Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Громов Ю.Ю. и др. - Специальные разделы теории управления, оптимальное управление динамическими системами

Громов Ю.Ю. и др. - Специальные разделы теории управления, оптимальное управление динамическими системами, страница 15

PDF-файл Громов Ю.Ю. и др. - Специальные разделы теории управления, оптимальное управление динамическими системами, страница 15 Оптимальное управление (3642): Книга - 9 семестр (1 семестр магистратуры)Громов Ю.Ю. и др. - Специальные разделы теории управления, оптимальное управление динамическими системами: Оптимальное управление - PDF, страница 15 2017-12-25СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "Громов Ю.Ю. и др. - Специальные разделы теории управления, оптимальное управление динамическими системами", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "оптимальное управление" из 9 семестр (1 семестр магистратуры), которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "оптимальное управление" в общих файлах.

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 15 страницы из PDF

В концевых точках t1 , t q и точках разрыва t j вы-полняются соотношения, обобщающие условия трансверсальности и условия Эрдмана–Вейерштрасса (см. п. 9.2):1) при t = t1 ∂F ( j ) ∂L n  ∂F (1) ∂L+∑= 0;−x&i =0;∂t1 i =1  ∂x&i∂xi (t1 )  ∂x&i  t =t1t =t1(153)2) при t = t j ( j = 2, 3, ..., q − 1)∂L∂xi (t −j ) ∂F ( j −1)  ∂F ( j ) ∂L+= 0;−=0;+∂xi (t j )  ∂xi (t )  t =t + ∂x&i (t )  t =t −jj(154)n n ∂L∂F ( j ) ∂F ( j −1) +∑x&i −∑x&i =0;∂t j i =1  ∂x&i t =t − i t =t +j i =1  ∂x&ij(155)3) при t = tqn  ∂F ( q −1) ∂L∂F ( q −1) ∂L−∑+x&i  = 0; =0.∂t g i =1  ∂x&i∂xi (t q )  ∂x&i  ttq(156)qДля задач с фиксированными величинами разрывов (скачков) краевые условия типа (146) включают соотношения видаg k ≡ xi (t −j ) − xi (t +j ) − ∆(i j ) ,(157)где ∆(i j ) – постоянная (величина скачка xi в момент времени t j ), i = 1, n, j = 2, q − 1, k = 1, p .Тогда при t = t j ( j = 2, q − 1) условия (154) и (155) имеют видn n ∂L∂F ( j ) ∂F ( j −1) +∑x&i −∑x&i =0;∂t j i =1  ∂x&i t =t + i =1  ∂x&i t =t −jj ∂F ( j ) ∂L−∂xi (t j )  ∂x&i t =t +j ∂F ( j −1) +=0. ∂x&i  t =t −j(158)(159)Контрольные вопросы1.

Перечислите необходимые условия оптимальности.2. Приведите физическую интерпретацию задачи с разрывами.Глава 11ЗАДАЧА ЛАГРАНЖА И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ11.1. Принцип Лагранжа для задачи ЛагранжаЗадачей Лагранжа называется следующая экстремальная задача в пространстве Ξ = C 1 (∆, R n ) × C (∆, R r ) × R 2 :Β 0 (x(⋅), u(⋅), t 0 , t1 ) → inf ′ ;(з)Φ (x(⋅), u(⋅), t 0 , t1 ) = x& (t ) − ϕ(t , x(t ), u(t )) = 0 ;(1)Β i (x(⋅), u (⋅), t 0 , t1 ) ≤ 0, i = 1, m′ ;(2)Β i (x(⋅), u(⋅), t 0 , t1 ) = 0, i = m′ + 1, m ,(3)гдеΒ i (x(⋅), u(⋅), t 0 , t1 ) =t1∫ f i (t, x, u) dt + ψ i (t0 , x(t0 ), t1 , x(t1 )),i = 0, m .t0Здесь ∆ – заданный конечный отрезок, t0 , t1 ∈ ∆, fi : R × Rn × × Rr → R – функции n + r + 1 переменных,ψ i : R × R n × R × R n → R – функции 2n + 2 переменных, ϕ : R × R n × R r → R n вектор-функция n + r + 1 переменных.Ограничение (1) называется дифференциальной связью, вектор-функция x(⋅) = ( x1 (⋅), ..., xn (⋅)) – фазовой переменной,вектор-функция u(⋅) = (u1 (⋅), ..., u r (⋅)) – управлением.Четверка(x(⋅), u(⋅), t 0 , t1 )называетсяуправляемымпроцессомвзадачеЛагранжа,еслиx(⋅) ∈ C 1 (∆, R n ), u(⋅) ∈ C (∆, R r ) , t 0 , t1 ∈ int ∆, t 0 < t1 , и всюду на отрезке [t 0 , t1 ] выполняется дифференциальная связь (1), идопустимым управляемым процессом, если эта четверка является управляемым процессом и, кроме того, выполнены ограничения (2), (3).Допустимый управляемый процесс ξˆ = (xˆ (⋅), uˆ &(⋅), tˆ0 , tˆ1 ) называется оптимальным (в слабом смысле) процессом, илислабым минимумом в задаче (з), если существует такое δ > 0 , что для любого допустимого управляемого процессаξ = (x(⋅), u(⋅), t 0 , t1 ) , удовлетворяющего условию ξ − ξˆ < δ , выполнено неравенство Β(ξ) ≥ Β(ξˆ ) .ΞПравило решения.1.

Составить функцию Лагранжа:Α(x(⋅), u(⋅), t 0 , t1 ; p(⋅), λ ) =t1m m=  λ i f i (t , x, u) + p(t )(x& − ϕ(t , x, u)) dt + λ i ψ i (t 0 , x(t 0 ), t1 , x(t1 )) ,i =0t0  i = 0∫∑∑λ = (λ 0 , λ1 , ..., λ m ), p (⋅) ∈ C 1 ([t 0 , t1 ], R n* ) .2. Выписать необходимые условия оптимального в слабом смысле процесса ξˆ = (xˆ (⋅), uˆ (⋅), tˆ0 , tˆ1 ) :а) стационарности по x – уравнение Эйлера:−d ˆLx& (t ) + Lˆ x (t ) = 0 ⇔ p& (t ) =dtm∑ λ i fˆix (t ) − p(t ) ϕˆ x (t )∀t ∈ [tˆ0 , tˆ1 ]i =0для лагранжианаL=m∑ λ i f i (t , x, u) + p(t )(x& − ϕ(t, x, u)) ;i =0б) трансверсальности по x:Lˆ x& (tˆk ) = (−1) k lˆx (tk ) ⇔ p (tˆk ) = (−1) km∑ λ i ψˆ ix(t ) ,ki =0k = 0, 1для терминантаl=m∑ λ i ψ i (t0 , x(t0 ), t1 , x(t1 )) ;i =0в) стационарности по u:Lˆu (t ) = 0 ⇔m∑ λ i fˆiu (t ) − p(t ) ϕˆ u (t ) = 0∀t ∈ [tˆ0 , tˆ1 ] ;i =0г) стационарности по t k :ˆ = 0 ⇔ (−1) k +1Αtkmm∑ λ i fˆi (tˆk ) + ∑ λ i (ψˆ iti =0i =0kˆ ix (t ) xˆ& (tˆk )) = 0, k = 0, 1+ψk(условие стационарности по t k выписывается только для подвижных концов);д) дополняющей нежесткостиλ i Β i (ξˆ ) = 0, i = 1, m′ ;е) неотрицательностиλ i ≥ 0, i = 0, m′ .3.

Найти допустимые управляемые процессы, для которых выполняются условия п. 2 с множителями Лагранжа λ иp (⋅) , одновременно не равными нулю. При этом бывает полезно отдельно рассмотреть случаи λ 0 = 0 и λ 0 ≠ 0 . Во второмслучае можно положить λ 0 , равным единице или любой другой положительной константе.4. Среди всех найденных в п.

3 допустимых экстремальных процессов отыскать решение или доказать, что решениянет.Предлагаем проверить, что правило решения составлено в полном соответствии с общим принципом Лагранжа.Набор условий для нахождения оптимального процесса является полным. Действительно, для определения неизвестныхфункций x(⋅), p(⋅), u(⋅) мы имеем систему из дифференциальных уравнений (1) и условий б), в). Выражая из последнего (разумеется, когда это можно сделать, например, если выполнены условия теоремы о неявной функции) u(⋅) через x(⋅) и p(⋅) ,мы получаем систему из 2n скалярных дифференциальных уравнений.

Ее общее решение зависит от 2n произвольных постоянных и еще от множителей Лагранжа λ i , среди которых m независимых. Добавляя сюда еще t0 и t1 , получаем всего 2n + m+ 2 неизвестных. Для их определения мы имеем 2n условий трансверсальности б), m условий дополняющей нежесткости изаданных ограничений (3) и два условия стационарности по t k . Таким образом, число неизвестных совпадает с числом уравнений. (Разумеется, разрешимости полученной системы уравнений указанное обстоятельство не гарантирует.)11.2. Принцип максимума в форме ЛагранжаЗадачей оптимального управления (в понтрягинской форме) будем называть следующую задачу в пространствеKC (∆, R n ) × KC (∆, R r ) × R 2 [14]:1Β 0 (x(⋅), u(⋅), t 0 , t1 ) → inf ;x& (t ) = ϕ(t , x(t ), u(t )) ;(з)(1)u(t ) ∈ U ∀t ∈ [t 0 , t1 ] ;(2)Β i (x(⋅), u(⋅), t 0 , t1 ) ≤ 0, i = 1, m′ ;(3)Β i (x(⋅), u(⋅), t 0 , t1 ) = 0, i = m′ + 1, m ,(4)гдеΒ i (x(⋅), u(⋅), t 0 , t1 ) =t1∫ f i (t, x(t ), u(t )) dt + ψ i (t0 , x(t0 ), t1 , x(t1 )),i = 0, m .t0Здесь ∆ – заданный конечный отрезок, t 0 , t1 ∈ ∆ , fi : R × Rn × × Rr → R – функции n + r + 1 переменных,ψ i : R × R n × R × R n → R – функции 2n + 2 переменных; ϕ : R × R n × R r → R n – вектор-функция n + r + 1 переменных, U –произвольное множество из R r .

Частным случаем задачи (з) является задача, в которой один из концов или даже оба закреплены.Вектор-функция x(⋅) называется фазовой переменной, u(⋅) – управлением. Уравнение (1), называемое дифференциальной связью, должно выполняться во всех точках непрерывности управления u(⋅) на интервале (t 0 , t1 ) (это множество будетобозначаться через T).Четверка (x(⋅), u(⋅), t 0 , t1 ) называется управляемым процессом в задаче оптимального управления, еслиx(⋅) ∈ KC 1 (∆, R n ), u(⋅) ∈ KC (∆, R r ) и выполняются дифференциальная связь (1) и ограничение типа включения (2).

Управ-ляемый процесс является допустимым, если, кроме того, выполняются соотношения (3) и (4).Допустимый управляемый процесс ξˆ = (xˆ (⋅), uˆ (⋅), tˆ0 , tˆ1 ) называется (локально) оптимальным (или еще говорят оптимальным в сильном смысле процессом), если существует δ > 0 такое, что для всякого допустимого управляемого процессаξ = (x(⋅), u(⋅), t 0 , t1 ) , для которого(x(⋅), t 0 , t1 ) − (xˆ (⋅), tˆ0 , tˆ1 )C ( ∆ , R n )×R 2<δвыполняется неравенство Β 0 (ξ) ≥ Β 0 (ξˆ ) .Правило решения.1.

Составить функцию Лагранжа:t1 mΑ =  λ i f i (t , x, u) + p(t )(x& − ϕ(t , x, u)) dt +t0  i = 0∫∑+m∑ λ i ψ i (t0 , x(t0 ), t1 , x(t1 )) ;i =0λ = (λ 0 , λ1 , ..., λ m ), p(⋅) ∈ KC 1 ([t 0 , t1 ], R n* ) .2. Выписать необходимые условия оптимальности процесса ξˆ = ( xˆ (⋅), uˆ (⋅), tˆ0 , tˆ1 ) :а) стационарности по x – уравнение Эйлера:−d ˆLx& (t ) + Lˆ x (t ) = 0 ⇔ p& (t ) =dtm∑ λ i fˆix (t ) − p(t )ϕˆ x (t ) ,i =0для лагранжианаL=m∑ λ i f i (t , x, u) + p(t )(x& − ϕ(t , x, u)) ;i =0б) трансверсальности по x:Lˆ x& (tˆk ) = (−1) k lˆxk ⇔ p(tˆk ) = (−1) km∑ λ i ψˆ ixi =0k, k = 0, 1 ,для терминантаl = l (t 0 , x0 , t1 , x1 ) =m∑ λ i ψ i (t0 , x0 , t1 , x1 ) ;i =0в) оптимальности по u – принцип минимума в лагранжевой форме:min Lˆ (t , xˆ (t ), x&ˆ (t ), u) = Lˆ (t , xˆ (t ), x&ˆ (t ), uˆ (t )) ⇔u∈U m⇔ min λ i f i (t , xˆ (t ), u) − p(t ) ϕ(t , xˆ (t ), u)  =u∈U i =0∑=m∑ λ i f i (t , xˆ (t ), uˆ (t )) − p(t ) ϕ(t, xˆ (t ), uˆ (t ))i =0или в гамильтоновой (понтрягинской) форме в виде принципа максимума:max H (t , xˆ (t ), u, p(t )) = H (t , xˆ (t ), uˆ (t ), p(t )) ,u∈UгдеH (t , x, u, p) = pϕ(t , x, u ) −m∑ λ i f i (t , x, u) –i =0функция Понтрягина;г) стационарности по t k :ˆ = 0 ⇔ (−1) k +1Αtkmm∑ λ i fˆi (tˆk ) + ∑ λ i (ψˆ iti =0i =0k+ ψˆ ixk x&ˆ (tˆk )) = 0 ⇔⇔ Hˆ (tˆk ) = (−1) k +1 lˆt k , k = 0, 1(условие стационарности выписывается только для подвижных концов);д) дополняющей нежесткостиλ i Β i (ξˆ ) = 0, i = 1, m′ ;е) неотрицательностиλ i ≥ 0, i = 0, m′ .3.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее