Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Громов Ю.Ю. и др. - Специальные разделы теории управления, оптимальное управление динамическими системами

Громов Ю.Ю. и др. - Специальные разделы теории управления, оптимальное управление динамическими системами, страница 14

PDF-файл Громов Ю.Ю. и др. - Специальные разделы теории управления, оптимальное управление динамическими системами, страница 14 Оптимальное управление (3642): Книга - 9 семестр (1 семестр магистратуры)Громов Ю.Ю. и др. - Специальные разделы теории управления, оптимальное управление динамическими системами: Оптимальное управление - PDF, страница 14 2017-12-25СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "Громов Ю.Ю. и др. - Специальные разделы теории управления, оптимальное управление динамическими системами", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "оптимальное управление" из 9 семестр (1 семестр магистратуры), которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "оптимальное управление" в общих файлах.

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 14 страницы из PDF

Величины F − ∑ x&i Fx&i и Fx&i (i = 1, n) непрерывны вдоль кривой С: {x = x(t), a}. Вi =1частности, если при t = t ′ кривая С имеет угловую точку, т.е. хотя бы по одной компоненте xi (t ) имеет место разрыв (первого рода) в производной:x&i =dxi (t )dx (t )≠ i= x&i+ ,dt t =t ′− 0dt t =t ′+ 0(126)то справедливы соотношенияFx& =i∂F∂x&i=x&i = x&i∂F∂x&ix&i = x&i+= Fx&+i (i = 1, n)(127)иF−n∑ x&i Fx&i =1in=  F − x&i Fx&ii =1∑n=  F − x&i Fx&ii =1 x&i = x&i− ∑n= F + − x&i+ Fx&+i .i =1 x&i = x&i+∑(128)ЗдесьF − = F (t , x, x& , a) x& = x& − ; F + = F (t , x, x& , a) x& = x& + ;x& + = ( x&1+ , x& 2+ ,..., x& n+ )T ; x& − = ( x&1− = x& 2− ,..., x& n− )T .Условие трансверсальности. Концевые точки 0 и 1 кривой С: {x = x(t), a} таковы, что равенство F −x&i Fx&i dt +i =1n∑1Fx&i dxi  + dL + 0i =1n∑r t1∑ ∫ Fa da j dt = 0j =1 t0j(129)выполняется тождественно для dt 0 , dt1 , dxi 0 = dxi (t 0 ), dxi1 = dxi (t1 ), da j (т.е.

для всех произвольных и независимых значенийуказанных вариаций концов траекторий и вариаций параметров). Здесь dL – полный дифференциал функцииL(t 0 , t1 , x(t 0 ), x(t1 ), a, µ k ) :dL =∂Ldt 0 +∂t 0n∂L∂Ln∂Lr∂L∑ ∂xi0 dxi0 + ∂t1 dt1 + ∑ ∂xi1 dxi1 + ∑ ∂a j da j .i =1i =1j =1(130)r∂t0 (a)∂t (a)da j , dt1 = ∑ 1 da j . В силу независимости величин∂ajj =1 ∂a jj =1rЗ а м е ч а н и е .

Если t 0 = t 0 (a), t1 = t1 (a) , то dt0 = ∑dt 0 , dt1 , dxi 0 , dxi1 условие (129) эквивалентно 2n + 2 + r равенствам видаn∂L ∂L F − dxi1 = 0 (i = 1, n) ; (131)&i Fx& i +  dt1 = 0,...,  Fx& i +x∂t ∂xi  t = ti =1t = t11∑n∂L  F − ∑ x&i Fx& + ∂L dt0 , ...,  Fx& i +dxi 0 = 0 (i = 1, n) ; (132)i∂t ∂xi t = ti =1t =t00 ∂L t1 ∂F  ∂a + ∂a dt da j = 0 (i = 1, n) ,jjt0∫(133)число которых достаточно для того, чтобы совместно с уравнениями (118), (119), (124) определить недостающие значенияµ 0 , µ k (k = 1, ρ), λ j (t ) ( j = 1, m), xi (t ) (i = 1, n), a j ( j = 1, r ) .9.3. Второе необходимое условие минимума функционалав задаче Больца (условие Вейерштрасса) для случаяf ≡ 0, fk ≡ 0Для допустимой кривой С: {x = x(t), a}, реализующей минимум в задаче Больца, всегда существует такая система множителей µ k (k = 0, ρ), λ j (t ) ( j = 1, m) , что для кривой С с этими множителями выполняется правило множителей (см.

п. 9.2), а&):для всякого элемента (t , x, x& , µ, λ ) (в том числе и в угловых точках) кривой С функция Вейерштрасса E(t , x, x& , λ , X& ) = F (t , x, X& , λ ) − F (t , x, x& , λ ) −E(t , x, x& , λ , Xn∑ ( X& i − x&i ) Fx& (t, x, x& , λ )i =1i(134)удовлетворяет неравенству&) ≥ 0.Е(t , x, x& , λ , X(135)& , λ ) , не совпадающих с элементамиНеравенство (135) имеет место при всех возможных допустимых элементах (t , x, X(t , x, x& , λ ) кривой С, но удовлетворяющих условиямF j (t , x, x& , a) = 0 ( j = 1, m) .Если минимизирующая кривая C: {x = x(t), a} нормальна, то система множителей µ 0 = 1, µ k , λ j (t ) ( j = 1, m, k = 1, ρ) –единственна и условие Вейерштрасса для этой системы выполняется.9.4.

Третье необходимое условие минимума в задаче Больца(условие Лежандра–Клебша) для случая f = 0, fk = 0Если кривая С: {x = x(t), a} реализует минимум в задаче Больца, то всегда найдется такая система множителей µ0, µk(k = 1, ρ) , λ j (t ) ( j = 1, m) , что для этой кривой С удовлетворяется правило множителей, а для всякого ее элемента (t , x, x& , µ, λ )выполняется неравенствоnn∑∑ Fx& x&i =1 k =1i k(t , x, x& , λ ) ξ i ξ k ≥ 0(136)при любых ξ = (ξ1 , ξ 2 , ..., ξ n ) ≠ (0, 0, ..., 0) , удовлетворяющих уравнениямn∑ F jx&i =1гдеF jxi =∂F j∂x&i; Fx&i x& k =В рассматриваемой задаче важную роль играет матрица∂2F.∂x&i ∂x& kj(t , x, x& )ξ i = 0 ( j = 1, m) ,(137) Fx&i x&kF αx&kFγx&i   Fx& x&=0  ( Fx& )TFx& 0 (138) ∂2F ∂ ( F1 , F2 ,..., Fm ); Fx& x& =  (α, γ = 1, m) .∂ ( x&1 , x& 2 ,..., x& n ) ∂x&i ∂x& k Определитель этой матрицы называется определителем Гильберта.

Вариационные задачи с отличным от нуля определителем Гильберта называется регулярными (невырожденными).(i, k = 1, n), Fx& =9.5. Четвертое необходимое условие в задаче Больца(условие Якоби–Майера–Кнезера)Условие Якоби–Майера–Кнезера носит нелокальный (интегральный) характер и характеризует экстремальность всейкривой в целом на основе рассмотрения поведения экстремалей, лежащих в малой окрестности от данной экстремали.Условие Якоби–Майера–Кнезера. Чтобы экстремаль C: {x(t)} доставляла на отрезке [t 0 , t1 ] минимум функционалу взадаче Больца, необходимо, чтобы отрезок [t 0 , t1 ] не содержал точек, сопряженных с t0 .~~Сопряженная точка. Считается, что экстремаль C: {x(t)} имеет на интервале (t 0 , t1 ) точку t , t0 < t < t1 , сопряженнуюс t0 , если существует последовательность экстремалей, выходящих из той же начальной точки (t 0 , x(t 0 )) и бесконечноблизких к данной экстремали x(t), такая, что каждая из этих экстремалей пересекает данную экстремаль x(t) и последова~~ ~тельность точек пересечения имеют точку t своим пределом.

Сопряженная точка ( t , x( t )) является точкой касания экстремали x(t) с огибающей семейства экстремалей, в которое данная экстремаль x(t) включена (заметим, что огибающая может~ ~вырождаться в точку). Это показывает, что в сопряженной точке ( t , x( t )) расстояние между данной экстремалью x(t) и произвольной близкой экстремалью ~x (t ) , выходящей из той же начальной точки (t 0 , x(t 0 )) , есть величина выше первого поряд~~ ~ка малости по сравнению с указанным расстоянием вне сопряженной точки ( t , x( t )) (т.е.

при t0 ≤ t < t ).Методы определения сопряженных точек весьма трудоемки. В частности, они могут основываться на вычислении определителей Майера–Кнезера.Для задачи Майера (см. п. 9.1) с закрепленными концамиF j (t , x, x& ) = 0 ( j = 1, m), t 0 ≤ t ≤ t1 ,(139)где t 0 , t1 – заданные числа,x(t 0 ) = x 0 , xˆ (t1 ) = xˆ 1 = ( x1 (t1 ), ..., xn −1 (t1 )) ,(140)где x 0 , xˆ 1 – заданные векторы,и с функционаломJ = Φ (t 0 , t1 , x 0 , x1 ) = xn (t1 )(141)~сопряженная точка t может быть вычислена как момент времени, в который обращается в нуль определитель Кнезера:~D( t , λ 0 ) =∂( x1 , x2 ,..., xn −1 )∂ (λ10 , λ 20 ,..., λ n −1,0 )~t=t∂x1 (t , λ 0 )∂x1 (t , λ 0 )L∂λ10∂λ n −1,0LLL=∂xn −1 (t , λ 0 )∂xn −1 (t , λ 0 )L∂λ10∂λ n −1,0=0,~t=t(142)Tλ 0 = (λ10 , λ 20 , ..., λ n −1,0 ) ;)где x( x, λ 0 ) = ( x1 (t , λ 0 ), ..., xn−1 (t , λ 0 )) – экстремаль, удовлетворяющая при λ = λ 0 заданным условиям (140).(143)З а м е ч а н и е .

При применении численных методов решения краевой задачи иногда [например, в методе Ньютона] одновременно с основной экстремалью x(t) вычисляется (n – 1) дополнительных экстремалей x n−1 (t ) , лежащих в близкой окрестности к основной и выходящих из той же точки (начальной) (t 0 , x 0 ) по линейно-независимым направлениям (соответствующим линейно-независимым начальным условиям для множителей Лагранжа λ 0 ). В этом случае можно утверждать, что~~точка t будет сопряженной с точкой t0 в сформулированной выше задаче, если в точке t определительx1 (t ) − x1(1) (t ),x2 (t ) − x2(1) (t ),x (t ) − x1( 2) (t ),x2 (t ) − x2( 2) (t ),~∆( t , λ 0 ) = 1LL( n −1)x1 (t ) − x1 (t ), x2 (t ) − x2( n−1) (t ),L, xn−1 (t ) − xn(1−)1 (t )L, xn−1 (t ) − xn( 2−)1 (t )LLL, xn−1 (t ) − xnn−−11 (t ) t =~t(144)~представляет бесконечно малую величину более высокого порядка, чем при t0 ≤ t ≤ t .Контрольные вопросы0.1.

Задачи Больца, Майера, Лагранжа; привести формулировки.2. Первое необходимое условие экстремума функционала в задаче Больца.3. Второе необходимое условие минимума функционала в задаче Больца (условие Вейерштрасса) для случая f ≡ 0, fk ≡4. Третье необходимое условие минимума в задаче Больца (условие Лежандра–Клебша) для случая f = 0, fk = 0.5. Четвертое необходимое условие в задаче Больца (условие Якоби–Майера–Кнезера).Глава 10НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ЗАДАЧАХС РАЗРЫВНЫМИ ФАЗОВЫМИ КООРДИНАТАМИДля ряда технических систем, в частности механики полета (особенно для ракетодинамики) важен случай, в которомдопускаются конечные разрывы (разрывы первого рода) в фазовой траектории (например, мгновенный «сброс» массы послеотделения ступени).

При расчете ступенчатых ракет, химических реакторов, а также целого ряда химико-технологических иинформационных процессов, полезны результаты следующей задачи с фиксированным заранее числом разрывов и варьируемой переменной величиной «скачка» в точке разрыва.10.1. Краткая формулировка задачиПусть q – 1 – число интервалов, внутри которых траектория непрерывна; t j ( j = 1, q) – моменты времени, в которые наступают разрывы фазовых координат. Точки t j считаются в общем случае неизвестными. Индекс j указывает, что функциирассматриваются на j-ом отрезке времениt j ≤ t ≤ t j +1 .На каждом j-ом отрезке задана система связейF ( j ) (t , x(t ), x& (t )) = 0 ,(145)g (t j , x(t r+ ), x(t s− )) = 0 ,(146)J = Φ (t j , x(t r+ ), x(t s− )) .(147)гдеF ( j ) = ( F1( j ) , F2( j ) , ..., Fm( j ) )T ;x = ( x1 , x2 , ..., xn )T ;x& = ( x&1 , x& 2 , ..., x& n )T ,и краевые условия в точке разрыва функций xi (t )гдеg = ( g1 , g 2 , ..., g p )T ;j = 1, q;r = j; 1 ≤ j ≤ q − 1;s = j ; 2 ≤ j ≤ q;t1 < t 2 < ...

< t j < ... < t q ;p ≤ 2(q − 1)n + q .Требуется минимизировать функционалЗ а м е ч а н и е . Здесь величины x(tr+ ) суть правосторонние пределы в точке разрыва t j , а x(t s− ) – левосторонние пределы.10.2. Необходимые условия оптимальностиНеобходимые условия экстремума функционала (147) состоят из:• правила множителей Лагранжа;• уравнений Эйлера–Лагранжа;• условий Эрдмана–Вейерштрасса;• условий трансверсальности.Для рассматриваемых разрывных задач эти условия имеют следующий вид.Правило множителей. Вводятся функции Лагранжа для разрывных задач:F ( j) =m∑ λ i Fi( j )( j = 1, q − 1)(148)i =1иL=Φ+p∑ µk gk ,(149)k =1а затем отыскиваются функции xi (t ), λ i (t ), µ k , удовлетворяющие (145), (146) и доставляющие стационарное значение вспомогательному функционалу J (стационарной величиной называется такое значение J, вариация δJ которой равна нулю:δJ = 0 ):tq∫J = L + Fdt =L +q −1 t j +1∑ ∫ F ( j ) dt .j =1(150)tjt1В этом случае вариация δJ функционала J имеет следующее выражение:n  ∂F (1)∂LδJ = ∑ − ∂x (t )∂x&ii =1  i 1 n  ∂F ( 2)∂L+ ∑− +∂x&ii =1  ∂xi (t 2 ) n   ∂F (1)∂L  dxi (t1 ) + ∑ +−∂x&i t1 i =1  ∂xi (t 2 )    dxi (t 2− ) + t2− n   ∂F ( q−1)∂L dxi (t 2+ ) + ...

+ ∑ + ∂x (t )  ∂x&i t2+ i =1  i q   dxi (t q ) + tq nnn ∂L ∂L ∂F (1)   ∂F (1)  ∂F ( 2)++ ∑ − ∑ x&i   dt1 + x&i  +∑  ∂t1 i=1  ∂x&i ∂t 2 i =1  ∂x&i t1  t2− i =1  ∂x&i−n t2n ∂L ∂F ( q−1)   d  ∂F (1)+ ... + − ∑ x&i   dt q + ∑ ∫ − & ∂t q i =1  ∂x&i tq i =1 t1  dt  ∂xin+ ... + ∑tq∫i =1 t +q −1 d  ∂F ( q−1)−  dt  ∂x&i x&   dt 2 + t2+  ∂F (1)  +δxi dt + ∂xi  ∂F ( q−1)  + δxi (t )dt .∂xi (151)Уравнения Эйлера–Лагранжа. Из выражения (151) вытекает, что если x(t) – кривая, доставляющая стационарное значение функционалу J (т.е. δJ = 0 ), то между точками разрывов удовлетворяются уравнения Эйлера–Лагранжа:d  ∂F ( j )dt  ∂x&i ∂F ( j )− ∂x = 0 (i = 1, n; j = 1, q − 1) .i(152)Условия Эрдмана–Вейерштрасса и условия трансверсальности.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее