И.В. Садовничая, Т.Н. Фоменко - Предел и непрерывность функции одной переменной (теория и задачи), страница 3

Возьмем Произвольное Е > О . Поопределению предела существует 51 = 51 (Е) > О такое, чтоДоказательство. Пусть {xn} - последовательностьточек множества Х, такая, что lim X n = а, Xn /= а. То­п-.+оо1213t->toгда lim f(x n) = lim g(xn) = Ь и найдется такое наn-++oon-++ооNN(б), что для всех п ) N выполнено:туральное=f(x n ) � h(xn ) � g (хп) . Значит, по теореме о предельномпереходе в двойном неравенстве для последовательностей ,последовательность {11-(хп)} сходится и lim h(x n) = Ь.n->+ooСогласно определению предела функции по Гейне, этоозначает, что lim h(x) = Ь. Ох-->аОпределение 1.16 . Пустъ фун'Ки,ия f(x) определепана .мпожестве Х, А � Х .

Фун?Си,ия f(x) ограни-че­на сверху (снизу) па множестве А , если существу­ет постояпная М Е JR (т Е JR) тшх:а.я., что f ( х) � М(f(x) ) т) при всех х Е А. Числа М и т называются со­ответственно верхней и ни:J�Сней гранями фун'Ки,ииf (x) на .множестве А . Если фун'Ки,ия f (x) ограни"iена на.множестве А и сверху, и спизу, то она называется огра­ни-ченной на .мно:JJсестве А.Теорем а 1.7. Пустъ фун'Ки,ия уf(x) определе­на на .множестве Х и существует ?CO'Нe"inъtu пределlim f(x) = Ь. Тогда найдется та'Кое д > О, "iто f(x) огра=§2.

Бесконечно малые и бесконечно большиефункции. Асимптотическое сравнение функций .Иногда требуется исследовать поведение функции f (x)в проколотой окрестности заданной точки (конечной илибесконечной) . Такое поведение называют асимптотиче­ским. Для исследования асимптотического поведенияданной функции проводят сравнение ее с асимптотиче­ским поведением (в той же окрестности) другой, болеепростой или лучше изученной функции.

Подобное асимп­тотическое сравнение мы будем рассматривать ниже. Всю­ду в этом параграфе будем предполагать, что точка а ли­бо конечная (то есть а Е JR), либо бесконечная (то естьа = оо, а = - оо,а = + оо ) .Определение 2.1. Фун'Ки,ия а(х) называется бес'К',О­не-чно .малой в то"i'Ке а, если lim а(х) = Ох->аОбозначение: а(х) = 8(1), х _...а... . Читается: функция а(х)есть о-малое от единицы при х, стремящемся к а.Ас·и.мптоти"iес'Кое сравнение фун'Ки,иu.х-->аничена на .мно:жестве U0(а) nХ.Доказательство. Если lim f(x)ох-+а=Ь, то найдется д > Отакое, что при всех х Е U 0(a) nX выполнено: l f(x) bl < 1,что равносильно Ь 1 < f ( х) < Ь + 1.

Если точка а непринадлежит множествуХ, то получаем, что при всех х изU0(a) n X имеет место двойное неравенство т� f(x) �.М,где т = Ь- 1, М= Ь + 1. Если же точка а принадлежитмножеству Х, то при всех х из U0(a) nX будет иметь местонеравенство т1 � f(x) � М1, где т1 = min{f(a) , Ь- 1},М1 = max{f(a) , Ь + i}. И в том , и в другом случае f (x)ограничена на множестве U8(а) n Х. О--Определение 2.2. Пустъ фун'Ки,ии f (x ) и g(x) опреде­лены в про'Колотоu д- о'Крестности то"i?Си а для не'Котоорого д > О и пустъ f (x)a(x)g(x) при всех х Е U8(a),где а(х) - не?Соторая фун'Ки,ия.

