FAQ - Панферов

Page #1 Date 8/31/2008Экзаменационные вопросыпо курсу”Линейная алгебра”I курс факультета ВМиК, II семестрЛектор : Панферов В.С. (кафедра общей математики ВМиК).Другие источники:1. Е.В. Шикин. Линейные пространства и отображения. ВМиК МГУ, 1987.2. Х.Д. Икрамов. Задачник по линейной алгебре. “Наука”,1975.3. И.В.

Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре. “Наука”,1984.4. Finite-dimensional vector spaces. by Paul R. Halmos / П. Халмош. Конечномерныевекторные пространства. М, 1963.5. В.В. Воеводин. Линейная алгебра. “Наука”,1974.Frequently asked questions1. Линейное пространство. Определение, основные свойства и примеры. Ранг и база системывекторов.Полем будем называть произвольное множество Р элементов произвольной природы (скаляров), с двумяалгебраическими операциями +,* : Р2  Р. При этом должны быть выполнены следующие аксиомы ( a,b,c P ) :(A1) a+b = b+c; (A2) a+(b+c) = (a+b)+c;(A3) ! 0 P : a : a+0=a; (A4) ! (-a) : a+(-a)=0.(свойства A означают, что Р - абелева группа по сложению)(B1) ab = ba; (B2) a(bc) = (ab)c;(B3) ! 1 P : a : a1=a; (B4) a 0 : ! (a-1) : a(a-1)=1.(C) a(b+c) = ab + bc.Линейным векторным пространством V(P) над полем Р будем называть множество V элементов произвольнойприроды (векторов), с двумя операциями :сложение векторов + : V2V иумножение на скаляр * : PxV  V.

При этом должны быть выполнены следующие аксиомы ( x,y V, c,d P)(A) V - абелева группа по сложению.(B1) c(dx) = (cd) x; (B2) 1x = x;(C1) c(x+y) = cx+cy; (C2) (c+d)x = cx+dx.Если UV(P) является векторным пространством над Р с определенными V операциями , то U называется(линейным) подпространством V.Пространства V(R) и U(C) над полями вещественных и комплексных чисел называются соответственновещественными и комплексными векторными пространствами.Примеры линейных пространств :Множество С[0;1] непрерывных вещественнозначных функций, определенных на сегменте [0;1] (пространство надполем R).Любое поле Р есть линейное пространство над самим собой.Множество PMxN прямоугольных MxN - матриц.Поле С можно рассматривать как линейное пространство над полем R.Линейной комбинацией векторов X = {xi} c коэффициентами ai будем называть вектор x = (aixi) .

Говорят, что xлинейно выражается через хi .Систему векторов X будем называть линейно независимой, если( (aixi) = 0)(ai 0).Базой системы векторов Х будем называть такую ее линейно независимую подсистему Y X, что все вектора Xлинейно выражаются через вектора Y.Рангом системы Х будем называть минимальное количество векторов в ее базе.2. Изоморфизм линейных пространств.Линейные пространства V и U над одним полем Р называются изоморфными, V U, если существует изоморфизм биективное отображение : VU, такое, что x,y V и, P : ( x+ y) = (x) + (y).Утверждение.

Отношение на множестве линейных пространств есть отношение эквивалентности, т.е. (1) U U;(2) V UU V; (3) U V, V W U W.Теорема. Конечномерные U(P) и V(P) изоморфныdim U = dim V.Утверждение. Любое n-мерное V(P) изоморфно Pn.3. Сумма и пересечение линейных подпространств.© AlecSoft design 1996Page #2 Date 8/31/2008Линейной оболочкой системы X = {xi} V(P) будем называть множество L(X) = { (aixi) | ai P } всевозможныхлинейных комбинаций векторов X.Лемма.

Любая линейная оболочка L(X) , XV(P) является линейным подпространством V. В самом деле,складывая два элемента x,y L(X) , получаем z = x+y = (aixi) + (bixi) = (ai+bi)xi L(X). Аналогично x L(X)дляP.Линейная оболочка L(X) является наименьшим по включению линейным подпространством V, содержащим X.Пример. Рассмотрим систему функций X = { 1,t,...,tn, ... } C[0;1].

Тогда L(X) есть пространство многочленов над R.Пусть U,U’ - подпространства V(P).Cуммой U и U’ называется U+U’ = { x+ y | , P, x U, y U’ }.Утверждение. Сумма и пересечение линейных подпространств V есть подпространства V.Теорема. Если W1 , W2 - подпространства V, то dim(W1+W2)+dim(W1 W2)= dim(W1)+dim(W2).(1) Случай W1 W2 = {0} тривиален.(2) Пусть e1 , ... , en - базис W1 W2. Дополним его векторами f1 , ...

, fp до базиса W1 и векторами g1 , ... , gq до базисаW2. Остается показать, что e1 , ... , en , f1 , ... , fp, g1 , ... , gq - базис в W1+W2. В самом деле, пустьiei +ifi +igi =0; тогда y = iei + ifi = - igi W1 W2. В силу единственности разложения вектора y из W1 W2 по базису {ei} илинейной независимости {fi} получаем i 0 . Так как система { ei } {gi } линейно независима, то i 0 и i 0.Таким образом, система { e1 , ... , en , f1 , ... , fp, g1 , ... , gq } линейно независима.4. Прямая сумма линейных подпространств.Если W1 , W2 - подпространства V и для любого x W1+W2 разложение x = x1 + x2 единственно, то сумма W1 и W2называется прямой суммой : W1+W2 = W1 W2.Теорема.

Если W1 W2 = {0} и dim(V)=dim(W1)+dim(W2), то V = W1 W2.(1) Согласно п.4 , dim(V)=dim(W1)+dim(W2)=dim(W1+W2). Тогда V=W1+W2.(2) Докажем единственность разложения x V на вектора из W1 и W2. В самом деле, если бы x = x1 + x2 = y1 + y2 , тоx1 - y1 = x2 - y2 W1 W2; т.е. x1=y1 и x2=y2.Пусть W - подпространство V. W называется дополнительным к W , если V=W W . Дополнительноеподпространство определено неоднозначно.Лемма. Дополнительное пространство всегда существует.Достаточно взять базис подпространства W и дополнить его векторами f1 , ... , fp до базиса V.

Утверждается, что L(f1, ... , fp)= W .5. Пространства со скалярным произведением. Неравенство Коши - Буняковского.Евклидовым будем называть линейное пространство Е, в котором определена операция скалярного умножения : (,) :E2R, удовлетворяющая следующим соотношениям :(x,y)=(y,x) (симметричность) ;(x+y,z)=(x,z)+(y,z); ( x,y)= (x,y) (линейность);x2=(x,x) 0, причем x2=0x = 0 (положительная определенность).Естественное скалярное произведение в Rn : для x=(x1,...,xn) и y=(y1,...,yn) полагаем (x,y) = (xiyi).В любом подпространстве евклидова пространства естественным образом задано скалярное произведение.Унитарным будем называть комплексное линейное пространство U(C), в котором определена операция скалярногоумножения : (,) : U2C, удовлетворяющая следующим соотношениям :(x,y)=(y,x) *;(x+y,z)=(x,z)+(y,z); ( x,y)= (x,y) (линейность);x2=(x,x) 0, причем x2=0x = 0.Естественное скалярное произведение в Cn : для x=(x1,...,xn) и y=(y1,...,yn) полагаем (x,y) = (xiyi*).Матрицей Грама системы векторов X = (x1, ...

, xn) называется матрица, составленная из попарных скалярныхпроизведений этих векторов :Г(X) = [(xk, xm)].2Неравенство Коши-Буняковского. (x,y) (x,x)(y,y). ( det Г(x,y) 0 )Пусть x 0. Рассмотрим неравенство (tx-y,tx-y) 0, выполняющееся при любых t; запишем это в виде квадратногонеравенcтва относительно t :t2(x,x)-2t(x,y)+(y,y) 0.Из неположительности дискриминанта вытекает неравенство Коши-Буняковского.Утверждение.

Равенство имеет место лишь в случае коллинеарных x и y.В унитарном пространстве имеет место неравенство Коши-Буняковского в виде|(x,y)|2 (x,x)(y,y).6. Длина и угол. Неравенства треугольника в Евклидовом (и унитарном) пространстве.Тождество параллелограмма и критерий евклидовости нормыДлиной вектора х называется число |x| = (x,x)1/2.Неравенство треугольника : |x+y| |x|+|y|.Достаточно записать : |x+y|2 = (x,x) + 2(x,y) + (y,y) (x,x) + 2|(x,y)| + (y,y) |x|2 + 2|x||y| + |y|2 (согласно определениюдлины и неравенству Коши-Буняковского) = (|x|+|y|)2; извлекая квадратный корень, получаем неравенствотреугольника.© AlecSoft design 1996Page #3 Date 8/31/200822Тождество параллелограмма: |x+y| +|x-y| =2(|x|2+|y|2)Углом между ненулевыми векторами называется число из [0;2 ], определяемое равенствомcos = (x,y)/(|x||y|).7. Ортонормированный базис.

Скалярное произведение в ортонормированном базисе.Существование ортонормированного базиса.Система векторов X = (x1, ... , xn) в евклидовом (унитарном) пространстве называется ортогональной, если (xk, xm) =0 при k m.Система векторов X называется ортонормированной, если (xk, xm) = km, или, что то же самое, их матрица Грамаединична : Г(X) = E.Лемма. Ортонормированная система векторов линейно независима.Достаточно рассмотреть равенство вида ixk = 0, умножить его скалярно на xm (m = 1,...,n) и получить, что i 0.Скалярное произведение векторов x=(x1,...,xn) и y=(y1,...,yn) в евклидовом пространстве, записанных своимикоординатами в ортонормированном базисе е, равно (x,y) = (xiyi) , согласно свойству линейности скалярногопроизведения по обоим аргументам и поскольку (еk, еm) = km.Теорема. В любом n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.(1) Доказывается по индукции.

Для n = 1 - очевидно.(2) В n-мерном пространстве существует какой-то базис (f1, ... , fn-1 , fn). Рассмотрим ортонормированный базис (e1, ...,en-1) подпространства L(f1, ... , fn-1). Построим вектор g = (fn - 1e1-...- n-1en-1), где i = (fn,ei).(3) В качестве базиса возьмем (e1, ... , en-1 , en) , где en = g/|g|.8.

Матрица Грама. Критерий линейной зависимости.Матрицей Грама системы X = (x1, ... , xn) называется Г(X) = [(xk, xm)].Символическая запись Г(X) = XTX, где элементы перемножаются скалярно.ГТ=Г (матрица Грама есть симметрическая/эрмитова).Теорема (критерий линейной зависимости). Система векторов X = (x1, ... , xn) линейно зависимаdet Г(Х) = 0.(1) Пусть имеется нетривиальная линейная комбинация векторов Х :1x1+...+ nxn=0Умножая это равенство скалярно последовательно на x1, ... , xn , получимГ(Х)( 1,..., n)Т=0Таким образом матрица Г(Х) вырождена, поскольку система имеет ненулевое решение ( 1,..., n)Т.(2) Обратно, пусть столбцы матрицы Г(Х) линейно зависимы.

Тогда один из них, для определенности n-й, линейновыражается через другие :(xi,xn) = 1(xi,x1)+...+ n-1(xi,xn-1) ( где i = 1,..,n)(xi,g) = 0, где g = xn - 1x1 - ... - n-1xn-1.Таким образом, g ортогонален подпространству L(x1, ... , xn). Поскольку g L(x1, ... , xn), то g = 0xn = 1 x1 + ... +n-1xn-1, т.е. вектор хn линейно выражается через x1, ... , xn-1.9. Ортогональное дополнение. Разложение вектора на ортогональную проекцию иортогональную составляющую.Ортогональным дополнением множества X E называется множество векторовХ ={y E | x X (y,x)=0 }.Лемма 1. Х есть линейное подпространство Е.Лемма 2.

Х = (L(X)) .Лемма 3. Если W - подпространство Е, то Е=W W , т.е. любой вектор однозначно разлагается на ортогональнуюпроекцию и ортогональную составляющую относительно подпространства.Достаточно показать, что обьединяя базисы W и W получим базис Е.Лемма 4. Если W - подпространство Е, то (W ) =W.10. Ортонормированный базис и унитарные(ортогональные) матрицыМатрица Uунитарна, если UUH=UHU=I, матрица Qортогональна, если QQT=QTQ=IТеорема: матрица перехода от ортонормированного базиса е к базису е’ евклидова (унитарного) пространстваортогональна (унитарна) ТТТК е’ – ортогональный базис11. Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта.

QR-разложение матрицыПроцесс ортогонализации есть решение вопроса о построении ортонормированной системы векторов при заданнойлинейно независимой системе. Каждый шаг процесса аналогичен шагу (2) в доказательстве предыдущей теоремы.AL=Q (L – верхняя треугольная матрица - как произведение верх.тр.