FAQ - Панферов, страница 2

матриц) => A=QR (Qортогональная(унитарная) матрица, R=L-1 – верхняя треугольная)12. Линейные многообразия в евклидовом (и унитарном) пространстве. Гиперплоскость.Теорема. Любое линейное многобразие Н определяется системой уравнений вида (ai , y) = i , т.е. Н = {y | (ai , y) =}, где a1,...,am - линейно-независимая система векторов, а i - действительные числа.Достаточно для H=b+W (W - подпространство) в качестве a1,...,am взять базис подпространства W , а в качествечисла (ai , b).13.

Линейные операторы. Определение и основные свойства. Матрица линейного оператора.© AlecSoft design 1996iiPage #4 Date 8/31/2008Пусть V и W - произвольные линейные пространства над полем Р. Отображение А : VW, такое, что x,y V и, P : А( x+ y) = А(x) + А(y) называется линейным отображением (оператором) действующим из V в W.Если W = P, то отображение называется линейной формой.Примеры : (0) Тождественный оператор E(x)=x; (1) оператор дифференцирования в пространстве многочленов; (2)проекторы на подпространство; (3) операторы поворота и симметрии.Лемма 1.

Линейное отображение переводит линейно зависииые системы векторов в линейно зависимые.Пусть вектора {xi} линейно зависимы. Рассмотрим нетривиальную линейную комбинацию 1x1+...+ nxn=0.Подействовав на это равенство линейного отображением А, получим, что образы векторов также линейно зависимы: 1Аx1+...+ nАxn=0.Лемма 2. Образ линейного отображения А : VW является линейным подпространством W.Рангом линейного отображения называется размерность его образа : rang(A)=dim(im A).Утверждение.

Согласно лемме 1, Rang(A) dim(V).Теорема. Линейное отображение А : VW однозначно определяется образами базиса V.Пусть e1,...,en - базис V отображением А переводится в систему векторов f1,...,fn. Применим к вектору x = xieiлинейное отображение : Ax=A( xiei)= xiA(ei)= xifi.Матрица, столбцами которой являются образы базисных векторов f1,...,fn ( записанные в базисе g1,...,gm пространстваW : fk = fkigi ) называется матрицей А(e,g) оператора А в паре базисов e,g : А(e,g) = [fki].Утверждение. Линейное отображение А : VW однозначно определяется своей матрицей в некоторой паребазисов.Утверждение.

Ранг матрицы A(e,g) линейного отображения не зависит от выбора базисов e,g и равен рангулинейного отображения А.Пусть A: VV - линейный оператор и e1,...,en - базис V. Матрицей A(e) = Ae оператора А в базисе е называетсяквадратная матрица, столбцами которой являются образы векторов e1,...,en, записанные в том же базисе.Линейный оператор однозначно определен матрицей в произвольном базисе.Лемма. Матрица суммы операторов есть сумма матриц этих операторов в одном и том же базисе : (A+B)e=Ae+Be.14. Матрицы линейного оператора в различных базисах.

Эквивалентные матрицы. Критерийэквивалентности.Теорема 1. Пусть e и g=eS - базисы V, А:VV - линейный оператор. Тогда матрицы А в этих базисах связаныследующими соотношениями :A(e)=SA(g)S-1 , A(g)=S-1A(e)S.Воспользуемся формулами преобразования координатx(e)=S[x(g)] и x(g)=S-1[x(e)].Пусть y = Ax. Тогда y(e)=A(e)x(e)=A(e)Sx(g); y(g)=S -1y(e)= [S-1A(e)S]x(g). Cледовательно, матрица А в базисе g естьA(g)=S-1A(e)S.Лемма. Определитель матрицы оператора не зависит от базиса (инвариантен).Доказательство.

det[A(g)]=det[S-1A(e)S]=det[A(e)].Определителем оператора называется определитель его матрицы в произвольном базисе : det A = det[A(e)].Матрицы А,В РNxK эквивалентны, если существуют две квадратные невырожденные матрицы S РKxK,T РNxN, чтоВ=SAT.Утверждение. Две матрицы одного и того же линейного отображения A:VW в разных парах базисов V иWэквивалентны. Обратно, две эквивалентные матрицы являются матрицами некоторого линейного отображенияA:VW в некторорых парах базисов f,e и f’,e’.Теорема 2. А,В РNxK эквивалентныrang(A)=rang(B).В частности, две квадратные матрицы А,В РNxN подобны, если существует невырожденная (преобразующая)матрица Т, такая, что B=T-1AT.Утверждение. Две подобные матрицы имеют один и тот же ранг, один и тот же след и один и тот же определитель.15. Линейное пространство линейных операторов и его связь с пространством матриц. 22.Произведение линейных операторов и его матрица.Лемма.

Матрица произведения (композиции) операторов есть произведение матриц этих оператороввпроизвольном базисе e.Пусть A,B GL(V). C=BA - произведение операторов. Пусть x - произвольный вектор из V, y = A(x), z = B(y)=C(x).Запишем x, y и z в базисе е : y(e)=A(e)x(e) , z(e)=B(e)y(e)=[B(e)A(e)]x(e). В силу произвольности x матрицапроизведения ВА в базисе е есть C(e)=B(e)A(e).Теорема.

Пространство линейных операторов GL(V), действующих в n-мерном линейном пространстве V(P),изоморфно пространству квадратных (n x n)-матриц с элементами из Р.Достаточно фиксировать в V произвольный базис , построить отображение , ставящее произвольному оператору всоответствие его матрицу в этом базисе; показать, что линейно, иньективно и сюрьективно.Cледствие. dim GL(V)=n2.16. Образ и ядро линейного оператора.Утверждение. Образ линейного оператора А : VV является линейным подпространством V.Рангом линейного отображения называется размерность его образа : rang(A)=dim(im A).Ядром (kernel) A называется множество векторов, переводимых в ноль действием А : Ker А={y V|Ay=0}.© AlecSoft design 1996Page #5 Date 8/31/2008Утверждение. Ax=Ay(x-y) Ker A.Дефектом А называется размерность его ядра : defect(A)=dim(Ker A).Утверждение.

Ядро линейного оператора А : VV является линейным подпространством V.Теорема. defect(A)+rang(A)=dim(V).Обозначим U=ker A и рассмотрим фактор-пространство V/U. Покажем, что V/U (im A), построив следующийизоморфизм : (x+U)=Ax. Таким образом, dim(V)=dim(U)+dim(V/U)=defect(A)+rang(A).Будем обозначать Ni=Ker(Ai), Ti=Im(Ai).Утверждение. Для ядер Ni и образов Ti справедливы следующие строгие вложения :N1 N2 ...

Nq = Nq+1 = ...;T1 T2 ... Tq = Tq+1 = ...,где q n.17. Линейные формы (функционалы). Сопряженное пространство. Специальноепредставление линейной формы в Евклидовом (и унитарном) пространстве.Линейной формой на V(P) называется линейное отображение A:VP.Лемма 1. Любая линейная форма однозначно определена набором чисел из Р - ее значений на базисных векторах V.Все линейные формы на V(P) образуют линейное пространство V*, которое называется сопряженным к Vпространством.Теорема 1.

Конечномерное пространство V(P) изоморфно сопряженному пространству V*.Пусть dim(V)=n. Тогда, согласно лемме 1, линейная форма однозначно определена набором из n чиселdim(V*)=n.Теорема 2. Пусть V - конечномерное евклидово пространство.

Любая линейная форма в V представима в видескалярного произведения А(x)=(x,y), где y V.Рассмотрим e1,...,en - ортонормированный базис V. Возьмем вектор y с компонентами yi=A(ei). Для x V : A(x) =A( xiei) = xi A(ei) = xi yi = (x,y).Обратно, любое отображение вида A(x)=(x,y) есть линейная форма.18. Обратный оператор. Критерий обратимости.Обратным к линейному оператору А называется оператор А-1 , такой, чтоА-1А= AА-1=E.Если обратный А-1 существует, то А называется обратимым.Теорема (критерий обратимости).

А обратимKer A = {0}A взаимно-однозначен.19. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Основные свойства.Пусть V - линейное пространство над P и А GL(V). Ненулевой вектор x V называется собственным вектором V,соответствующим собственному значениюР, если Ax= x.А вырожденА имеет собственное значение 0.Теорема. Система X = (x1, ... , xn) собственных векторов А, отвечающих различным собственным значениям 1,..., n, линейно независима.Доказывается индукцией по числу векторов. Для n=1 утверждение очевидно.Предположим, что система из (n-1) векторов (x1, ... , xn-1) линейно независима.

Будем доказывать, что и система из nвекторов линейно независима. От противного : пусть (aixi) = 0(ai ixi) = 0.Умножая первое равенство на n и вычитая из второго, получимa1( 1- n)x1+...+an-1( n-1- n)x1=0 ,что противоречит линейной независимости системы (x1, ... , xn-1), поскольку i n.Утверждение. Число различных собственных значений А не превосходит размерности пространства.Утверждение. А и (А- 0Е) имеют одни и те же собственные вектора.Лемма. Если - собственное значение А , то 2 - собственное значение А2 (с тем же собственным вектором). Еслии - собственные значения А и В с собственным вектором х, то ( + ) - собственное значение А+B (с тем жесобственным вектором x).Утверждение. Если - собственное значение А и Q(t) Р[t] - многочлен, то Q( ) - собственное значение Q(А) (с темже собственным вектором).Лемма.

Если А невырожден, то А-1 и А имеют одни и те же собственные векторы. При это собственные значения А-1имеют вид i=1/ i , где i - собственные значения А.A:VV называется оператором простой структуры, если он имеет n=dim(V) линейно независимых собственныхвекторов. Такие и только такие операторы имеют диагональную форму, т.е.

матрицу оператора, в которой подиагонали стоят собственные значения, а все остальные элементы нулевыеСобственным подпространством, соответствующим собственному значениюР оператора А:VV, называетсямножество векторов W( )={x V|Ax= x}. W( ) есть инвариантное относительно А.Геометрической кратностью собственного значения называется dim W( ).Алгебраической кратностью называется кратность корня в характеристическом уравнении det(A- E).Теорема.

Геометрическая кратность не превосходит алгебраической.Достаточно показать, что если - собственное значение, то(t)=det(A-tE)=(t- )l (t)= (t- )k (t),© AlecSoft design 1996Page #6 Date 8/31/2008где l и k - соответственно геометрическая и алгебраическая кратности , и (t) не имеет корняалгебраической кратности. Отсюда l k.в силу определения20. Характеристический многочлен линейного оператора. Условие существованиясобственных векторов линейного оператора.Пусть V - линейное пространство над P и А GL(V). Характеристическим многочленом А называется многочлен( )=det(A- E).Теорема.Р есть собственное значение А( )=0, т.е.