FAQ - Панферов (1114621), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Билинейная В(x,y) называется полярной к квадратичной форме А(х).Утверждение. Квадратичная форма однозначно определяет полярную к ней симметричную билинейную форму.Это очевидно из соотношения В(x,y)=[A(x+y)-A(x)-A(y)]/2.Матрицей квадратичной формы называется матрица полярной к ней билинейной формы. Рангом квадратичнойформы называется ранг полярной к ней билинейной формы.. Каноническим видом квадратичной формы называется ее матрица в некотором базисе, имеющая диагональный вид.Канонический вид, очевидно, определен неоднозначно.Теорема. Для любой квадратичной формы А:VP в пространстве V существует базис h, такой, что A(h) естьдиагональная матрица.Доказательство основано на методе Лагранжа последовательного выделения полных квадратов. См.: Шикин Е.В.
,стр 98.Обозначение : k - главные миноры матрицы квадратичной формы. 0 = 1.Теорема (метод Якоби). Пусть k 0 . Тогда А(x,x) можно привести к виду А(f)=diag{ 1,..., n}, где k = k-1/ k.41. Закон инерции квадратичных форм. Сигнатурное правило Якоби.Теорема (закон инерции). Число положительных р и число отрицательных m коэффициентов в любомканоническом виде данной квадратичной формы постоянны.Число (p-m) называется сигнатурой квадратичной формы.Индексом квадратичной формы А(х,х) называется максимальная размерность подпространства W, на котором Аотрицательно определена: dim(W)=index A(x,x).Утверждение.
Индекс квадратичной формы равен числу m отрицательных слагаемых в ее каноническом виде.42. Квадратичные формы в евклидовом (и унитарном) пространстве. Приведение к главнымосям.Теорема. Пусть В(х,у) - билинейная форма, заданная на евклидовом пространстве V. Тогда существуетединственный оператор А, такой, что для любых векторов х,у выполняется В(х,у)=(Ах,у). При этом матрицаоператора А совпадает с матрицей формы В.Утверждение.
Оператор А симметриченформа В симметрична.Утверждение. Аналогичная теорема справедлива и для полуторалинейной формы в унитарном пространстве.Теорема. Пусть В(х,у) - квадратичная форма, заданная на евклидовом пространстве V.Существуетортонормированный базис е, такой, чтоВ(х,х)= i(xi)2.Представим квадратичную форму в виде В(х,у)=(Ах,у), где А-симметричный опертор. Достаточно найти длясимметричного А ортонормированный базис e из собственных векторов. Тогда матрица B(e)=A(e) будет иметьдиагональный вид.Операция построения такого ортонормированного базиса называется приведением квадратичной формы к главнымосям.43.
Одновременное приведение к главным осям пары квадратичных форм.Теорема. Пусть в n-мерном вещественном пространстве V заданы две квадратичные формы В(x,x) и С(x,x), причемС>0. Возможно одним преобразованием привести эти две квадратичные формы к главным осям; т.е. существуетбазис е :В(х,х)= i(xi)2; С(х,х)= (xi)2.Поскольку С положительно определена, то с ее помощью можно задать скалярное произведение - положим(x,y)=C(x,y). Таким образом V превращено в евклидово пространство; в нем существует ортонормированный базисе, для которого В(х,х)= i(xi)2.
Так как е ортонормирован, то С(х,х)= (xi)2.Утверждение. Аналогичная теорема справедлива и для эрмитовых квадратичных форм в комплексном пространстве44. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.© AlecSoft design 1996Page #11 Date 8/31/2008Квадратичная форма А(х,х) называется положительно определенной, если А(х,х)>0 для любого ненулевого векторах. Квадратичная форма А(х,х) называется отрицательно определенной, если А(х,х)<0 для любого ненулевоговектора х.Обозначение : k - минор матрицы квадратичной формы, расположенный в строках 1,2,...k и столбцах 1,2,...k. 0 = 1.Теорема (критерий Сильвестра положительной определенности).
Квадратичная форма А(х,х) положительноопределенавсе k > 0. Квадратичная форма А(х,х) отрицательно определенавсе k k-1 < 0.45.46. Уравнения гиперповерхности второго порядка в евклидовом пространстве.47-48. Норма вектора. Эквивалентность форм в конечномерном пространстве.Линейное пространство V(P) называется нормированным, если на нем задана норма - отображение | | : VR соследующими свойствами :(1) |x| 0, причем |x|=0x = 0;(2) | x|=| ||x|;(3) |x+y| |x|+|y| (неравентво треугольника ).Евклидова норма : |x|=(x,x)1/2.Энергетической нормой x называется величина |x|A=|А1/2х|, определяемая положительным оператором А.р-нормой (p N) вектора х Rn называется величина |x|p=( i | xi |p )1/p.Будем говорить, что последовательность векторов xn сходится к вектору а по выбранной норме, если |xn-a| 0.Будем говорить, что две нормы (1 и 2) в пространстве V эквивалентны, если найдутся положительные константы С1и С2 такие, что для любого вектора х выполняются неравенства :|x|2 С1|x|1 ; |x|1 С2|x|2.Теорема.
Любые две нормы в конечномерном комплексном пространстве эквивалентны.Фиксируем базис е. Покажем, что любая норма |х| эквивалентна евклидовой норме |x|Е=( | xi |2 )1/2.(1) Пусть М=max{|e1|,...,|en|}. Тогдаi|x| | i xiei |M i |xi| M(n1/2)( | xi |2 )1/2.i |x | |ei|1/2Таким образом, полагая С1=M(n ), получаем, что |x| С1|x|Е.(2) Рассмотрим единичную сферу относительно нормы |x| с центром в 0 - множествоS={x : |x|=1}.Покажем, что все евклидовы нормы векторов из этой сферы ограничены.
Предположим противное, т.е. что длялюбого m N найдется найдется на этой сфере вектор xm : |xm|E >m. Рассмотрим последовательность векторовym=xm /|xm|E SЕ(принадлежащих евклидовой единичной сфере). Согласно теореме Больцано-Вейерштрасса из {ym} можно выделитьсходящуюся по евклидовой норме подпоследовательность; без ограничения общности будем считать, что {ym} b.b 0 поскольку b SЕ. Согласно доказанному в первой части, |ym-b| С1|ym-b|Е ; таким образом, {ym} b по норме ||.Однако, согласно определению векторов ym , |ym|=|xm|/|xm|E < 1/m 0 (противоречие).(3) Таким образом, евклидовы нормы векторов на сфере S ограничены каким-то числом C2. Проецируя на сферупроизвольный х, получим |x/|x||E C2|x|E C2|x|.50. Норма линейного оператора.Утверждение. В конечномерных нормированных пространствах V,W любой оператор A:VW непрерывен.Оператор А:VW называется ограниченным, если существует константа M: |Ax|W M|x|V для любого вектора х V.Теорема.
В конечномерных нормированных пространствах V,W любой оператор A:VW ограничен.Наименьшая из констант M: |Ax|W M|x|V называется нормой оператора А, подчиненной векторным нормам впространствах V,W и обозначается ||A||. Иначе, ||A||=sup |Ax|W по единичной сфере в пространстве V. Подчиненнаянорма является не единственным способом нормирования пространства линейных операторов.Норма |A| называется согласованной с векторными нормами в пространствах V,W если |Ax|W |A||x|V. Подчиненнаянорма является наименьшей из всех согласованных норм.Утверждение.
Пусть операторная норма согласована с векторной нормой в пространстве V, A:VV и - егособственное значение. Тогда | | |A|.Пусть собственный вектор х соответсвует|Ax| = |x| |A||x|| | |A|.Пусть V и W - унитарные пространства. В качестве нормы в них берется просто длина вектора (x,x)1/2.Соответствующая подчиненная операторная норма называется спектральной нормой :||A||={sup |Ax|Е : |x| = 1}=sup{(Ax,Ax)1/2 : |x| = 1} (sup по единичной сфере).Теорема. Спектральная норма оператора равна его максимальному сингулярному числу, т.е. ||A|| = max { k}, где k2 собственные вектора оператора А*А.Утверждение. Спектральная норма унитарного оператора равна 1. Спектральная норма неотрицательногооператора равна его наибольшему собственному значению.Утверждение.
Спектральная норма не меняется при унитарных (ортогональных) преобразованиях пространств.51. Матричные нормы линейного оператора.Евклидова норма матрицы. Пусть A=( kn) C(KxN) - произвольная комплексная матрица. Величина |A|E=(|2)1/2 является нормой в пространстве матриц, согласованной с нормами типа |x|2 в СK и СN.52.© AlecSoft design 1996k n| knPage #12 Date 8/31/200853. Экстремальные свойства собственных значений самосопряженного оператора.Пусть V - n-мерное евклидово пространство, A:VV - симметричный оператор. Существует ортнормированныйбазис из его собственных векторов е=(е1,...,еn); пусть 1 ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