Тогда1) Если а(х) = 8(1) при х _...... а, то говорят, "iтоf (xl o(g(x)) (f(x) ест:ь о-малое от g(x) ) np11. х _...а... ;==о2) Если а(х) ограни-ч,ена в И8(а), то говорят, "iтоf(x) = O(g(x)) (f(x) естъ о-болъшое от g(х)) при х _...а... .В "iастности, если са.ма фун'Ки,ия f(x') ограничена в U8( a),то говорят, "imo .f(x) = 0(1) (J (x) естъ о-болъwое отединии,ы) при х _...... а;3) Если су·щест".вует lim а(х) = k =f. О , то говорят, 'l'mof(x)O*(g(x) ) (f(x) естъ о-болъшое со звездО'Ч'К',Ойо=14.х-+а15отg(x)) при х----+ а;4) Если существует lim а( х) = 1, то фун:к:v,ип f(x) их-->аg(x) 'liазываются э-к:вивале'1-tт'1-tъt.мu в то'Ч,'/\:е а.

Пишутf(x) g(x), х а.----7rvоЕсли g(x) =/:- О в U8(a), то можно переформулироватьf(x).предыдущее определение, полагая а( х) =g(x)Определение 2.3. Пустъ фy'li'ICV,Шt f(x) иg(x) опреде­ле'liы в про'IСолотой о-о'IСрест'liости то'Ч,'�Си а для 'lie'ICoтo­poгo о > О. Тогдаf(x)1) Если lim= О, то f(x) = o(g(x)) при х----+ а;х-->аg( Х )оf(x)ограни'Ч,е'liа при всех х Е Иб(а), то2) Если фун'IСи,ияg(x)говорят, 'Ч,то f(x) = O(g(x)) при х ----+ а. В 'Ч,аСт'liост·и,если g(x) = 1, то естъ если сама фун'�Сция f(x) ограни'Ч,еона в Иб(а), то говорят, 'Ч,то f(x) = 0(1) прих----+ а;f(x)= k =/:-О, то f(x) = O*(g(x))3) Если существует limх-->аg( Х ).при ха;f(x)4) Если существует lim= 1, то f(x) g(x), х----+ а.х-->аg( Х )Следующее утверждение читатели легко докажут само­стоятельно.Утверждение 2.1. Пустъ фун'IСv,ии f(x) иg(x) опреде­ле'liы в 'lie'ICoтopou про'IСолотой о'IСрестности то'Ч,'�Си а.

То­гда 1) j(x) g(x) nри Ха в том U rrLOЛ'b'/\;0 в томслу'Ч,ае, 'IСогда f(x)-g(x) = o(g(x)) o( f(x)) при х---> а.2) Если f(x) = O*(g(x)) при х----+ а, то f(x) = O(g(x)) приа.хЗамечание 2. 1 . Аналогично определяется сравнениефункций в точке а справа (слева) . Для этого во всех пунк­тах 1)-4) определений 2.2 и 2.3 достаточно заменить сим­вол lim на символ lim (или соответственно на lim ).Х--+а----+-rvrv----+=----+Х--+а+ОХ-->а-016Бec'!Co'lie'Ч,'IiO малые и бec'!Co'lie'Ч,'/iO болъшие фу'ii'!СV,ии.Пусть функции а( х) , j3(x) определены в проколотойокрестности точки а; а( х) = о(1);/З(х) = 8(1),х----+ а.Определение 2.4. Если а(х) = o(f3(x)) при х ----+ а , тоговорят, 'Ч,тО фу7i'/\:V,ия а(х) является в то'Ч,'/\:е а бес'К".о­'1-tе'Ч'J-tо .малой более высо-к:ого пор.яд-к:а, 'Ч,ем /3(х).Определение 2.

5 . Фy'li'I\:V,ии а(х) и/З(х) являются втО'Ч,'IСе а бес-к:оне'Ч'J-tО .малыми од'J-tого пор.яд'К".а, если су­ществуют С1 > О, С2 > О: C1la(x)l � /З(1 х)l � C2la(x)lопри всех х Е Иб(а). В 'Ч,аСт'liости, это верно, если существует та'IСая фу7i'!СV,ия 1(х) = о(1) прих ----+ а, и посто-ян'liая С =/:- О, 'Ч,то а(х) = /З(х)(С + 1(х)) при хЕоИб(а),ото естъ а(х) = 0*(/З(х)).

Если /З(х) =/:- О при х Е Иб(а),то полу'Ч,аем, �tто lim fЗа((х)) =С =/:- О.хх�аОпределение 2.6. Бес'IСО'I-lечно малые фун'IСv,uи а(х)и /З(х) являются э'К".вuвале'1-tт'1-tы.ми в moч'ICe а, еслиа(х) j3(x), х---> а.Определение 2. 7_ Фун'�Сци.я А(х) называется бес'К".о­'1-tе'Ч'J-tО болъшоu в то'Ч-к:е а, если lim А(х) = оо .rvх-+аоПусть функции А(х), В(х) определены в Иб(а) (о > О)и являются бесконечно большими в точке а.Определение 2.8. Фун'IСv,ия А(х) имеет в точ'!Се а бо­лее высо-к:иu порядо-к: роста, 'Ч,е.м, фy'li'ICV,ия В( х), еслифy'li'ICV,ия ��:� является бec'ICo'lie'Ч,'I-tO болъшой в точ'IСе а.Определение 2.9.

Фун'IСчии А(х) и В(х) имеют вmoч'ICe а oдu'J-ta-к:oвыil пор.ядо'К". роста, если существуютоcl > о, с2 > 0 : CliA(x)l � IB(x)l � C2IA(x)l, х Е Иб(а).·ч.асrпности,этовер·но,ec./1/U,ВА((х))х-+а хlim=С=/:- О.вЗамечание 2.2. Аналогично определяют и сравниваютбесконечно малые и бесконечно большие функции в точкеа справа (слева) . Для этого достаточно в определениях 2.4- 2.9 вместо х а всюду написать х а+ О (х а-О) ивместо фразы «В точке а » - «В точке а справа (слева) ».Определение 2.10.

Говор.ят, что фун:х;чия g(x) .яв­ляется главной 'Ч.астъю (главным 'Членом) фунr.;и,ии----t----t----tоf(x) при х а, если для всех х Е U0(a), б>О, выполнено:f (x) = g(x) (1 + а(х)) , где а(х) = о(1) при х а (другимисловами, если f(x) g(x), х а).Обычно рассматривают задачу об отыскании главногочлена f (х) в заданном виде (например, в виде С ха, С/ха,где С Е IR., а Е IR., и т. п. ) .Рассмотрим свойства бесконечно малых функций.Теорема 2.

1. Пустъ фунr.;чии а(х) , (З(х) , r(x) опре­делены на .множестве Х, а - пределъная точr.;а Х; приэто.м пустъ а(х) = о (1) , (З(х) = о(1), r(x) = 0(1) ,ха. Тогда (а(х) ± (З(х) ) = о (1), (а(х) · (З(х)) = о (1),(а(х) · r(x)) = о(1), х а.последовательностьДоказательство. Пусть {Xn}точек множества Х, причем lim Xn а, Xn =1- а. Тогдаn--->+ooбесконечно малые последовательно{а(хп) }, {(З(хп) }сти, {r(xn) }- ограниченная.

Значит, последовательности{а(хп) ±(З(хп) }, {а(хп) · (З(хп) }, {а(хп) ·r(xn) } таюке бес­конечно малые. Отсюда и из определения предела функ­ции по Гейне следует утверждение теоремы. DДоказательство следующей теоремы предоставляем чита­телю в качестве несложного упражнения.Теорема 2.2. Пустъ а - пределъная то'Чr.;а .множе­ства Х. Тогда 1) если фунr.;и,ия А(х) определена на Х иа, то фунr.;чияявляется бесr.;оне'Чно болъшоu при ха . 2) Ес­бесr.;оне'Чно .малая при ха(х) = 1/А(х)ли фунr.;чия а(х) опреде.лена ·на Х ·и .являет.ся.

бескт-t.е·ч,но----t----t----trv----t----t-=------t----t-о.малой в rпоч:к;е а, приче.м а(х) =1- О при х Е Х n И 6 (а), rnoфунr.;и,ия. А(х) = 1/а(х)а.бесr.;оне'Чно болъшая при х----t-18Глава 2. Непрерывность функции.§ 1. Понятие непрерывности. Локальные свойстванепрерывных функций.Пусть функция f (х ) определена на множестве Х,а Е Х, а - предельная точка Х.Определение 1. 1 (формальное) . Фунr.;и,ия J(x) на­зывается непрер'Ывной в точr.;е а, если ее предел в то'Ч­r.;е а существует и совпадает с ее 'Частным зн.а'Чение.м вэтой то'Чr.;е, то естъ lim f (х) = J(а).х--->аОпределение 1.2 (по Гейне). Фунr.;ция. J(x) назы­вается. непрерывной в rno'Чr.;e а, если для. любой после­дователъности {хп} аргументов фунr.;и,ии, тar.;ou, 'Чтоlim Xn = а, соответствующая.