FAQ - Панферов, страница 6

n - соответствующие собственные значения. S единичная сфера.Лемма. Если х - вектор из S (L=L(еt,...,еs)), то t (Ах,х) s.Утверждение. Пусть В и А - два симметричных оператора и В-А 0; а 1 ... n и 1 ... n - наборы их собственныхзначений. Утверждается, что эти наборы между собой связаны неравенствами i i.54.55._______________________________________________________________________________________________________61. Операторные уравнения. Условия разрешимости.Уравнение вида Az=u, где A:VW, V и W - унитарные, u=const., будем называть (основным) операторнымуравнением.Однородное уравнение A*z=0 называется сопряженным к основному уравнению.62.

Нормальное решение. Псевдорешение.Пусть операторное уравнение Az=u разрешимо; имеется некоторая совокупность его решений H. Нормальнымрешением назовем решение наименьшей длины, т.е. такое решение zo : |z0|=inf{|z| : Az=u}.Теорема 1. Если уравнение разрешимо, то нормальное его решение существует и единственно.Совокупность решений Н является линейным аффинным многообразием : Н=z+Ker(A), где z - какое-нибудьрешение.

Разложим z в сумму ортогональной проекции на Ker(A) и ортогональной составляющей zo. zo естьнормальное решение.Пусть операторное уравнение Az=u неразрешимо; определим функционал невязки (z)=|Az-u|. Вектор z0 будемназывать псевдорешением если z0 минимизирует (z), т.е. (z0)=inf{ (z)=|Az-u|, z V}. x=Az0 есть ортогональнаяпроекция вектора u на im(A).Нормальным псевдорешением будем называть псевдорешение наименьшей длины; или, что то же самое, нормальноерешение уравнения Az=x.Утверждение.

Нормальное псевдорешение существует и единственно.Уравнение А*Az=А*u называется нормальным к основному уравнению Az=u.Теорема 2. Вектор z0 является псевдорешением Az=uz0 является решением нормального уравнения.Поскольку u-x Ker(A*), то A*x= A*u и достаточно показать, что уравнение Az=x равносильно уравнениюА*Az=А*х. В самом деле,А*Az=А*хА*(Az-х)=0Аz-x Ker(А*).Но поскольку Аz-x im(A)=(Ker(А*)) , то Az-x=0. Обратное очевидно.© AlecSoft design 1996.