FAQ - Панферов (1114621)
Текст из файла
Page #1 Date 8/31/2008Экзаменационные вопросыпо курсу”Линейная алгебра”I курс факультета ВМиК, II семестрЛектор : Панферов В.С. (кафедра общей математики ВМиК).Другие источники:1. Е.В. Шикин. Линейные пространства и отображения. ВМиК МГУ, 1987.2. Х.Д. Икрамов. Задачник по линейной алгебре. “Наука”,1975.3. И.В.
Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре. “Наука”,1984.4. Finite-dimensional vector spaces. by Paul R. Halmos / П. Халмош. Конечномерныевекторные пространства. М, 1963.5. В.В. Воеводин. Линейная алгебра. “Наука”,1974.Frequently asked questions1. Линейное пространство. Определение, основные свойства и примеры. Ранг и база системывекторов.Полем будем называть произвольное множество Р элементов произвольной природы (скаляров), с двумяалгебраическими операциями +,* : Р2 Р. При этом должны быть выполнены следующие аксиомы ( a,b,c P ) :(A1) a+b = b+c; (A2) a+(b+c) = (a+b)+c;(A3) ! 0 P : a : a+0=a; (A4) ! (-a) : a+(-a)=0.(свойства A означают, что Р - абелева группа по сложению)(B1) ab = ba; (B2) a(bc) = (ab)c;(B3) ! 1 P : a : a1=a; (B4) a 0 : ! (a-1) : a(a-1)=1.(C) a(b+c) = ab + bc.Линейным векторным пространством V(P) над полем Р будем называть множество V элементов произвольнойприроды (векторов), с двумя операциями :сложение векторов + : V2V иумножение на скаляр * : PxV V.
При этом должны быть выполнены следующие аксиомы ( x,y V, c,d P)(A) V - абелева группа по сложению.(B1) c(dx) = (cd) x; (B2) 1x = x;(C1) c(x+y) = cx+cy; (C2) (c+d)x = cx+dx.Если UV(P) является векторным пространством над Р с определенными V операциями , то U называется(линейным) подпространством V.Пространства V(R) и U(C) над полями вещественных и комплексных чисел называются соответственновещественными и комплексными векторными пространствами.Примеры линейных пространств :Множество С[0;1] непрерывных вещественнозначных функций, определенных на сегменте [0;1] (пространство надполем R).Любое поле Р есть линейное пространство над самим собой.Множество PMxN прямоугольных MxN - матриц.Поле С можно рассматривать как линейное пространство над полем R.Линейной комбинацией векторов X = {xi} c коэффициентами ai будем называть вектор x = (aixi) .
Говорят, что xлинейно выражается через хi .Систему векторов X будем называть линейно независимой, если( (aixi) = 0)(ai 0).Базой системы векторов Х будем называть такую ее линейно независимую подсистему Y X, что все вектора Xлинейно выражаются через вектора Y.Рангом системы Х будем называть минимальное количество векторов в ее базе.2. Изоморфизм линейных пространств.Линейные пространства V и U над одним полем Р называются изоморфными, V U, если существует изоморфизм биективное отображение : VU, такое, что x,y V и, P : ( x+ y) = (x) + (y).Утверждение.
Отношение на множестве линейных пространств есть отношение эквивалентности, т.е. (1) U U;(2) V UU V; (3) U V, V W U W.Теорема. Конечномерные U(P) и V(P) изоморфныdim U = dim V.Утверждение. Любое n-мерное V(P) изоморфно Pn.3. Сумма и пересечение линейных подпространств.© AlecSoft design 1996Page #2 Date 8/31/2008Линейной оболочкой системы X = {xi} V(P) будем называть множество L(X) = { (aixi) | ai P } всевозможныхлинейных комбинаций векторов X.Лемма.
Любая линейная оболочка L(X) , XV(P) является линейным подпространством V. В самом деле,складывая два элемента x,y L(X) , получаем z = x+y = (aixi) + (bixi) = (ai+bi)xi L(X). Аналогично x L(X)дляP.Линейная оболочка L(X) является наименьшим по включению линейным подпространством V, содержащим X.Пример. Рассмотрим систему функций X = { 1,t,...,tn, ... } C[0;1].
