Том 1 (Г.Д. Ким, Л.В. Крицков - Алгебра и аналитическая геометрия (теоремы и задачи) (PDF)), страница 3

2) , по существу, означают, что для любой матрицы А ЕAln = IпiA = А,( 1 . 2)Rm x nгде In и lm единичные матрицы порядков п и m соответственно.Матрицы А и Б, для которых АВ =БА, называются перестаново'ЧН'ымиили коммутирую� ими.Матрица [А, Бj = А В - БА называется коммутатором матриц А и.В Очевидно, что коммутатор матриц нулевой тогда и только тогда, когдаматрицы перестановочны.Т е о р е м а 1 . 3. Опера'Ция умножения матри'Ц обладает следующи-мu свойствами:1) (АБ)С = А(БС) (умножение ассо'Циативно),2) а(АБ) == (аА)Б= А(аБ) , \/а Е R,3) А ( В +С)= АБ +АС, (А+ В) С = АС + БС (умножен'l.tе дистри­бутивно относ�tтелъно сложения матрич),въшолненнъ�ми для любых матри'Ц А , В, С, для которых левые 'Части ра­венств имеют смысл.Пусть p (t) = 2:::;;1=0 a k tk многочлен с вещественными коэффициентамиот одной переменнойt и А квадратная матрица.

l\1атрица р(А) = а01 +2АaiA + а2+ · · · +a m Am называется много'Членом от матр'l.L'Ц'Ьt А.--12Глава I. МатрицыххПусть А == ( a ij ) Е R m п . 1v1атрица Ат == ( a�j ) Е R n m называется транс­понированной к матрице А, еслиt== aj i , i. == 1 , п , J. == 1 , m .aijтПереход от :м атрицы А к А называется транспонированием матрщ�,ЪtА. Заметим , что при транспонировании матрицы А ее строки становятсястолбцами Ат с теми же номерами, а столбцы - строками.Например,[ � ! ] [�т� �]�;2 З 4 ]т =[ 1[�]Т е о р е м а 1 .4. Опершци.я транспонирования матри'Ц обладаетсле ду ющими свойствами:1} (А+ В ) т ==А т+ вт ,2) (аА) т = аА т , 'Va Е R ,3) ( АВ) т = втА т,4) (А т ) т ==А,вЪtполненнЪtми дл.я всех матри'Ц А, В, дл.я которЪtх имеют СМ'ЫСЛ левЪtе'Чдсти равенств.П р и м е р 1 .

1 . Найти произведение АБС D матрицА=[�][�], В= [ 1- 1 2 -2 ] , С =[�Р е ш е н и е. Имеем ABCD2[ 12 -1 ] = 2==[ -! ], D=[ 12 -1 ] .] [ �� �� =�� ] ..A( BC ) D == {ВС = 2} = А· 2D == 2 (AD) ==t� =�518 36 - 1818 - 92- 2t + t , А - квадратнаяП р и м е р 1 .2. Вычислить р ( А ) , если p(t)матрица второго порядка, элементы которой определены условиями ai j ==99==max{i, j}.[Р е ш е н и е. Восстановим матрицу А по заданному условию: А = �61 22 4Тогда А 2 == 21 226 8 и р ( А ) == О2 244-[ ][[ � �] [� � ]=.] == [5•[5 5о ]][]н+mА = ( ai j ) Е R, а Ь' == [а1 а2 .

. . й m ]П р и м е р 1 .3. Показать,чтоеслити Ь [а1 а2 . . . й п ] - вектор-строка и вектор-столбец соответственно, тоxп==АЬ== L йzai ,пi =lР еше н и е. Очевидно, что Ь =L ai a�.mЬ'А =i=l( 1 .3);� а;е" Тогда АЬ =А с� а;е;) = {из§1 .13Операции над матрицамидистрибутивности умножения матриц } ==пппL A ( aiei )i=l{ теорема 1 .3 }===:L йi ai . Второе из равенств ( 1 .3) следует из первого,i=lтак как в силу теоремы 4 ( Ь' А ) т == А т ( Ь' ) т , причем ( Ь' ) т - это векторстолбец.

Поэтому ( Ь' А ) т является линейной комбинацией столбцов А т , аЬ' А - линейной коыбинацией строк А с коэффициентами а 1 , . . . , йm. •:L йi Aeii= l=={ ( 1 .2) }==1.П р и м е р 1 .4. Доказать, что столбцы произведения АВ являются ли­нейными комбинациями столбцов матрицы А, а строки АВ - линейнымикомбинациями строк матрицы В .Р е ш е н и е. Пусть в обозначениях (0. 1 ) матрица В имеет вид В ==[Ь 1 Ь2 . .

. b k ] · Тогда, как следует из определения произведения матриц, АВ[АЬ 1 АЬ2 . . . Ab k ]· В силу ( 1 .3) отсюда следует первая часть доказываемогоутверждения. Вторая его часть может быть сведена к первой приемом, опи­санным в решении примера 1 .3.

•==ЗАДАЧИ1.1. Матрицы А = (aij ) Е JR 2 x 3 и В = (bij ) Е JR 3 x 2 определе­ны условиями aij = li - JI , bij = n1ax {i , j } . Найти :а ) произведения АВ и ВА;6) линейную комбинацию матриц АА т и АВ с коэффициен­тами 1 и - 1 .1.2. Н айти произведение АВ , где:а) А =6) А=[74 -35455298 -84 - 2 1137938 - 6432[ О 1о], в =[]'вг) А==3 -2 -72 -3-45-3 -1142 -413[ 1 1 1 1 ], в==1о74 - 3552451398 - 84 -2138 - 64327916в) Аоо'В=11163 -22 -3-4-3 - 142 -41-1,..,513];Глава I. Матрицы14ооооооооооооооооБ=АБС,]][ ,С= [А=А2БС,3[]]]=АС [, Б= [(АБ)2С,]] [ =� ; ] ' С [А= [(АБ)3,]АБ' [АБСD,А= -�,С= [ � ]АБС,] []А='Б [88298811131478д) А =122 31 1471 380879'1 755 161 3 1 7 1 2 7 161 564 1 725 1 5 1 441.3.

Вычислить произведение200219991 99 61 99 3200 11998199 51992200019971994 , Б =1991где1.4. Вычислить произведение1.5.4 -2===-5 7 1 1 -3-3 1 1 2751.7. Вычислить произведениеВ = [ 1 1 5 149 92 ] ,1.8. Вычислить произведение2 1 -321117-9 12152 -24===.1 о -42 О -8·где1.6. Вычислить произведение10 -41 1 -41-3-21,-23-2гдеВычислить произведение' В=·где3 о -3-4 271 . -2 -41 2 23 47-5 31 -63 5 5 1 -31 4 1 121 161262 232 2921 1-2 - 1о312 6 -26 3 -l18 9 - 3.где, D = [ 1 2 - 1 3] .::::где4 12 - 7-1 -11'с ==6 -84 -210 -8.§1 .15Операции над матрицами1.9.

Вычислить произведение ( AB) 3 ( CD ) 2 , гдеA=[J[-3 -8]=-35i]]' -i 1[ � ] [ i ] [� ] [ � ]с21[� � ] .произведение А-иА='.-151.10. Известно, что А12==.Найти1.11. Рядом Фибоншччи называется последовательность чи­сел { Хп }, в которойХо = 1, Х1 =Хп = Хп - 1 + Хп -2 для п > 2 .Найти матрицу А такую, что[1,]= А п[ Хо ] ,Х1Xn+lХп1.12. Доказать , что если А и В-\fn Е N.матрицы вида[ ]х2 у хУ 'где х, у Е JR, тоа ) матрицы А + В и АВ имеют такой же вид;б ) АВ = Б А1.13.

Найти e�Aej, если А = (aij) Е IR.m. x n , а е� и ej - единич­ные строка и столбец подходящих размеров.1.14. Матричной единицей Eij размера т х п называетсяматрица, у которой элемент в позиции ( i , j) равен единице, а всеостальные элементы равны нулю.

Для произвольной матрицы Аи матричной единицы Ei j подходящего размера вычислить:а ) AEij; б ) EiJ A·1. 15. Найти f ( А ) :.а ) f (х) = х 2 - 2х + 2, А =6) f ( х) = х 2 - 3х - 4, А=[32 -1 11 21 -1 о[ =i � ] .];Глава I. Матрицы16[� � ]1.16. Доказать, что каждая квадратная матрица второго по­рядка А =удовлетворяет уравнениюх2 - (а + d) x + (ad -Ьс) = О.1.17. Доказать, что если А - диагональная матрица, то матрица f (А) также диагональная , каков бы ни был многочлен f (x).1.18. Вычислить :а)[i i ]13; [ =� � = � ]- 1 ]п[ п [1 11 ]n [[[1 1 ]-б)71.19. Вычислить:а)д)23-21; б)2;'п>О;Ое)cos аsin ав)·] n ; г) [ О1 Л1 ] n ;]пЛ 1О Л.- s1n аcos а·1.20. Вычислить степени квадратных матриц п-го порядка:а)ов)оЛ2 .

. .оооЛпоо Л1оЛ2 о. . . .. .Лп . . о о.б)kг)...k.1оо.оо11111... 1... 1. . . . . . .1оо ... о1 .. о. . . . . . . . . .о о ооо о о . . о1оо.ооо11о. .о1о.о kо..п-131оkо оо.1.оо.ооо о1 1о о 1 ... о оо оо 1д)е) . . . . . . . . .. . . . . . .о о о ... о 1о о . 1 11 о о .. о оо о . о 11.21. Пусть х, у Е IR.n x l - вектор-столбцы. Доказать , что мат­рица А = хут обладает сле,цующим свойством : найдется числоЛ Е IR такое, что A k = л k - l А , Vk Е N.........§1 .17Операции над матрицами1.22.

Найти коммутатор матриц А и В , если:а) А = [ i i � ] , В = [ =�� -� ] ;-1 2 13 -51б) А = [ � i � ] , В = [ � i -� ] .-2 о 112 31.23. Доказать , что каждое из следующих равенств выпол­нено в том и только в том случае, когда матрицы А и В переста­новочны :а) ( А + В ) 2 = А 2 + 2 АВ + В 2 ;б) А 2 - В 2 = ( А + В ) ( А - В ) .1.24. Доказать , что если матрицы А и В перестановочны , то:а) А 3 + В 3 = ( А + В ) ( А 2 - АВ + В 2 ) ;б) ( А + В ) п = А п + С� А п -l В + С� А п - 2 В 2 + . .

. + в п .[0-1[аа[-12 -12]; б) [-510-510] в) а]];г)-1а-12 3 ;+д) [ �6 �п е) [ � i � ] ж) [ -1� -� ] .2281.25. Найти п-ю степень матрицы А, если матрица А равна:а);;1.26. Вычислить матрицу I + А + А + . . . + А , если матрицаА равна:а)[-� -нб)[ � -Н [ � � � ]в)_; г)[ -� -п1. 27. Найти все матрицы, перестановочные с м атрицей А ,если:а) А =г) А =[� �]1о;о о����о о о об А=);[ � i ];д) А-в) А =[� � � ];матричная единица Eij Е "!Rn x n;е) А квадратная матрица п-го порядка, все элементы кото­рой равны единице.1.28. Доказать, что умножение матрицы А слева на диаго­нальную матрицу D = diag{Л 1 , Л 2 , . . . , Л п } равносильно умноже-18Глава I.

Матрицынию строк А соответственно на Л1, Л2 , ..., Лп, умножение же Ана D справа равносильно аналогичному изменению столбцов.1.29. Найти матрицу А , если:а)[ � : ] [ � �; ]; 6) А[ � : ] [ � ].1806 183 66 121.30. Доказать , что если А - диагональная матрица и всеэлементы ее главной диагонали различны между собой, то любаяматрица, перестановочная с А, также диагональна.1.31.

Доказать, что квадратная матрица А перестановочнасо всеми диагональными матрицами тогда и только тогда, когдаона сама является диагональной.1.32. Доказать, что квадратная матрица А перестановочна совсеми квадратными матрицами того же порядка тогда и толькотогда, когда она является скалярной.1.33. Доказать, что если м атрица А перестановочна с матри­цей В , то она перестановочна и с матрицей В 2 . Верно ли обрат­ное?1.34. Пусть А - квадратная матрица и f ( х ) и g(x) - произ­вольные многочлены. Показать , что матрицы f ( А ) и g ( A ) пере­становочны.1.35. Доказать , что след м атрицы обладает следующимисвойствами:а ) tr(A + В ) = tr А + tr В ;б ) tr ( aA ) = а tr А ;в ) tr ( Aт ) = tr А ;г) tr(AB) = tr ( BA) , если произведения АВ , БА определены.1.36.

Доказать, что для любой матрицы величина tr(Aт А )неотрицательна, причем равна нулю тогда и только тогда, когдаматрица А нулевая.1.36.1. Существуют ли матрицы А и В , для которых равен­ство А Х В == хт выполняется при любой матрице ХЕ IR.mxn?1.36.2. Можно ли свести операцию транспонирования мат­рицы общего вида к операциям умножения ее слева и справа накакие-либо наперед заданные матрицы?1.37. Доказать, что для любых квадратных м атриц А и Водинакового размера их коммутатор [ А , В ] имеет нулевой след.1.38.