FAQ - Панферов, страница 3

есть корень характеристического многочлена.Доказательство. Ax = x(A- E)x=0ker(A- E) {0}det(A- E)=0.Теорема 1. Любой оператор А: U(C)U, действующий в комплексном линейном пространстве, имеет по крайнеймере одно собственное значение.Утверждение. А нильпотентенвсе собственные значения А равны 0.21. Инвариантные подпространства.

Индуцированный оператор. Сужение оператораПодпространство W V называется инвариантным относительно линейного оператора А, если AW W, т.е. образывекторов W лежат в W.Примеры : V,{0},Ker A,im A.Лемма. Если W1 и W2 - инвариантные подпространства, то (W1 W2) и (W1+W2) - также инвариантныеподпространства.Если W - инвариантное относительно А подпространство, то на нем возможно определение индуцированногооператора B=A|W : WW следующим простым образом : B(x)=A(x).Утверждение. Если V разлагается в прямую сумму N инвариантных относительно А подпространств Wi , а базис епостроен обьединением базисов Wi , то матрица А(е) имеет блочно-диагональный вид с N клетками вида Bi(e) , гдеBi есть оператор А, индуцированный на пространстве Wi .22.

Инвариантные подпространства минимальной размерности.Любой оператор A:VV, действующий в комплексном пространстве U(C), имеет по крайней мере однособственное значение , а значит и одномерное инвариантное относительно А собственное подпространство L( ).Теорема. Любой оператор A:VV, действующий в вещественном пространстве U(R), имеет по крайней мере одноинвариантное подпространство, размерность которого не превышает 2.(1) Если А имеет собственное значение , то, аналогично комплексному случаю, имеется собственноеподпространство L( ).(2) Пусть =a+ib - комплексный корень характеристического многочлена (t). Построим двумерное инвариантноепространство.

Для этого найдем ненулевое решение комплексной однородной системы уравнений :(A-(a+ib)E)( +i )=0( здесь А - матрица оператора в фиксированном базисе е и Е - единичная матрица ). Ненулевое решение ( +i ) Сnсуществует, так как определитель системы (a+ib)=0. Разделяя действительную и мнимую части, получим :A =a -b ; A =b +a .(3) По столбцам координат и в базисе е восстановим ненулевые векторы x и y. Можем записать аналогичныесоотношения для x и y :Ax=ax-by; Ay=bx+ay.(4) Очевидно, что пространство L(x,y) инвариантно относительно А.23. Треугольная форма матрицы линейного оператора в комплексном пространстве.

ТеоремаШураТеорема 1. Любой оператор А, действующий в n-мерном комплексном линейном пространстве V, имеет по крайнеймере одно инвариантное подпространство размерности (n-1).Достаточно рассмотреть любое (n-1)-мерное подпространство, включающее T( )=im(A- E), где - собственноезначение А.Теорема 2.

Любой оператор A:VV, где V - n-мерное комплексное пространство, имеет семейство вложенныхинвариантных пространств Lp размерностей p=0,1,...,n-1,n : L0 L1 ... Ln.Существование L0 и Ln очевидно. Lm-1 существует по теореме 1. Рассмотрим на нем индуцированный оператор А,получим Ln-2 Ln-1, и т.д.С помощью инвариантных подпространств, полученных в теореме 2, базис, в котором матрица А имееттреугольную форму.

Возьмем в качестве базисных вектора ep Lp\Lp-1, p=0,1,...,n-1,n.Таким образом, всякая комплексная матрица подобна некоторой треугольной матрице.Теорема 3 (Теорема Шура). Для любого оператора в унитарном пространстве существует ортонормированный базис, вкотором его матрица имеет треугольную форму24. Теорема о прямой сумме нильпотентного и обратимого операторов. КорневыеподпространстваПусть V=L M, т.е. для любого x существует единственное разложение x=y+z, где y L, z M; пусть на L и M заданылинейные операторы B и С. Прямой суммой этих операторов называется оператор A=B C : VV, определяемыйследующим образом : Ax=By+Cz.Утверждение. А(t)= В(t) С(t)© AlecSoft design 1996Page #7 Date 8/31/2008Теорема.

Для любого оператор A:VV, где V - n-мерное линейное пространство, существует разложение V=N T,где N=Ker(Aq) и Т=Im(Aq), где q n; А разлагается в прямую сумму нильпотентного A|N и невырожденного A|Tоператоров. При этом dim(N) есть геометрическая кратность собственного значения 0.По свойству ядер и образов (See also: 23) найдется q n : N=Nq=Nq+1= ...; и T=Tq = Tq+1 = ...

. При этом на Т операторА невырожден, поскольку АТ=Т. На N оператор А невырожден, поскольку Ker(A|N)=N. Очевидно, Т N={0},dim(T)+dim(N)=dim(V)V=N T.Утверждение. Такое разложение единственно.Достаточно показать, что если на Т’ оператор невырожден, то Т’ Т; а если на N’ оператор нильпотентен, то N’ N.Пусть А имеет r различных собственных значений i и характеристический многочлен А представлен в виде (t)=i(t), где i(t) имеет единственный корень i.

Получаемые с помощью теоремы о расщеплении подпространства Viназывают корневыми подпространствами А, соответствующими собственным значениям i.Рассмотрим корневое подпространство R=R( ), соответствующее корню кратности k. По определению, R = Ker((A- E)k)q. Но поскольку размерности Np=Ker((A- E)p) монотонно возрастают до стабилизации на R, a dim R=k, тоR=Ker((A- E)k).Вектора корневого подпространства R( ) называют корневыми векторами, соответствующими собственномузначению .

Высотой корневого вектора x называют min m : (A- E)mx=0. Очевидно, высота x не превосходит k кратности . Множество Ht( ) корневых векторов из R( ), высота которых не превосходит t, образуетподпространство R( ).25. Расщепление линейного оператора.Лемма. Если собственное значение оператора А является корнем многочлена (t), то все собственные вектора А,соответствующие , лежат в Ker (A). Если собственное значение оператора А не является корнем многочлена(t), то все собственные вектора А, соответствующие , лежат в Im (A).(1) Пусть собственный вектор x соответствует корню .

Тогда x есть собственный и для (A), но соответствуетсобственному значению ( )(A)x= ( )x=0x Ker (A).(2) Пусть теперь ( ) 0(A)х= ( )x x = (A)((1/ ( ))x)x Im (A).Теорема 1. Пусть характеристический многочлен оператора А:VV представлен в виде (t)= (t) (t), гдеНОД( , )=1, т.е. (t) и (t) не имеют общих корней. Тогда оператор А единственным образом разлагается в прямуюсумму операторов В и С, имеющих соответственно характеристические многочлены (t) и (t).(1) Будем раскладывать А в прямую сумму с помощью многочлена (t). Рассмотрим i=Ker( (A))i и i=Im( (A))i.Согласно свойствам операторного многочлена, эти пространства инвариантны относительно А. Найдется q :N= q= q+1 , T= q= q+1.

Очевидно, что Т N={0}, dim(T)+dim(N)=dim(V)V=N T. Обозначим B=A|N, C=A|T.(2) Согласно лемме, все собственные вектора А, т.е. корни (t) лежат либо в N либо в Т; причем в N лежат толькособственные вектора, соответствующие корням (t), а в Т лежат все остальные, т.е. соответствующие корням (t).Поэтому В(t)= (t) и С(t)= (t).Теорема 2. Пусть характеристический многочлен оператора А:VV представлен в виде (t)=i(t), гдеi(t) неимеют общих корней. Тогда V= Vi и оператор А единственным образом разлагается в прямую суммуиндуцированных операторов Ai=A|Vi, имеющих характеристические многочлены i(t).Доказывается по индукции с помощью теоремы 1.Доказательство см.: Шикин Е.В., стр.

87 или: Воеводин В.В., стр. 253.26. Жорданов базис и Жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора вкомплексном пространстве.Жордановой клеткой Jk( ) называется двухдиагональная матрица kxk, в которой по диагонали стоят , а наддиагональю - 1.Теорема. В любом корневом подпространстве R( ) существует канонический базис, в котором матрицаиндуцированного оператора имеет канонический вид, т.е. состоит из нескольких жордановых клеток Jk( ),расположенных по диагонали.27. Подобные матрицы. Критерий подобия.See also : 19.28. Теорема Гамильтона - Кэли.Теорема. Любой оператор аннулируется своим характеристическим многочленом.Пусть А:VV и (t) - его характеристический многочлен. Покажем, что (А)=0.

Возьмем вектор x из корневогоподпространства R=Ker((A- E)k), где k - кратность корня . Поскольку (А) содержит множитель (A- E)k имножители коммутируют, то (А)x=0 на любом корневом подпространстве. Поскольку V разлагается в прямуюсумму корневых подпространств, то (А)x=0 на всем пространстве V.29. Вещественный аналог жордановой формы30. Сопряженный оператор. Существование и единственность сопряженного оператора.Пусть заданы унитарные пространства V и W и А:VW - линейное отображение. Отображение A*:WVназывается сопряженным к А, если для x V, y W выполняется равенство:© AlecSoft design 1996Page #8 Date 8/31/2008(Ax,y)=(x, A*y).Утверждение.