Том 1 (Г.Д. Ким, Л.В. Крицков - Алгебра и аналитическая геометрия (теоремы и задачи) (PDF)), страница 5

Доказать, что если А и В симметрические квадратныематрицы одинакового порядка, то матрица С = ( АВ ) 11 А являет­ся симметрической для любого п Е N.2.17. Показать, что для любой матрицы А матрица АА т яв­ляется симметрической.2.18. Пусть м атрицы А и В кососимметрические. Доказать ,что:а) А + В и а А для любого а Е IR кососимметрическая мат­рица;б) А k кососимметрическая матрица при нечетном k и сим­метричная матрица при четном k;в) матрица АВ является симметрической тогда и только то­гда, когда матрицы А и В перестановочны.г) Сформулировать и доказать необходимое и достаточноеусловие кососимметричности произведения АВ.2.19.

Доказать, что произведение симметрической и кососим­метрической матриц является кососимметрической матрицей то­гда и только тогда, когда эти матрицы перестановочны.2.20. а) Пусть А произвольная симметрическая матрица.Доказать, что матрица А + А т симметрическая, а матрица А - Аткососимметрическая .б) Доказать, что любую квадратную матрицу можно разло­жить в сумму симметрической и кососимметрической матриц.Единственно ли такое разложение?2.21.

Разложить матрицу А в сумму симметрической и косо­симметрической м атриц:----а) А =[-; ��]; б) А =[]i �-� ;-2 2 ов) А =[ �о о� --1� ] ·2.22. Доказать, что если матрицы А и В обе симметрическиеили кососимметрические, тоа) их коммутатор [А , В ] кососимметрическая матрица,6) их произведение Йордана А* В симметрическая матрица.2.23. Доказать , что всякая кососимметрическая матрица является коммутатором диагональной и симметрической матрицы.2.24. а) Пусть А симметрическая матрица.

Доказать, чтовеличина tr А 2 неотрицательна, причем равна нулю тогда и толь­ко тогда, когда матрица А нулевая .---Глава I. Матрицы266) Сформулировать и доказать аналогичное утверждение длякососимметрических матриц.2 . 25. Пусть и В - симметрические матрицы одного поряд­ка. Доказать , что выполнено неравенствоtr(AB) 2 < tr ( A 2 В 2 ) ,которое переходит в равенство тогда и только тогда, когда мат­рицы и В перестановочны.2 . 26. Доказать, что если симметрическая матрица ниль­потентна с индексом нильпотентности, равным двум , то А - ну­левая. Верно ли данное утверждение для кососимметрическойматрицы А?2 .

27. Найти:а) все ортогональные матрицы второго порядка;б) все симметрические ортогональные и кососимметрическиеортогональные матрицы второго порядка.2 . 28. Пусть вектор-столбец удовлетворяет условию1.Доказать, что матрица И = I является одновременносимметрической и ортогональной.2 . 29. Доказать, что множество ортогональных матриц одногопорядка замкнуто относительно операции умножения матриц.2 . 30. Показать, что матрица(aij ) Е IR.nxn ортогональнатогда и только тогда, когда для ее строк (столбцов) имеет местосоотношениеАААххт х=2ххтА=пL ai k aj kk=1=дij2 .

3 1 . Доказать, что вещественная треугольная матрица ор­тогональна тогда и только тогда, когда она диагональна, причемэлементы ее главной диагонали равны 1 или - 1 .[ i 1 ] , в которойквадратные одного порядка,2 . 32. Доказать, что блочная матрицаматрица и единичная матрица I ортогональна в том и только в том случае, когда А О .2 . 33 .

Выяснить, являются ли следующие м атрицы нильпо­тентными и, если да, то найти их индексы нильпотентности k:Аа)[ -� -� }-=б)[ _: _: ] ;в)[ � � � ] [���];г);27§2. Матрицы специального вида[ 2 2]2 1ооо о о 51о -6 - 12 о ж) -4 -2 о о8 4 8 ; е) о 3д)о ооо .6 о-6 -3 - 6о оо1о оо о2 . 34. Доказать, что сумма и произведение двух перестановоч­ных нильпотентных матриц является нильпотентной матрицей.Верно ли это утверждение, если м атрицы не перестановочны?2 . 35. 1 Найти все нильпотентные м атрицы второго порядка синдексом нильпотентности2 .

36. Доказать, что треугольная матрица нильпотентна то­гда и только тогда, когда ее главная диагональ нулевая.2 . 37. Квадратная матрица А называется строго верхней(нижней) треуголъной, если aij = О при i > j (i < j) . Дока­зать, что:а) для произведения В двух строго треугольных матриц од­ного вида выполнено условие bij = О при i > j - 1 ( i < j +б) строго треугольная матрица А нильпотентна, причем ееиндекс нильпотентности не превосходит порядка этой матрицы.2 .

38. Доказать, что коммутатор треугольных матриц одноговида является нильпотентной матрицей.2 . 39 . Показать , что квазитреугольная матрица нильпотент­на тогда и только тогда, когда нильпотентны все ее клетки наглавной клеточной диагонали.2.1) ;[ i -1 ], в которой2.40. Доказать, что блочная матрицаматрица А и единичная матрица I квадратные одного порядка,-нильпотентна в том и только в том случае, когда нильпотентнаматрица I + А 2 .2.41.

2 Найти все периодические матрицы второго порядка спериодом , равным двум.2 .42 . Доказать, что произведение двух перестановочных пе­риодических матриц является периодической матрицей. Верноли это утверждение, если матрицы не перестановочны?2 .43. Доказать, что если лт + л т - I + .

. . + А + I = О длянекоторого т Е N , то матрица А периодическая.2 .44. Доказать, что блочная матрица1 См. также задачи 8. 1 , 16.56.2 С:м. также задачи 9.6 1 , 16.57.[i-1 ] , в которойГлава I. Матрицы28матрица А и единичная матрица I квадратные одного порядка,периодическая в том и только в том случае, когда матрица I + А 2является периодической.2.45. Экспонентой матриц'Ы А (по аналогии с экспонентойчисла) называют сумму ряда-( 2 . 1)Сходимость ряда в (2.

1 ) понимается как сходимость рядов, полу­чающихся при вычислении каждого элемента матрицы - суммыряда в правой части.а) Пользуясь признаком сравнения, доказать абсолютнуюсходимость ряда (2. 1) для любой квадратной матрицы А .б ) Показать , что если А = о1 скалярная м атрица , тоехр А = е01.в ) Показать , что (ехр А ) т = ехр(Ат) .2 . 46. Вычислить ехр А , если-б) А =��][]��!.[2 .47.

Доказ ать, что если А - диагональная матрица, то ехр Аа) А =-;также диагональна, причем если А = diag{ a 1 , . . . , a n } , тоехр А = di ag{ е а: 1 ,, ea: n } .2.48. Доказать, что если А =[� � ] , то для любого а Е �••.ехр(аА) = cos a I + sin a · А.2 .49 . Доказ ать , что если А - периодическая матрица с пери­одом 2, то для любого а Е JRехр(аА) = ch a I + sh a · А.2 . 50. Доказать, что если матрицы А и В перестановочны, тоехр(А + В ) = ехр А ехр В .2 . 5 1 .

Квадратная матрица А с неотрицательными элемен­тами называется стохастической, если все ее стр очные суммыравны 1. Если же при этом еще и каждая столбцовая сумма так­же равна 1 , то матрица называется дважд'Ы стохастической.Доказать, что:а) произведение стохастических матриц является стохастиче­ской матрицей;_···29§2 . Матрицы специального видаб ) произведение дважды стохастических матриц являетсядважды стохастической м атрицей .2 .

52 . Пусть А Е IR.m x n и В Е JR. k x l произвольные матрицы.Кронекеровъш пfоизведение.м А ® В матриц А и В наз ываетсяматрица С Е �m x nl , имеющая сле,цующий клеточный вид:-С=ai 2 Bа 22 Ва �п Ва 2п Вam 1 B ат2 Вa mn Bан Ва2 1 ВДоказать , что кронекерово произведение обладает следую­щими свойствами:а ) (аА ) 0 В = А ® (аВ) = а(А 0 В) ;б) (А + В) ® С = А ® С + В ® С ; в ) (А ® В) ® С = А ® ( В ® С) ;г ) А ® (В + С) = А ® В + А ® С ; д) (А 0 В)т = Ат 0 вт ;е) (АВ) 0 (C D) = (А 0 С ) (В 0 D ) ,выполненными для любых матриц А , В , С (в последнем соотно­шении дополнительно предполагается , что произведения АВ иС D определены) .2 .

53. Вы ч ислить кронекерово произведение матриц:[ i ] , В = [ =� � ] ;б) А ® В и В ® А, если А = [1 2 З ] , В = [ -i ] ;в) А ® В и В ® А, если А = [ � � ] , В = [ ; � ] .а ) А ® В и В ® А, если А =2 . 54. Доказать, что кронекерово произведение вектор-строкиа на вектор-столбец Ь коммутативно и равно обычному произве­дению Ьа.2 .

55. Доказать , что кронекерово произведение квадратныхматриц А и В ( быть может, разных порядков) является:а) нулевой матрицей тогда и только тогда, когда одна из мат­риц А или В нулевая ;б) единичной матрицей Inm тогда и только тогда, когда А =Лlп и В = л - 1 1m для некоторого Л =/= О;в) диагональной матрицей тогда и только тогда, когда А и Вдиагональные;г) треугольной м атрицей тогда и только тогда, когда либо Аи В обе треугольные одного вида, либо А строго треугольная---Глава I.

Матрицы30матр ица.2 . 56. Доказать , что если А и В обе симметрические или косо­симметрические матрицы, то их кронекерово произведение А @ В- симметрическая матрица. Верно ли обратное?2 . 57. Доказать, что если А и В ортогональны , то их кронеке­рово произведение А 0 В - также ортогональная м атрица. Верноли обратное?2 . 58.

Доказать, что если А и В - стохастические (дваждыстохастические) матрицы, то их кронекерово произведение А ® Втакже является стохастической (дважды стохастической) матри­цей . Верно ли обратное?2 . 59 . Доказать, что кронекерово произведение А 0 В - ниль­потентная матрица тогда и только тогда, когда одна из матрицА или В нильпотентна.2 .

60. Доказать , что кронекерово произведение А 0 В - пери­одическая матрица тогда и только тогда, когда для некоторыхk Е N и Л =!= О матрицы Л А k и Л - 1 B k единичные.2 .61 . Доказать, что след кронекерова произведения квадрат­ных матриц равен произведению следов сомножителей.2 .62 . Пусть vm x n - множество всех матриц А = A (t) =(aij (t) ) размера т х п , элементами aij (t) которых являются диф­ференцируемые функции действительной переменной t. Произ-dAводнои .матрицы А = A(t) называется матрица - = (a�1· (t ) )dtразмера т х п . Доказать , что:�dA d B .ddA:!_ ( А Вб)+ )=+( аА) = a --di>dtdtdtdt 'dAdА т ·dB ·:!_тв ) :!_ ( АВ ) =В+А 'г)(А ) =dtdtdtdtdt 'ddAdBд)[ A , B ] = [ dt , B] + [A , dt ] ;dtddAdBе)(A ® B) = dt ® B + A ® dt ;dtdAdBdж)( A * B) = dt * B + A * dt ·dt2 .