что lim /bo xn+ ... +bn- l x+bn / = +оо, гдех --++ооЬ0 =1= О. Воспользоваться определением предела r:ro Коши52Посмотрим, какое неравенство для х является достаточ­ным для его выпол нения. Пусть , нап имер , каждое слага­;емое в правой части меньш е, чем J;l , то есть пусть1 ь1 хп -1 / < /x / n , . . . , / Ьn - 1 / /x/ < / x /n /Ьп / + сЬоnЬ0n '/ Ь0 /</x/nn( З)Сокращая неравенства (3) на /х / в соответствующих степе­нях, умножая их на n и извлекая корень соответствующейстепени , приходим к следующим перавенетвам для j x j :Ь/ Ьп / + с rr < хn·, ь 1 / < l х / , . .

. , ( n / --п -;-1 / ) _/ , (nп-1/)"Ьоь/Ьо /</ х/ .Таким образо м, получаем для / х / итоговое неравенство:bЬ/ х / > m ax{n/ l / , . . . , ( n/ n - l / ) n:r , ( п j Ьп / + с ) � }ЬоЬо/Ьо /Отсюда получаем , что при любом б = б(с) , удовлетворяю­щем неравенству:б > m ax { n/��/ , . . . , (n /b�:l / ) n:r ' (п531ilo7/Ьс)�},2) а> д будет следовать неравенство ( ,из неравенства:(1 ) . Согласно определе ниюзнач ит' и исходное неравенствоает, что ��оо I Ьox n +предел а функции по Коши, это ознаqхlxlчто и требовалось доказать .. . . + ьn- 1 х + Ьn 1 = +оо '22- 0 , указав , согласноlim ---1 = 1 ' 4 ' Доказать ' что х->-033 + еХдля любого с: > О соответопре деле нию предела по Кош и,> о.)ствующее ему (какое-нибудь д = о(.:: )Решепие.221 - < - при люб омВо-перв ых, заметим, что -33 + e :r.им нерах Е JR .

Зададим произвольное .:: > О и рассмотр2х,..:: · Если оно верно для люб ого>венство .133 + 6- а < х < О для некотороудов летв оряющего неравенствуЕ МОЖНО ВОСП ОЛЬЗ ОВаТ ЬСЯго а > 0 , то ДЛЯ сравнения О И:следующей цепо чкой неравенств�2_>--;3 + е�_23 +e i>3 + е- б•<_- 31·отк"Jда полу чаем�.:: =3--- .- 2 - 3.::2.::3_-_2__3то есть0 <-( ln3 =_�>s: _и- -g9( ln � )-1 ')2 - 3 .:: - 1.::2_3с;тель ное число д = а ( .:: )любого х , - д <что равносильно нерав енству :.

Итак, для любогохс:(9- )::; ln -2 - 3 .:: - 1Е2< О, верн о, что - >3> О , взяв полож и, получаем , что для21-3 + ех2> - - с:. Со3кции по Кош и, это ознагласно определению предела фун2ь.0 ' что и ТJ)ебовалось доказ ат .1 чает1 что 11mХ->-0 3 + е Х�3= +0, указав, согласно1х->+0 3 + е Жо пределению предела по Коши, для любого .:: > О соответствующее ему (какое-нибудь) а = д (.:: ) > о .Решение .2О чевидно , чтохЕIR .Рас-смотрим для произвольно заданного .:: > О неравенство:2О << .:: при13 + 6х> О. Решая п равую часть этого21двойного неравенства, получаем : е х > - - 3 .

Полагая (безЕ2потери общности) , что - - 3 > О , и логарифмируя, име­.::1ем : - >х2 - 3.::ln -- ,Едует, что для любогох,х<0 < Х < О (Е)::; (ln -- ) - l ,ство О <122 - 3.::Е3 +62 - 3.::( ln -- ) - 1 .О тсюда слеЕдля которого верно неравенство:то естьНеОбХОДИМО верно неравен-< Е. Согласно определению предела функ-требовалось доказать .1 .

6 . пусть D ( х ) _-{2limХ-> + 0 3 +16= +0, что и1 , х - рациональное,О,х - иррациональное- функ-ция Дирихле. Доказать, что она не имеет предела ни водной точке.Ре шение .Действительно, пусть{х� } ,аЕК Тогда существуета, х� -=/= а ,х� рациональные, и существует последовательность { х�} ,такая, что lim х � = а, х � -=/= а , х� иррациональные.

Отn-++оосюда lim f(x�) = 1 , li m f (x;�) = О . Значит, согласнотака� последовательностьn-++oon-++ooопр еделению по Гейне, функцияточке а._54> О для всех13 + еЖции по Коши , это означает, чтоСледов ательно , е - } <�2.l1mДоказать, что,предполагая (без потери общ- Отсюда ,92 - 3.::2 - 3.::.::1::; ln _ 'имеем :уя,ифмир.::логар)и,<чтоности3 .::2_6_ _1.5.55чтоlim х�n->+oof(x)=не имеет предела вЗадачи для самостоятельной работы.1 . 7. Рассмотрим функцию{ - 1 , х < О,f (x) = sgnx =О, х = О,1 , х > о.Доказать, что lim sgnx не существует.х -->011.8.

Доказать, что lim (x · s in - ) = О, указав для любогох-->0Хс > О соответствующее б (с) .33х1.9. Доказать, что lim --- = - + О, указав для2х-+-оо 1 + 2хлюбого с > О соответствующее б (с) .1.10. Доказать, что lim (x2 - 2х + 1) = 4, указав дляХ --> 3любого с > О соответствующее б (с) .1 . 1 1 . Доказать, что lim 3х = 1 - О, указав для любогоХ-->-0с > О соответствующее б (с) .§2.

Простейшие приемы вычисления пределов.Рассмотрим несколько примеров вычисления пределов функ­ций с использованием теорем об арифметических операциях над функциями, имеющими конечные пределы, а такжеприем замены переменной.х2 - 32. 1 . Вычислить предел: limХ-> 2 3Х 2 + Х - 5Решение. Используя результат задачи 1 . 2 выше, условиех -* 2, а также теорему об арифметических операцияхнад функциями, имеющими конечные пределы, получаем:4-31х2 - 3=lim3·4+2-59х-+ 2 З х 2 + х - 52 .2 .

Вычислить предел: lim ( Гх+2 - JX) .·-х-->+оо(х + 2) - (х)Решение . lim ( Jх + 2 - JX) = lim JX+2 JXх-->+оо Х + + Хх-->+ оо2= (JX+2 + Vx ----7 + оо ) = О .limх->+оо·х--> +оо .JX+2 + -JX562 х2.3. Вычислить lim (sin п- у .х ->+оо5х + 12 п-х2 п12п1.3Решение .

аметим, что 1mim -=-1х --> +оо 5х + 1 х--> + оо 5 + 5х2п2по, так как О < --1 < - при любом х > О. Кроме того,55 + -х257Г < � ' поэтому при х > О , в силу возрастания синусав первой четверти, всегда О < sin 5;-тr;_1 < siп 27Г = а < 1 .5Следовательно,О < ( siп2п-х х) < ах , х > О5х + 1( 4)Взяв любую последовательность { xn } n:::: 1 , Xn > О , сходя­щуюся к +оо, получим, что axn -* О. Значит, lim ах = Ох-->+оо(в силу определения предела функции по Гейне) .

Отсюда,по теореме о предельном переходе в двойном неравенстве2п-х х(4), следует, что lim (sin) = О.х-->+оо5х + 1. х 2 - 5х + 6.2.4. В ычислить предел l1m3х -+ х 2 - 8 х + 15Решение. Используя алгебраические преобразования и сокращая на (х - 3 ) =1- О, получаем цепочку равенств :х 2 - 5х + 6Q = lim (х - 2 ) (х - 3 ) = lim х - 2 =limХ ->З (х - 5) (х - 3) х-+З х - 5Х-->3 х2 - 8 х + 15о172х -12.5. Вычислить предел lim -- .x-+l Х 3 - 1Реше ние. Используя замену переменной, алгебраические7преобразования и сокращая на новую переменную t =f- О ,х -1получаем следующие= Q = (х =lim7 равенства: X->lХ3 - 10(t + 1 ) - 1.()а+t t =7 + а ( t)t + 1 ) = lim= lim 7tlimt ......

o (t + 1 ) 3 - 1t-.o 3 t + {З( t ) tt...... o 3 + {З(t )( где a(t) , {З(t) - бесконечно малые при t -* О) = 37 ·()()·57(2.6. Вычислить предел lim -5- _ _7_х---. 1х5 - 1 х7 - 1).-Решение. Воспользуясь заменой переменной, алгебраиче­скими преобразованиями и сокращая на · t 2 -=f. О, получим75цепочку равенств: lim -- - __( оо _ оо )х---. 1х 5 - 1 х7 - 157(положим х = t + 1) = limt---> 0 (t + 1 ) 5 - 1(t + 1 ) 7 - 175l'= ( а = a (t ) , f3t� 5t + ( 1 0 + a)t 2 7t + (21 + f3)t23 5t 2 + 5 f3t2 - 7at2/З (t) -бе сконечно малые при t --7 О) = lim3 5 t 2 + 1t 2t--.o3 + /3 7( где 'У = 'Y (t) --7 О при t --7 О) = lim 5 5 - а = 13 5 + 'У--> 0г-------t-()(())=_Вычислить пределы:2.9 lim ( )2х + JX - J2xх-->+ оохз - 2 ·7: - 1.2.10 limх---> - 1 х 5 - 2х - 1=_Решение.