Тогда L(X) есть пространство многочленов над R.Пусть U,U’ - подпространства V(P).Cуммой U и U’ называется U+U’ = { x+ y | , P, x U, y U’ }.Утверждение. Сумма и пересечение линейных подпространств V есть подпространства V.Теорема. Если W1 , W2 - подпространства V, то dim(W1+W2)+dim(W1 W2)= dim(W1)+dim(W2).(1) Случай W1 W2 = {0} тривиален.(2) Пусть e1 , ... , en - базис W1 W2. Дополним его векторами f1 , ...
, fp до базиса W1 и векторами g1 , ... , gq до базисаW2. Остается показать, что e1 , ... , en , f1 , ... , fp, g1 , ... , gq - базис в W1+W2. В самом деле, пустьiei +ifi +igi =0; тогда y = iei + ifi = - igi W1 W2. В силу единственности разложения вектора y из W1 W2 по базису {ei} илинейной независимости {fi} получаем i 0 . Так как система { ei } {gi } линейно независима, то i 0 и i 0.Таким образом, система { e1 , ... , en , f1 , ... , fp, g1 , ... , gq } линейно независима.4. Прямая сумма линейных подпространств.Если W1 , W2 - подпространства V и для любого x W1+W2 разложение x = x1 + x2 единственно, то сумма W1 и W2называется прямой суммой : W1+W2 = W1 W2.Теорема.
Если W1 W2 = {0} и dim(V)=dim(W1)+dim(W2), то V = W1 W2.(1) Согласно п.4 , dim(V)=dim(W1)+dim(W2)=dim(W1+W2). Тогда V=W1+W2.(2) Докажем единственность разложения x V на вектора из W1 и W2. В самом деле, если бы x = x1 + x2 = y1 + y2 , тоx1 - y1 = x2 - y2 W1 W2; т.е. x1=y1 и x2=y2.Пусть W - подпространство V. W называется дополнительным к W , если V=W W . Дополнительноеподпространство определено неоднозначно.Лемма. Дополнительное пространство всегда существует.Достаточно взять базис подпространства W и дополнить его векторами f1 , ... , fp до базиса V.
Утверждается, что L(f1, ... , fp)= W .5. Пространства со скалярным произведением. Неравенство Коши - Буняковского.Евклидовым будем называть линейное пространство Е, в котором определена операция скалярного умножения : (,) :E2R, удовлетворяющая следующим соотношениям :(x,y)=(y,x) (симметричность) ;(x+y,z)=(x,z)+(y,z); ( x,y)= (x,y) (линейность);x2=(x,x) 0, причем x2=0x = 0 (положительная определенность).Естественное скалярное произведение в Rn : для x=(x1,...,xn) и y=(y1,...,yn) полагаем (x,y) = (xiyi).В любом подпространстве евклидова пространства естественным образом задано скалярное произведение.Унитарным будем называть комплексное линейное пространство U(C), в котором определена операция скалярногоумножения : (,) : U2C, удовлетворяющая следующим соотношениям :(x,y)=(y,x) *;(x+y,z)=(x,z)+(y,z); ( x,y)= (x,y) (линейность);x2=(x,x) 0, причем x2=0x = 0.Естественное скалярное произведение в Cn : для x=(x1,...,xn) и y=(y1,...,yn) полагаем (x,y) = (xiyi*).Матрицей Грама системы векторов X = (x1, ...
, xn) называется матрица, составленная из попарных скалярныхпроизведений этих векторов :Г(X) = [(xk, xm)].2Неравенство Коши-Буняковского. (x,y) (x,x)(y,y). ( det Г(x,y) 0 )Пусть x 0. Рассмотрим неравенство (tx-y,tx-y) 0, выполняющееся при любых t; запишем это в виде квадратногонеравенcтва относительно t :t2(x,x)-2t(x,y)+(y,y) 0.Из неположительности дискриминанта вытекает неравенство Коши-Буняковского.Утверждение.
Равенство имеет место лишь в случае коллинеарных x и y.В унитарном пространстве имеет место неравенство Коши-Буняковского в виде|(x,y)|2 (x,x)(y,y).6. Длина и угол. Неравенства треугольника в Евклидовом (и унитарном) пространстве.Тождество параллелограмма и критерий евклидовости нормыДлиной вектора х называется число |x| = (x,x)1/2.Неравенство треугольника : |x+y| |x|+|y|.Достаточно записать : |x+y|2 = (x,x) + 2(x,y) + (y,y) (x,x) + 2|(x,y)| + (y,y) |x|2 + 2|x||y| + |y|2 (согласно определениюдлины и неравенству Коши-Буняковского) = (|x|+|y|)2; извлекая квадратный корень, получаем неравенствотреугольника.© AlecSoft design 1996Page #3 Date 8/31/200822Тождество параллелограмма: |x+y| +|x-y| =2(|x|2+|y|2)Углом между ненулевыми векторами называется число из [0;2 ], определяемое равенствомcos = (x,y)/(|x||y|).7. Ортонормированный базис.
Скалярное произведение в ортонормированном базисе.Существование ортонормированного базиса.Система векторов X = (x1, ... , xn) в евклидовом (унитарном) пространстве называется ортогональной, если (xk, xm) =0 при k m.Система векторов X называется ортонормированной, если (xk, xm) = km, или, что то же самое, их матрица Грамаединична : Г(X) = E.Лемма. Ортонормированная система векторов линейно независима.Достаточно рассмотреть равенство вида ixk = 0, умножить его скалярно на xm (m = 1,...,n) и получить, что i 0.Скалярное произведение векторов x=(x1,...,xn) и y=(y1,...,yn) в евклидовом пространстве, записанных своимикоординатами в ортонормированном базисе е, равно (x,y) = (xiyi) , согласно свойству линейности скалярногопроизведения по обоим аргументам и поскольку (еk, еm) = km.Теорема. В любом n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.(1) Доказывается по индукции.
Для n = 1 - очевидно.(2) В n-мерном пространстве существует какой-то базис (f1, ... , fn-1 , fn). Рассмотрим ортонормированный базис (e1, ...,en-1) подпространства L(f1, ... , fn-1). Построим вектор g = (fn - 1e1-...- n-1en-1), где i = (fn,ei).(3) В качестве базиса возьмем (e1, ... , en-1 , en) , где en = g/|g|.8.
Матрица Грама. Критерий линейной зависимости.Матрицей Грама системы X = (x1, ... , xn) называется Г(X) = [(xk, xm)].Символическая запись Г(X) = XTX, где элементы перемножаются скалярно.ГТ=Г (матрица Грама есть симметрическая/эрмитова).Теорема (критерий линейной зависимости). Система векторов X = (x1, ... , xn) линейно зависимаdet Г(Х) = 0.(1) Пусть имеется нетривиальная линейная комбинация векторов Х :1x1+...+ nxn=0Умножая это равенство скалярно последовательно на x1, ... , xn , получимГ(Х)( 1,..., n)Т=0Таким образом матрица Г(Х) вырождена, поскольку система имеет ненулевое решение ( 1,..., n)Т.(2) Обратно, пусть столбцы матрицы Г(Х) линейно зависимы.
Тогда один из них, для определенности n-й, линейновыражается через другие :(xi,xn) = 1(xi,x1)+...+ n-1(xi,xn-1) ( где i = 1,..,n)(xi,g) = 0, где g = xn - 1x1 - ... - n-1xn-1.Таким образом, g ортогонален подпространству L(x1, ... , xn). Поскольку g L(x1, ... , xn), то g = 0xn = 1 x1 + ... +n-1xn-1, т.е. вектор хn линейно выражается через x1, ... , xn-1.9. Ортогональное дополнение. Разложение вектора на ортогональную проекцию иортогональную составляющую.Ортогональным дополнением множества X E называется множество векторовХ ={y E | x X (y,x)=0 }.Лемма 1. Х есть линейное подпространство Е.Лемма 2.
Х = (L(X)) .Лемма 3. Если W - подпространство Е, то Е=W W , т.е. любой вектор однозначно разлагается на ортогональнуюпроекцию и ортогональную составляющую относительно подпространства.Достаточно показать, что обьединяя базисы W и W получим базис Е.Лемма 4. Если W - подпространство Е, то (W ) =W.10. Ортонормированный базис и унитарные(ортогональные) матрицыМатрица Uунитарна, если UUH=UHU=I, матрица Qортогональна, если QQT=QTQ=IТеорема: матрица перехода от ортонормированного базиса е к базису е’ евклидова (унитарного) пространстваортогональна (унитарна) ТТТК е’ – ортогональный базис11. Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта.
QR-разложение матрицыПроцесс ортогонализации есть решение вопроса о построении ортонормированной системы векторов при заданнойлинейно независимой системе. Каждый шаг процесса аналогичен шагу (2) в доказательстве предыдущей теоремы.AL=Q (L – верхняя треугольная матрица - как произведение верх.тр.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
