FAQ - Панферов, страница 4

Сопряженное отображение всегда существует и единственно.(1) Выберем в W ортонормированный базис е. Любой вектор из W представим в виде x= (x,ei)ei.(2) Если сопряженное отображение существует, тоA*y= (A*y,ei)ei= (y,Aei)ei.*Определяя A указанным образом, получим сопряженное отображение.Свойства операции сопряжения :(A*)*=A; (A+B) *= A*+ B*; ( A)*= *A* дляС; (AB) *= B*A*; (A-1)*= (A*)-1.Утверждение. Матрицы взаимно сопряженных отображений относительно любой пары ортонормированныхбазисов являются взаимно сопряженными.Утверждение.

rang(A)=rang(A*).Утверждение. V=Ker(A) im(A*); W= Ker(A*) im(A).Пусть x Ker(A),y W(x, A*y)=(Ax,y)=(0,y)=0Ker(A) im(A*)V=Ker(A) im(A*); т.к.*dim(Ker(A))+dim(im(A ))= dim(Ker(A))+dim(im(A))=V.31. Нормальный оператор.Лемма. Если операторы А,В:VV в комплексном пространстве V коммутируют, то у них есть общий собственныйвектор.Пусть W=W( ) - собственное подпространство А и x W.

Тогда А(Вх)=В(Ах)=В( х)= ВхВх W BW W, т.е.W инвариантно относительно В; тогда у индуцированного на W оператора В найдется собственный вектор,являющимся в силу определения W собственным и для А.Оператор А:VV называется нормальным, если АA*=A*А, т.е.

коммутирует со своим сопряженным.Теорема. А:VV нормаленсуществует ортонормированный базис из его собственных векторов.(1) Пусть А - нормальный оператор. Согласно лемме, у А и A* найдется общий собственный вектор e1. Будемсчитать, что он нормирован. Рассмотрим Vn-1 - ортогональное дополнение к L(e1). Это подпространство инвариантноотносительно А и A*.

Для А и A* индуцированных на Vn-1, найдется общий нормированный собственный вектор e2.Продолжая процесс аналогичным образом, получим ортонормированную систему из n векторов (e1,e2, ... ,en) ,собственных для А и A*.(2) Пусть е=(e1,e2, ... ,en) - ортонормированный базис V и Аеi= iеi.

Определим оператор В следующим образом :Веi=( i)*еi. Очевидно, что В сопряжен А, А*=В. Остается убедиться, что АA*х=A*Ах для x V.32. Блочно-диагональная форма вещественной нормальной матрицы33. Эрмитовы операторы и матрицы. Эрмитово разложениеЛинейный оператор H:VV называется самосопряженным, если H=H*, т.е.

H равен собственному сопряженному.Самосопряженный оператор в унитарном пространстве называется эрмитовым; в евклидовом пространстве симметричным.Теорема 1. H:VV в унитарном V является эрмитовым(Hx,x) вещественно для любого х.Утверждение. Эрмитов оператор является нормальным.Теорема 2. Нормальный Н является эрмитовымвсе его собственные значения есть вещественные числа.(1) Пусть Н - эрмитов.

Возьмем собственное значение и соответствующий ему нормированный собственныйвектор х. =( х,х)=(Нх,х)=(х,Нх)=(х, х)= *есть вещественное число.(2) Обратно, пусть нормальный Н имеет вещественные собственные значенияматрицы Н и H* вортонормированном базисе из собственных векторов (где по диагонали стоят собственные значения) виде будутсовпадать.Эрмитовым разложением оператора А называется представление оператора в виде суммы эрмитова и косоэрмитоваоператора; т.е. пара эрмитовых операторов B,С такая что А=В+iC.Теорема 1. Для любого А:VV в унитарном пространстве эрмитово разложение существует и единственно.Легко убедиться в том, что B=(A+A*)/2 и С=(A-A*)/2i обладают заданными свойствами.

Единственность пары В,Свытекает из того, что допуская представление А=В+iC, где В и С - эрмитовы, с учетом равенства А*= В-iC,приходим к выписанным определениям.Утверждение. Оператор А является нормальнымоператоры В и С в его эрмитовом разложении коммутируют.Эрмитовым разложением оператора А называется представление оператора в виде А=BU, где В - неотрицательныйи U - унитарный.34. Симметрические операторы и матрицы35. Унитарный (ортогональный) оператор.Оператор А:VV в унитарном V называется унитарным, если A*A=Е.Унитарный оператор в евклидовом пространстве называется ортогональным.Теорема.

А есть унитарныйx,y V (Ax,Ay)=(x,y) (A сохраняет скалярное произведение)А сохраняетортонормированностьА изометриченА нормален и его собственные значения по модулю равны 1.Пусть А есть унитарный оператор(Ax,Ay)=(x,A*Ay)=(x,y) (A сохраняет скалярное произведение)cохраняетортонормированностьА обратим; умножая A*A=Е справа на А-1 , получаем A*=А-1АA*= A*A=Е. А нормален,© AlecSoft design 1996Page #9 Date 8/31/2008покажем, что его собственные значения по модулю равны 1. Пусть- собственное значение А и |x|=11=(x,x)=(Ax,Ax)= ( *)= 2 | |=1.Обратно, пусть А нормален и его собственные значения по модулю равны 1. Перемножая диагональные матрицы Аи A* в любом порядке, получим АA*= A*A=Е.Пусть А сохраняет ортонормированность(Ax,Ay)=(x,y) (A сохраняет скалярное произведение ). (x,A*Ay)=(x,y)**(x,(A A-E)y)=0A A=Е.Пусть A сохраняет скалярное произведениеА изометричен, т.к.

метрика и норма определены скалярнымпроизведением.Обратно, пусть А изометричен. Воспользуемся соотношением :(x,y)=(|x+y|2-|x-y|2+i|x+iy|2-i|x-iy|2)/4и покажем, что A сохраняет скалярное произведение.36. Каноническая форма ортогонального оператора.Унитарный оператор в евклидовом пространстве называется ортогональным.Матрица Р(е) ортогонального оператора Р ортогональна; det P(e)= 1.Ортогональное преобразование называется собственным (сохраняющим ориентацию), если det P(e)=+1.Ортогональное преобразование называется несобственным, если det P(e)=-1.Теорема. Любой ортогональный оператор P:VV представим в виде прямой суммы ортогональных отражений иповоротов; т.е.

в V найдется базис е, в котором матрица Р имеет квазидиагональный вид, где по диагонали стоят 1,-1и матрицы поворота в двумерных подпространствах на какие-то углы k .37. Знакоопределенные операторы. Корень из оператора.Эрмитов оператор Н называется неотрицательным : Н 0, если для любого х : (Нх,х) 0. Н называетсяположительно определенным : Н>0, если для любого ненулевого х : (Нх,х)>0.Н называется неположительным, если (-Н) неотрицателен. Н называется отрицательно определенным, если (-Н)положительно определен.Теорема 1. Эрмитов Н является положительно определеннымвсе его собственные значения положительны.Лемма. Если Н и S положительно определены, а и b неотрицательны и не равны нулю одновремено, то aH+bSположительно определен. Если Н положительно определен, то Н-1 также положительно определен.Неотрицательный оператор S называется корнем квадратным из неотрицательного Н, если S2=Н.Теорема 2.

Корень квадратный из Н 0 существует и единственен.Классификация линейных операторов в конечномерном унитарном пространстве по характеру собственных значенийОператорСобственные значенияЭрмитоввещественныНеотрицательныйнеотрицательныПоложительно определенныйположительныУнитарныйпо модулю равны 1Обратимыйне равны 0Идемпотентныйравны 0 или 1Нильпотентныйравны 038. Разложения линейного оператора (полярное). Сингулярные числа и векторыТеорема 2. Для любого А:VV в унитарном пространстве эрмитово разложение существует.

Если А невырожден,то эрмитово разложение единственно , причем В>0.Если А невырожден, то В=(АА*)1/2; U=B-1A.39. Теорема и альтернатива ФредгольмаТеорема 1 (альтернатива Фредгольма). Либо основное уравнение Az=u имеет решение при любой правой части,либо сопряженное однородное уравнение имеет ненулевое решение.Теорема 2 (теорема Фредгольма). Операторное уравнение Az=u разрешимовектор u ортогонален Ker(A*).*Доказательство этих теорем основано на факте V=im(A) Ker(A ).40. Билинейные формы в линейном пространстве.

Приведение квадратичной формы кканоническому виду. Метод Лагранжа. Формулы Якоби.Билинейной формой, заданной на V(P) называется отображение В:V2P, удовлетворяющее следующимсоотношениям :B(x+y,z)=B(x,z)+B(y,z); B(ax,y)=aB(x,y);B(x,y+z)=B(x,y)+B(x,z); B(x,ay)=aB(x,y);( линейное по обоим аргументам ).Утверждение. Произведение двух линейных форм k(x)l(y) является билинейной формой.Билинейная форма B называется симметричной, если В(x,y)=B(y,x); B называется кососимметричной, если В(x,y)=B(y,x).Матрицей В в базисе е называется квадратная матрица В(е)=[ kj]=[B(ek,ej)].© AlecSoft design 1996Page #10 Date 8/31/2008Утверждение. Для любых векторов x,y и фиксированного базиса е:B(x,y)=xT(e)B(e)y(e),где x(е),y(е) - координатные столбцы векторов x,y в базисе е.Общий вид билинейной формы :B(x,y)= kj xkyj.Утверждение (преобразование матрицы билинейной формы).

Пусть е и е’=eS - базисы V. Тогда В(e’)=STB(e)S.Рангом билинейной формы В называется ранг ее матрицы : rang B=rang В(е).Билинейная форма называется вырожденной, если для некоторого ненулевого х и любого y выполняется B(x,y)=0.Теорема. Билинейная форма В(x,y) вырожденаrang B < dim V.Фиксируем базис е. Вырожденнность В(x,y) равносильна существованию ненулевого решения системы уравнений{B(x,e1), ... , B(x,en)} , матрица коэффициентов которой есть матрица В(е) билинейной формы в выбранном базисе.Отображение А:VP называется квадратичной формой на V если А(х)=В(x,x), где В - некоторая симметричнаябилинейная форма.