И.В. Садовничая, Т.Н. Фоменко - Предел и непрерывность функции одной переменной (теория и задачи), страница 4

последователъностъn--->+oo .({f хп) } зна'Чениu фунr.;и,ии сходится. r.; f(а).Определение 1.3 (по Коши). Фунr.;чия f(x) назы­вается. непрерывной в то'Чr.;е а, если для любого Е > Онайдется таr.;ое 'Число б = б(Е) >О, 'Что для. всех то'Чеr.;х из .множества в.,(а) n х будет въtпо.лнено неравенствоlf(x) - f(a)l < Е .Очевидно, Ч'ГО определения 1.1-1.3 эквивалентны ( этосразу следует из эквивалентности определений пределафункции по Коши и по Гейне ) .З амечание 1. 1.

Заметим, что , в отличие от определе­ния 1.1, определения 1.2 и 1.3 остаются в силе и тогда,когда точка а принадлежит Х, но не является предельнойдля Х. Согласно им, функция всегда является непрерыв­ной в точке а Е Х, если а изолированная точка множе-оства Х, то есть существует Е > О такое, что Ве(а) n Х = (/)(Х- область определения функции ) . Тем не менее, чащевсего понятие непрерывности рассматривается в случае,когда а- предельная точка множества Х.19Определение 1.4. Пустъ а -предельная то'Ч?Са мно­:ж:естваХn(а, +оо) {илиХn(-оо, а)).

Фую�:ч ня у= f(x)называется непрерывной в то·�?Се а справа (слева) , ес­lim f(x) =J(a))lim+О f(x)= f(a) ( Х-+а-0ли существ ует Х-+аУтверждение 1.1. Ес.ли а является предельной то'Ч­?Соu ?Саждого из (непустых) множеств ( -оо, а] n Х,Хn [а, +оо), где Х - областъ определ.ення J(х ) , то фун·�<;­чия f( х ) непрерывна в то'Ч?Се а тогда и толъ?Со тогда,?Согда она непреръtвна в то'Ч?Се а н справа, н слева.Доказательство сразу следует из определения непре­рывности функции.Определение 1.5.

Пусть фун?С'Ц'l.lЯ у= J(x) определе­на па множестве Х, а - предельная то'Ч?Са Х. Предпо­ложим та?Сже, 'Что либо а Е Х, либо то'Ч?Са а являетсяпредельной 'J<;OX для М'IЮ�J/Сества Х n ( -00, а), та�; и длямножества Х n (а , +оо) . В этих предположениях то'Ч­?Са а называется то·ч:к:оu разрыва фун?С'Ции f( х ) , ес.лифун?С'Ция f( х ) не является непрерывной в то'Ч?Се а .Определение 1.6. Фун?С'Ция у= f(x) непрерывна на.мно::нсестве М � Х, если она непрерывна в ?Саждойточ?Се х Е М.Если не все точки множества М входят в него с пекото­рой окрестностью, то это определение немного меняется,например:Определение 1.7.

Фун?С'Ция у= f(x) непреръtвна насегменте [а, Ь], если она непрерывна в ?Саждой то'Ч?Се ин­тервала (а, Ь) и, ?Сраме того, непрерывна в то'Ч?Се а справаи в то'Ч?Се Ь слева.Теорема 1. 1. Пусть фун?С'Ции f(x), g(x) определены намножестве Х и непрерывнъt в то'Ч?Се а Е Х, Тогда фунr;;­чии f(x) ± g(x), f(x) g(x) непреръtвны в то'Ч?Се а и, еслиj(x)g(a) #-О то фун?С'Циянепрерывна в то ч?Се а .,g(x)1) Точка разрыва х0 функции f(x) называется точкойустранимого разрыва, если lim f( х ) существует и кох-+хо2021Доказательство.Таккакпоусловиюlim J(x) = f(a), х�lim g(x) = g(a), то получаем, чтоах�аlim (J(x)± g(x))= f(a) ± g(a), lim (J(x) · g(x))= f(a) g(a)х�ах�аf(x)f(a)и, в случае g(a) #-О, lim=. Далее воспользуемх -+ а g ( х )g( а )ся формальным определением непрерывности функции.·оКлассифихшция точех разрыва.у11111-------+Рис.

1: Устранимый разрыв. f(x0- О) = J(x0 +О) = Ь ## f(xo) =а.·нечен, но lim f(x) i= f(x0), или значение f(xo) не опредех-->х олено.уi_______.1охРис. 2: Разрыв I рода (неустранимый) . f(xo - О)< f(xo) = Ь < f(xo + О) =с.Рис. 3:а<2 ) Точка разрыва х0 функции f(x) назыв ается точ­кой разрыва первого рода, если односторонние пре­делы .f(x0 + О) = lim f(x) и f(xo - О) = lim f(x)Х-->Хо+ОХ-->Хо-0существуют и конечны, но lim f(x) i= lim f(x).Х--+З.:о +0X--tXO -0Замечание 1.2. Часто в литературе выделяют толькодва основных типа точек разрыва - первого рода ( суще­ствуют конечные пределы f(xo +О) и f(xo- О)) и второгорода (все остальные); при этом разрывы первого рода де­лятся на устранимые и неустранимые ( скачки ) . Поэтому поводу, см.

, например, [4], [5].22Разрыв IIрода. f(xo- О)= + оо; .f(xo + О)=-оо.3) Точка разрыва х0 функции f(x) называется точкойразрыва второго рода, если хотя бы один из односторон­них пределов f(x0+0)= lim f(x), f(x0-0)= lim f(x)x--txo+Oх-->хо-0не существует или равен бесконечности.На рисунке 4 схематически изображен график функции() {gх=siп (l)хх,, х>Ох � о.Для нее lim g(x)= g(O) =О; lim g(x)х--+0+0х--+0-023несуществует.хРис.

4: Разрывствует.IIрода. g( - 0) =g(O) =О; g(+О)- не суще­которой lim tn =а, выполнено: lim f(rp(tп)) =f(rp(a)).п�+ооп�+ооЗначит, функция у = f(rp(t)) непрерывна в точке а . ОТеорема 1. 3 . (локальная ограниченность непре­рывной функции) . Если фу·н:х;цuя у = f(x) непрерывнав то-ч,ке а, то она ограни-ч,ена на мно;нсестве В6(а) n Хдля некоторого б >О.Доказательство вытекает непосредственно из опреде­ления непрерывности функции в точке и теоремы 2.4 гла­вы 1.Теорема 1.4 (устойчивость знака функции,непрерывной в точке) . Пустъ функция у= f(x) опре­делена на множестве Х и непрерывна в то-ч,ке а . Если!(а) > О (!(а) < 0), то найдется такое б > О, -ч,тоf(x) >О (f(x) <О) для все.т х Е В6(а) n Х.Доказательство.

Так как f(x) ненрерывна в точке а,то для любого с > О существует б = б( с ) > О такое, чтопри всех х Е В&(а) n Х выполнено: /f(x) - f(a)/ < Е,что равносильно f(a) - Е < f(x) < f(a) + Е. Положимс = /f(a)//2 >О. Тогда!(а) -/f(a)// 2 < f(x)< f(a) + /f(a)//2Лопалъные свойс тва непрерывных фунпчий.Теорема 1.2 (непрерывность сложной функции).Еели функчия х = rp( t) непрерывна в rnoч'X:e а, а фун'Х:­ция у = !(х ) неnрерывна в то-ч,ке Ь = rp( а), то сложнаяфункчия 1 у= f(rp(t)) также непрерывна в то-ч,ке а .Доказательство.

Пусть {tn}- последовательность то­чек множества Т, такая , что nliш t11 =а. Так как функция�+ooЬх =rp(t) непрерывна в точке а, то х11 = rp(tп) -t rp(a)при n -t +оо. Но функция уf(x) непрерывна в точкеЬ= rp(a), следовательно, nlim f(x11) = f(b). Мы получили,-++ooчто для любой последовательности {tп} аргументов, для==-'--".,...".24�х ЕВ&(а) nX.D§2. Глобальные свойства непрерывных функций.Обозначим через С[а, Ь] класс функций, непрерывныхна сег111енте [а, Ь] и изучим некоторые свойства функцийиз этого класса.Теорема 2.1. Пустъ функция f(x) непрерывна на сег­мешпе [а, Ь] ·и, f(a) f(b) <О.

Тогда ?tлйдется rпа:к:ая rпо'Ч:к:ас Е (а, Ь), что f(c) =О ..1понятие сложной функции вве;(ено в главе 1, опрс;(сление 1.153f(a)f(a)< j'(x) <' f(a) >О,223f a)f a)'< j (x)<<О, f(a)<ОО<{�<=?·25"таких что "ность {хkп }. Обозначим � = n-т+ооlim Xkn . Так как xkn Е [а ) Ь]Доказательство. Не ограничивая общности, мо­жем считать, что f(a) < О, f(b) > О. ПустьА = {х Е [а, Ь) 1 f(x) < 0 }.

Заметим, что множество Ане пусто (так как а Е А) и ограничено сверху (напри­мер, числом Ь). Значит, существует sнр А = с. Покажем ,что f(c) = О. Предположим, что f(c) > О. Тогда с =1 аи (по теореме о сохранении знака) найдется такое числоб > О , что f(x) > О при всех х Е (с - б, с]. Следовательно,точка с не является точной верхней гранью множества А .Мы пришли к противоречию, значит, наше предположе­ние неверно и f(c ) � О. Если f(c) < О , то с -1= Ь и найдетсятакое б > О, что f(x) < О при всех х Е [с, с + б ). Но этоозначало бы, что с не является верхней гранью множестваА.

Получаем, что f(c) = О . ОСледствие (о прохождении непрерывной функ­ции через промежуточные значения). Пусть f (х)непрерывна на сегменте [а , Ь) . Тогда для любого числа "/,лежащего между значениями f(a) и f(b) , найдется такаяточка с из сегмента [а , Ь) , что f(c) = тДоказательство. Обозначим а = min {f(а) , f(Ь) } ,=max{f(a) , f(b) } . Пусть "( Е [а, fЗ].

Если 'У = а илиf3'У = (3, то утверждение очевидно. Пусть а < 'У < (3. Рас­смотрим функцию g(x) = f(х)- т Она удовлетворяет всемусловиям предыдущей теоремы. Значит, существует такаяточка с Е [а, Ь] , что g(c) = О, то есть !(с) = �;. ОТеорема 2.2 (первая теорема Вейерштрасса) .Фун:к:u,ия f(x), пепрерывпая па сегменте [а, Ь) , ограни-ч,е­на па этом сегменте.Доказательство. Предположим, что J(x) не ограни­чена на [а, Ь) сверху. Тогда для любого натурального nнайдется такая точка Xn из сегмента [а, Ь], что f(хп) > n.Рассмотрим числовую последовательность { Xn } .

Она огра­ничена (поскольку а � Xn � Ь при всех n Е N), значит,из нее можно выделить сходящуюся подпоследователь-а�х �Ьи т = inf f(x). Предположим, что f(x) < М при всеха�х �Ьх Е [а, Ь). Введем функцию g(x) = 1/(М - f(x)). Функцияg(x) непрерывна на сегменте [а, Ь] (как частное двух непре­рывных функций, причем знаменатель не обращается в2627Vn Е N, то � Е [а, Ь] . Функция f(x) непрерывна на сег­менте [а, Ь], следовательно, она непрерывна и в точке �­Значит, n lim f(xkn ) = !(� ) (определение непрерывности->+ooфункции по Гейне) .

Но по построению последовательности {хп} имеем: f(xkn ) > kп для любого n Е N, то естьf(xkn ) -----+ +оо . Мы пришли к противоречию. Значит, нашепредположение неверно и функция f(х) ограничена свер­ху. Ограниченность снизу проверяется аналогично. ОЗамечание 2.1. В случае интервала или полуинтерва­ла утверждение теоремы, вообще rоворя, неверно. Напри­мер, функция f(x) = 1/х непрерывна на интервале (0, 1)и на полуинтервале (0, 1], но не ограничена на этих про­межутках.Определение 2. 1 . Число М Е IR (т Е IR) 'Называетсяmоч:ной верхией (ии;жией) граиъю фун-к;u,ии f( х) 'На.М'Ножестве А, если выпол'Ненъt условия:1) f(x) � М (f(x) ;;? т) при всех х Е А;2} для любого Е > О пайдется та-к;ая то-ч,'к:а х' Е А, 'Ч,тоf(x' ) > М - Е (f(x' ) < т + Е ).Обозначения: М = sнр f(x) , т = iпf f(x).хЕАхЕАТеорема 2.

3 (вторая теорема Вейерштрасса) .Пуст:ь фу'Н?Щ1J.я f (х) непрерывна на сегменте [а, Ь] . Тогдаона достигает па этом сегменте своих то-ч,ной верхнейи mо'Ч,ной нижней граней.Доказательство. Так как f(x) непрерывна на [а, Ь), то,согласно первой теореме Вейерштрасса, она ограничена наэтом сегменте. Значит, существуют числа М = sнр f(x)О) , следовательно, ограничена на нем. Значит, существуетчисло А > О такое, что 1/(М - f(x)) � А при всех х Е [а, Ь] ,что равносильно М - f(x) � 1/А или f(x) � М - 1/АVx Е [а, Ь] .

Но последнее неравенство означает, что чис­ло М не является точной верхней гранью функции J ( х)на сегменте [а, Ь] . Мы пришли к противоречию. Следова­тельно, наше предположение неверно, и существует точках0 Е [а, Ь] такая, что f (x0) = М. Аналогичные рассужде­ния можно провести и для точной нижней грани . О§3. Монотонные функции.- f (x) 2} Пустъ у -{{х, х - рационалыюе,1 - х, х - иррационалъное;х Е Х= [0, 1].