Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Громов Ю.Ю. и др. - Специальные разделы теории управления, оптимальное управление динамическими системами

Громов Ю.Ю. и др. - Специальные разделы теории управления, оптимальное управление динамическими системами, страница 13

PDF-файл Громов Ю.Ю. и др. - Специальные разделы теории управления, оптимальное управление динамическими системами, страница 13 Оптимальное управление (3642): Книга - 9 семестр (1 семестр магистратуры)Громов Ю.Ю. и др. - Специальные разделы теории управления, оптимальное управление динамическими системами: Оптимальное управление - PDF, страница 13 2017-12-25СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "Громов Ю.Ю. и др. - Специальные разделы теории управления, оптимальное управление динамическими системами", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "оптимальное управление" из 9 семестр (1 семестр магистратуры), которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "оптимальное управление" в общих файлах.

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 13 страницы из PDF

п. 4.3)H (t , x, λ , u * ) ≤ H (t , x, λ , u) ,(99)т.е.min H (t , x, λ , u) = H (t , x, λ , u * ) ,u∈U mгде гамильтониан H определяется, как и в п. 4.2, выражениемH = λ0 f0 + λT f ,(100)H1 = H + βT ℵ .(101)аЕсли минимум H достигается во внутренней точке области U m , тоT∂H 1 ∂H  ∂ℵ =+ β.∂u∂u  ∂u (102)λ (t α + 0) = λ (t α − 0) ;(103)В угловых точках tα выполняются следующие условия:а) сопряженный вектор λ (t ) непрерывен, т.е.б) функция H непрерывна, т.е.H (t α , x(t α ), λ (t α ), u * (t α + 0)) = H (t α , x(t α ), λ (t α ), u * (t α − 0)) (104)(условие (99) соблюдается со знаком равенства);в) уравнения (97) и (102) сохраняются.Условия a) – в) являются аналогом условий Вейерштрасса–Эрдмана.В конечной точке (t1, x1 ) для любых значений dt1 , dx(t1 ) выполняются условия трансверсальностиT ∂Φ T  ∂q T∂ΦTT ∂q ++λf+µfdt+ +   µ − λ  dx(t1 ) = 0 ; 01 ∂t1∂t1  t =t ∂x   ∂x  t =t11q(t1 , x(t1 )) = 0 .Из (105) следует, что(105) ∂Φ∂q + µTH (t1 ) = ( f 0 + λ T f ) t1 = −  ;∂t1  t ∂t11(106) ∂Φ T  ∂q T λ (t1 ) =  +   µ . ∂x   ∂x   t(107)1Для простейшей задачи условия (106) и (107) упрощаются.

Так, например, в случае (93) они имеют видH (t1 ) = 0;λ i (t1 ) = µ i (i = 1, l 2 ); λ i (t1 ) = 0(i = l 2 + 1, n).(108)8.4. Аналог необходимого условия КлебшаОбозначим через ℵ те компоненты вектора ограничений ℵ , которые в каждой точке минимизирующей кривой x*(t),u (t) удовлетворяются в виде равенств. Пусть β – соответствующий им вектор множителей. Тогда*H1 = H + β T ℵ(109)и для внутренних точек области U m на минимизирующем управлении u*(t) имеет место неравенствоηT∂ 2 H1η≥0∂u 2(110)для всех η = (η1 , η2 , ..., ηm )T ≠ 0 , удовлетворяющих условию∂ℵη=0.∂u(111)Здесь ∂ 2 H1∂ 2 H1 L,,2∂u1 ∂u m u∂21∂ H1LL .= L2 ∂2H∂u 2H1 ∂1, L,∂u m2  ∂u m ∂u1Условия (110) и (111) эквивалентны требованию положительности корней s характеристического уравнения∂2H1− sE ,2D( s ) = det  ∂u∂ℵ∂uT ∂ℵ    ∂u   = 0 .0 (112)Неравенство нулю определителя матрицы∂2H1 ∂u 2 ∂ℵ ∂uT ∂ℵ    ∂u  0 (113)во всех точках x*(t), u*(t) оптимальной траектории эквивалентно условию Гильберта (см.

п. 9.4) и в данном случае означаетнепрерывность управления u*(t). Если указанный определитель отличен от нуля в каждой точке экстремали, то задача называется невырожденной.С л е д с т в и я . 1. Условия для открытого ядра области U m (t , x) (условия (95) – (99)) означают, что во всех точках траектории, в которых минимум H по u, u ∈ U m (x, t ) достигается при выполнении строгих неравенствℵi (t , x, u) > 0 (i = 1, v)(114)(т.е. в так называемом открытом ядре области U m (x, t ) ) справедлив принцип максимума (см. п. 4.3), не учитывающий наличие связей (89).

Здесь все β i = 0 (i = 1, v1 ) и дифференциальные уравнения (95)–(96) при условии (99), дающем u = u(t , x, λ )имеют единственное решение:xi = xi (t , t 0 , x 0 , λ i 0 ); λ i = λ i (t , t 0 , x 0 , λ i 0 ).(115)u = u(t , t 0 , x 0 , λ i 0 )(116)В этом случаеи решение задачи оптимизации погружено в (2n + 1) параметрическое семейство решений, причем решение (115) зависит отпараметров (t , t 0 , xi 0 , λ i 0 ) , по крайней мере, непрерывно.Если же на траектории нет точек разрыва функции u(t), то решение, по крайней мере, дважды непрерывно дифференцируемо по (t , t 0 , xi 0 , λ i 0 ) .2. Если ℵi (t , x, u) не зависит явно от x, то условия (95), (99) эквивалентны принципу максимума п.

4.3, так как в этомслучае U m (x, t ) зависит лишь от t: U m = U m (t ) .3. Условия для границы области U m (x, t ) находятся следующим образом. Если при определении минимума H по uчасть компонент вектора ℵ удовлетворяются в виде равенств, то недостающие множители β j могут быть найдены из условий (102). Если минимум H по u достигается во внутренней точке областиU m , то управление u j и множители β j нахо-дятся из условий (102) и тех из (89), которые выполняются в виде равенствT∂H  ∂ ℵ  ~ β = 0;+∂u  ∂u ℵ (t , x, u) = 0.(117)~~ ~Из (117) находятся u и β . При этом u = u(x, λ ), β = β (x, λ ) непрерывны в точке соединения, если только в ней нет разрыва в функции u(t).Контрольные вопросы1.

Типы граничных условий.2. Необходимые условия оптимальности.3. Аналог необходимого условия Клебша.Глава 9ЭЛЕМЕНТЫ КЛАССИЧЕСКОГО ВАРИАЦИОННОГОИСЧИСЛЕНИЯЗадачи, в которых уравнения движения не приведены к форме Коши (т.е. не записаны в виде дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных)*, а управляющие функции u(t) явно не введены (и по каким-либо причинам такое приведение невозможно или нежелательно), можно решать методами классического вариационного исчисления.Отметим, что с точки зрения вычислений всегда желательно привести систему уравнений к форме Коши, так как именно для такой системы разработаны эффективные алгоритмы численного интегрирования.9.1. Задачи Больца, Майера, ЛагранжаЗадача Больца.

Одна из наиболее общих формулировок для задач с однократными интегралами и дополнительнымиусловиями заключается в следующем.Пусть класс траекторий определяется:1) кривыми x(t) c координатами xi (t ) (i = 1, n), t 0 ≤ t ≤ t1 ;2) параметрами a j ( j = 1, r ) .Параметры a j можно рассматривать как некоторые постоянные координаты кривой С: z (t ) = (x(t ), a)Y в (n + r)-мерномпространстве, z = ( x1 , x2 , ..., xn , a1 , ..., a r )T .Пусть кривые (x(t), a) удовлетворяют уравнениям движения (или уравнениям связей, вообще говоря, неинтегрируемым)видаF j = (t , x, x& , a) = 0 ( j = 1, m < n)и условиям(118)I k = Φ k (t 0 , x(t 0 ), t1 , x(t1 ), a) +t1∫ f k (t, x, x& , a)dt = 0(k = 1, ρ) ,(119)t0гдеx& =dx= ( x&1 , ..., x& n )T .dtНеобходимо найти кривую из указанного класса траекторий, которая минимизирует функционалJ = Φ (t 0 , x 0 , x1 , t1 , a) +t1∫ f (t , x, x& , a)dt .(120)t0Задача Майера.

Эта задача формально получается из задачи Больца при f ≡ 0, f k ≡ 0 (k = 1, ρ) . В этом случае краевыеусловия (119) становятся общими граничными условиями, число которых должно быть ρ = 2n + r + 2 . Если фиксирован вектор параметров а, то число степеней свободы σ системы дифференциальных уравнений (118), равное разности между числом зависимых переменных и числом независимых дифференциальных уравнений, для задачи Майера равно: σ = n − m .Задача Лагранжа.

Эта задача вытекает из задачи Больца при Φ ≡ 0, f k ≡ 0, k = 1, ρ .Виды связей и граничных условий. Связи вида (119) при Φ k = Φ k (a) , т.е. приtt∫ f k (t, x, x& , a)dt = −Φ k (a) , где все илиt0часть компонент вектора а фиксирована, называются изопериметрическими. Если f k ≡ 0 , то связи типа (119) задают подвижные граничные условия. Если связи типа (119) имеют видΦ k1 ≡ xk1 (t 0 ) − xk1 0 = 0 (k1 = 1, n);Φ k 2 ≡ xk 2 (t1 ) − xk 2 1 = 0 (k 2 = 1, n);Φ 2 n +1 ≡ t 0 − t 00 = 0, Φ 2 n + 2 ≡ t1 − t10 ,где xk1 0 , ..., t10 – заданные числа, то граничные условия называются закрепленными.Если k1 = 1, n; k 2 = 1, n1 < n; t 0 − t 00 = 0; t1 − t10 = 0 , то n1 концов закреплено, а остальные условия называются свободными граничными условиями.Если граничные условия Φ k (t0 , t1, x0 , x1 ) = 0 при ( f k = 0, k = 1, ρ) можно разбить на две группы Φ k1 (t 0 , x 0 ) = 0 ;Φ k 2 (t1 , x1 ) = 0 ; k1 = 1, ρ1 , k 2 = ρ1 + 1, ..., ρ, ρ1 < n и если Φ ≡ q (t1, x1 ) − h(t0 , x0 ) , то задача называется задачей с разделеннымиусловиями для концов.Общие условия (119) называются смешанными граничными условиями.9.2.

Первое необходимое условие экстремума функционалав задаче БольцаПервое необходимое условие экстремума состоит из:• правила множителей Лагранжа;• уравнений Эйлера–Лагранжа;• условий Эрдмана–Вейерштрасса;• условий трансверсальности.Пусть минимизирующая кривая С: {x = x(t), a} допускает в любой точке слабые (малые как по x(t), так и по x& (t ) ) вариации δx(t ) = x(t ) − ~x (t ), δx& (t ) = x& (t ) − ~x& (t ) по любым совместимым со связями (118) направлениям в пространствеX n , x ∈ X n и функции f , f k , Φ, Φ k обладают непрерывными производными до третьего порядка.

Тогда необходимые условия экстремума формулируются следующим образом.Правило множителей Лагранжа: существуют функции µ0, µk, λ j (t ) и функцииρmk =1j =1F = µ 0 f + ∑ µ k f k + ∑ λ j (t ) F j (t , x, x& , a) ;L = µ 0Φ (t0 , x(t0 ), t1, x(t1 ), a) +(121)ρ∑ µ k Φ k (t0 , x(t0 ), t1, x(t1), a)(122)k =1такие, что множители µ 0 ≥ 0, µ k – постоянные и решение исходной задачи на условный экстремум лежит среди решенийt1задачи на безусловный экстремум для вспомогательного функционала J = L + ∫ Fdt .t0Всегда можно считать µ 0 = 1 , за исключением особых (анормальных) случаев.Уравнения Эйлера–Лагранжа.

Между угловыми точками (см. 126) минимизирующей кривой: C: {x = x(t), a} выполняются уравнения Эйлера–Лагранжа:nd F − x&i Fx&idt i =1∑Fxi − = Ft ;(123)dFx& = 0 (i = 1, n) ,dt i(124)гдеFxi =∂F∂F∂F; Fx&i =; Ft =.∂xi∂x&i∂tЗ а м е ч а н и е . Уравнение (123) является следствием остальных (при условии, что все xi (t ) обладают вторыми производными) и для функций F, не содержащих явно t, приводит к первому интегралу.F−n∑ x&i Fx&i =1i=C(125)в силу (127), (128), непрерывному при переходе через угловую точку.Решения x(t) уравнения Эйлера–Лагранжа называются экстремалями независимо от того, являются ли они минимизирующими, максимизирующими или седловыми кривыми для функционала J со связями (118), (119).nУсловия Эрдмана–Вейерштрасса.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее