Громов Ю.Ю. и др. - Специальные разделы теории управления, оптимальное управление динамическими системами, страница 14

Величины F − ∑ x&i Fx&i и Fx&i (i = 1, n) непрерывны вдоль кривой С: {x = x(t), a}. Вi =1частности, если при t = t ′ кривая С имеет угловую точку, т.е. хотя бы по одной компоненте xi (t ) имеет место разрыв (первого рода) в производной:x&i =dxi (t )dx (t )≠ i= x&i+ ,dt t =t ′− 0dt t =t ′+ 0(126)то справедливы соотношенияFx& =i∂F∂x&i=x&i = x&i∂F∂x&ix&i = x&i+= Fx&+i (i = 1, n)(127)иF−n∑ x&i Fx&i =1in=  F − x&i Fx&ii =1∑n=  F − x&i Fx&ii =1 x&i = x&i− ∑n= F + − x&i+ Fx&+i .i =1 x&i = x&i+∑(128)ЗдесьF − = F (t , x, x& , a) x& = x& − ; F + = F (t , x, x& , a) x& = x& + ;x& + = ( x&1+ , x& 2+ ,..., x& n+ )T ; x& − = ( x&1− = x& 2− ,..., x& n− )T .Условие трансверсальности. Концевые точки 0 и 1 кривой С: {x = x(t), a} таковы, что равенство F −x&i Fx&i dt +i =1n∑1Fx&i dxi  + dL + 0i =1n∑r t1∑ ∫ Fa da j dt = 0j =1 t0j(129)выполняется тождественно для dt 0 , dt1 , dxi 0 = dxi (t 0 ), dxi1 = dxi (t1 ), da j (т.е.

для всех произвольных и независимых значенийуказанных вариаций концов траекторий и вариаций параметров). Здесь dL – полный дифференциал функцииL(t 0 , t1 , x(t 0 ), x(t1 ), a, µ k ) :dL =∂Ldt 0 +∂t 0n∂L∂Ln∂Lr∂L∑ ∂xi0 dxi0 + ∂t1 dt1 + ∑ ∂xi1 dxi1 + ∑ ∂a j da j .i =1i =1j =1(130)r∂t0 (a)∂t (a)da j , dt1 = ∑ 1 da j . В силу независимости величин∂ajj =1 ∂a jj =1rЗ а м е ч а н и е .

Если t 0 = t 0 (a), t1 = t1 (a) , то dt0 = ∑dt 0 , dt1 , dxi 0 , dxi1 условие (129) эквивалентно 2n + 2 + r равенствам видаn∂L ∂L F − dxi1 = 0 (i = 1, n) ; (131)&i Fx& i +  dt1 = 0,...,  Fx& i +x∂t ∂xi  t = ti =1t = t11∑n∂L  F − ∑ x&i Fx& + ∂L dt0 , ...,  Fx& i +dxi 0 = 0 (i = 1, n) ; (132)i∂t ∂xi t = ti =1t =t00 ∂L t1 ∂F  ∂a + ∂a dt da j = 0 (i = 1, n) ,jjt0∫(133)число которых достаточно для того, чтобы совместно с уравнениями (118), (119), (124) определить недостающие значенияµ 0 , µ k (k = 1, ρ), λ j (t ) ( j = 1, m), xi (t ) (i = 1, n), a j ( j = 1, r ) .9.3. Второе необходимое условие минимума функционалав задаче Больца (условие Вейерштрасса) для случаяf ≡ 0, fk ≡ 0Для допустимой кривой С: {x = x(t), a}, реализующей минимум в задаче Больца, всегда существует такая система множителей µ k (k = 0, ρ), λ j (t ) ( j = 1, m) , что для кривой С с этими множителями выполняется правило множителей (см.

п. 9.2), а&):для всякого элемента (t , x, x& , µ, λ ) (в том числе и в угловых точках) кривой С функция Вейерштрасса E(t , x, x& , λ , X& ) = F (t , x, X& , λ ) − F (t , x, x& , λ ) −E(t , x, x& , λ , Xn∑ ( X& i − x&i ) Fx& (t, x, x& , λ )i =1i(134)удовлетворяет неравенству&) ≥ 0.Е(t , x, x& , λ , X(135)& , λ ) , не совпадающих с элементамиНеравенство (135) имеет место при всех возможных допустимых элементах (t , x, X(t , x, x& , λ ) кривой С, но удовлетворяющих условиямF j (t , x, x& , a) = 0 ( j = 1, m) .Если минимизирующая кривая C: {x = x(t), a} нормальна, то система множителей µ 0 = 1, µ k , λ j (t ) ( j = 1, m, k = 1, ρ) –единственна и условие Вейерштрасса для этой системы выполняется.9.4.

Третье необходимое условие минимума в задаче Больца(условие Лежандра–Клебша) для случая f = 0, fk = 0Если кривая С: {x = x(t), a} реализует минимум в задаче Больца, то всегда найдется такая система множителей µ0, µk(k = 1, ρ) , λ j (t ) ( j = 1, m) , что для этой кривой С удовлетворяется правило множителей, а для всякого ее элемента (t , x, x& , µ, λ )выполняется неравенствоnn∑∑ Fx& x&i =1 k =1i k(t , x, x& , λ ) ξ i ξ k ≥ 0(136)при любых ξ = (ξ1 , ξ 2 , ..., ξ n ) ≠ (0, 0, ..., 0) , удовлетворяющих уравнениямn∑ F jx&i =1гдеF jxi =∂F j∂x&i; Fx&i x& k =В рассматриваемой задаче важную роль играет матрица∂2F.∂x&i ∂x& kj(t , x, x& )ξ i = 0 ( j = 1, m) ,(137) Fx&i x&kF αx&kFγx&i   Fx& x&=0  ( Fx& )TFx& 0 (138) ∂2F ∂ ( F1 , F2 ,..., Fm ); Fx& x& =  (α, γ = 1, m) .∂ ( x&1 , x& 2 ,..., x& n ) ∂x&i ∂x& k Определитель этой матрицы называется определителем Гильберта.

Вариационные задачи с отличным от нуля определителем Гильберта называется регулярными (невырожденными).(i, k = 1, n), Fx& =9.5. Четвертое необходимое условие в задаче Больца(условие Якоби–Майера–Кнезера)Условие Якоби–Майера–Кнезера носит нелокальный (интегральный) характер и характеризует экстремальность всейкривой в целом на основе рассмотрения поведения экстремалей, лежащих в малой окрестности от данной экстремали.Условие Якоби–Майера–Кнезера. Чтобы экстремаль C: {x(t)} доставляла на отрезке [t 0 , t1 ] минимум функционалу взадаче Больца, необходимо, чтобы отрезок [t 0 , t1 ] не содержал точек, сопряженных с t0 .~~Сопряженная точка. Считается, что экстремаль C: {x(t)} имеет на интервале (t 0 , t1 ) точку t , t0 < t < t1 , сопряженнуюс t0 , если существует последовательность экстремалей, выходящих из той же начальной точки (t 0 , x(t 0 )) и бесконечноблизких к данной экстремали x(t), такая, что каждая из этих экстремалей пересекает данную экстремаль x(t) и последова~~ ~тельность точек пересечения имеют точку t своим пределом.

Сопряженная точка ( t , x( t )) является точкой касания экстремали x(t) с огибающей семейства экстремалей, в которое данная экстремаль x(t) включена (заметим, что огибающая может~ ~вырождаться в точку). Это показывает, что в сопряженной точке ( t , x( t )) расстояние между данной экстремалью x(t) и произвольной близкой экстремалью ~x (t ) , выходящей из той же начальной точки (t 0 , x(t 0 )) , есть величина выше первого поряд~~ ~ка малости по сравнению с указанным расстоянием вне сопряженной точки ( t , x( t )) (т.е.

при t0 ≤ t < t ).Методы определения сопряженных точек весьма трудоемки. В частности, они могут основываться на вычислении определителей Майера–Кнезера.Для задачи Майера (см. п. 9.1) с закрепленными концамиF j (t , x, x& ) = 0 ( j = 1, m), t 0 ≤ t ≤ t1 ,(139)где t 0 , t1 – заданные числа,x(t 0 ) = x 0 , xˆ (t1 ) = xˆ 1 = ( x1 (t1 ), ..., xn −1 (t1 )) ,(140)где x 0 , xˆ 1 – заданные векторы,и с функционаломJ = Φ (t 0 , t1 , x 0 , x1 ) = xn (t1 )(141)~сопряженная точка t может быть вычислена как момент времени, в который обращается в нуль определитель Кнезера:~D( t , λ 0 ) =∂( x1 , x2 ,..., xn −1 )∂ (λ10 , λ 20 ,..., λ n −1,0 )~t=t∂x1 (t , λ 0 )∂x1 (t , λ 0 )L∂λ10∂λ n −1,0LLL=∂xn −1 (t , λ 0 )∂xn −1 (t , λ 0 )L∂λ10∂λ n −1,0=0,~t=t(142)Tλ 0 = (λ10 , λ 20 , ..., λ n −1,0 ) ;)где x( x, λ 0 ) = ( x1 (t , λ 0 ), ..., xn−1 (t , λ 0 )) – экстремаль, удовлетворяющая при λ = λ 0 заданным условиям (140).(143)З а м е ч а н и е .

При применении численных методов решения краевой задачи иногда [например, в методе Ньютона] одновременно с основной экстремалью x(t) вычисляется (n – 1) дополнительных экстремалей x n−1 (t ) , лежащих в близкой окрестности к основной и выходящих из той же точки (начальной) (t 0 , x 0 ) по линейно-независимым направлениям (соответствующим линейно-независимым начальным условиям для множителей Лагранжа λ 0 ). В этом случае можно утверждать, что~~точка t будет сопряженной с точкой t0 в сформулированной выше задаче, если в точке t определительx1 (t ) − x1(1) (t ),x2 (t ) − x2(1) (t ),x (t ) − x1( 2) (t ),x2 (t ) − x2( 2) (t ),~∆( t , λ 0 ) = 1LL( n −1)x1 (t ) − x1 (t ), x2 (t ) − x2( n−1) (t ),L, xn−1 (t ) − xn(1−)1 (t )L, xn−1 (t ) − xn( 2−)1 (t )LLL, xn−1 (t ) − xnn−−11 (t ) t =~t(144)~представляет бесконечно малую величину более высокого порядка, чем при t0 ≤ t ≤ t .Контрольные вопросы0.1.

Задачи Больца, Майера, Лагранжа; привести формулировки.2. Первое необходимое условие экстремума функционала в задаче Больца.3. Второе необходимое условие минимума функционала в задаче Больца (условие Вейерштрасса) для случая f ≡ 0, fk ≡4. Третье необходимое условие минимума в задаче Больца (условие Лежандра–Клебша) для случая f = 0, fk = 0.5. Четвертое необходимое условие в задаче Больца (условие Якоби–Майера–Кнезера).Глава 10НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ЗАДАЧАХС РАЗРЫВНЫМИ ФАЗОВЫМИ КООРДИНАТАМИДля ряда технических систем, в частности механики полета (особенно для ракетодинамики) важен случай, в которомдопускаются конечные разрывы (разрывы первого рода) в фазовой траектории (например, мгновенный «сброс» массы послеотделения ступени).

При расчете ступенчатых ракет, химических реакторов, а также целого ряда химико-технологических иинформационных процессов, полезны результаты следующей задачи с фиксированным заранее числом разрывов и варьируемой переменной величиной «скачка» в точке разрыва.10.1. Краткая формулировка задачиПусть q – 1 – число интервалов, внутри которых траектория непрерывна; t j ( j = 1, q) – моменты времени, в которые наступают разрывы фазовых координат. Точки t j считаются в общем случае неизвестными. Индекс j указывает, что функциирассматриваются на j-ом отрезке времениt j ≤ t ≤ t j +1 .На каждом j-ом отрезке задана система связейF ( j ) (t , x(t ), x& (t )) = 0 ,(145)g (t j , x(t r+ ), x(t s− )) = 0 ,(146)J = Φ (t j , x(t r+ ), x(t s− )) .(147)гдеF ( j ) = ( F1( j ) , F2( j ) , ..., Fm( j ) )T ;x = ( x1 , x2 , ..., xn )T ;x& = ( x&1 , x& 2 , ..., x& n )T ,и краевые условия в точке разрыва функций xi (t )гдеg = ( g1 , g 2 , ..., g p )T ;j = 1, q;r = j; 1 ≤ j ≤ q − 1;s = j ; 2 ≤ j ≤ q;t1 < t 2 < ...

< t j < ... < t q ;p ≤ 2(q − 1)n + q .Требуется минимизировать функционалЗ а м е ч а н и е . Здесь величины x(tr+ ) суть правосторонние пределы в точке разрыва t j , а x(t s− ) – левосторонние пределы.10.2. Необходимые условия оптимальностиНеобходимые условия экстремума функционала (147) состоят из:• правила множителей Лагранжа;• уравнений Эйлера–Лагранжа;• условий Эрдмана–Вейерштрасса;• условий трансверсальности.Для рассматриваемых разрывных задач эти условия имеют следующий вид.Правило множителей. Вводятся функции Лагранжа для разрывных задач:F ( j) =m∑ λ i Fi( j )( j = 1, q − 1)(148)i =1иL=Φ+p∑ µk gk ,(149)k =1а затем отыскиваются функции xi (t ), λ i (t ), µ k , удовлетворяющие (145), (146) и доставляющие стационарное значение вспомогательному функционалу J (стационарной величиной называется такое значение J, вариация δJ которой равна нулю:δJ = 0 ):tq∫J = L + Fdt =L +q −1 t j +1∑ ∫ F ( j ) dt .j =1(150)tjt1В этом случае вариация δJ функционала J имеет следующее выражение:n  ∂F (1)∂LδJ = ∑ − ∂x (t )∂x&ii =1  i 1 n  ∂F ( 2)∂L+ ∑− +∂x&ii =1  ∂xi (t 2 ) n   ∂F (1)∂L  dxi (t1 ) + ∑ +−∂x&i t1 i =1  ∂xi (t 2 )    dxi (t 2− ) + t2− n   ∂F ( q−1)∂L dxi (t 2+ ) + ...

+ ∑ + ∂x (t )  ∂x&i t2+ i =1  i q   dxi (t q ) + tq nnn ∂L ∂L ∂F (1)   ∂F (1)  ∂F ( 2)++ ∑ − ∑ x&i   dt1 + x&i  +∑  ∂t1 i=1  ∂x&i ∂t 2 i =1  ∂x&i t1  t2− i =1  ∂x&i−n t2n ∂L ∂F ( q−1)   d  ∂F (1)+ ... + − ∑ x&i   dt q + ∑ ∫ − & ∂t q i =1  ∂x&i tq i =1 t1  dt  ∂xin+ ... + ∑tq∫i =1 t +q −1 d  ∂F ( q−1)−  dt  ∂x&i x&   dt 2 + t2+  ∂F (1)  +δxi dt + ∂xi  ∂F ( q−1)  + δxi (t )dt .∂xi (151)Уравнения Эйлера–Лагранжа. Из выражения (151) вытекает, что если x(t) – кривая, доставляющая стационарное значение функционалу J (т.е. δJ = 0 ), то между точками разрывов удовлетворяются уравнения Эйлера–Лагранжа:d  ∂F ( j )dt  ∂x&i ∂F ( j )− ∂x = 0 (i = 1, n; j = 1, q − 1) .i(152)Условия Эрдмана–Вейерштрасса и условия трансверсальности.