Громов Ю.Ю. и др. - Специальные разделы теории управления, оптимальное управление динамическими системами, страница 13

п. 4.3)H (t , x, λ , u * ) ≤ H (t , x, λ , u) ,(99)т.е.min H (t , x, λ , u) = H (t , x, λ , u * ) ,u∈U mгде гамильтониан H определяется, как и в п. 4.2, выражениемH = λ0 f0 + λT f ,(100)H1 = H + βT ℵ .(101)аЕсли минимум H достигается во внутренней точке области U m , тоT∂H 1 ∂H  ∂ℵ =+ β.∂u∂u  ∂u (102)λ (t α + 0) = λ (t α − 0) ;(103)В угловых точках tα выполняются следующие условия:а) сопряженный вектор λ (t ) непрерывен, т.е.б) функция H непрерывна, т.е.H (t α , x(t α ), λ (t α ), u * (t α + 0)) = H (t α , x(t α ), λ (t α ), u * (t α − 0)) (104)(условие (99) соблюдается со знаком равенства);в) уравнения (97) и (102) сохраняются.Условия a) – в) являются аналогом условий Вейерштрасса–Эрдмана.В конечной точке (t1, x1 ) для любых значений dt1 , dx(t1 ) выполняются условия трансверсальностиT ∂Φ T  ∂q T∂ΦTT ∂q ++λf+µfdt+ +   µ − λ  dx(t1 ) = 0 ; 01 ∂t1∂t1  t =t ∂x   ∂x  t =t11q(t1 , x(t1 )) = 0 .Из (105) следует, что(105) ∂Φ∂q + µTH (t1 ) = ( f 0 + λ T f ) t1 = −  ;∂t1  t ∂t11(106) ∂Φ T  ∂q T λ (t1 ) =  +   µ . ∂x   ∂x   t(107)1Для простейшей задачи условия (106) и (107) упрощаются.

Так, например, в случае (93) они имеют видH (t1 ) = 0;λ i (t1 ) = µ i (i = 1, l 2 ); λ i (t1 ) = 0(i = l 2 + 1, n).(108)8.4. Аналог необходимого условия КлебшаОбозначим через ℵ те компоненты вектора ограничений ℵ , которые в каждой точке минимизирующей кривой x*(t),u (t) удовлетворяются в виде равенств. Пусть β – соответствующий им вектор множителей. Тогда*H1 = H + β T ℵ(109)и для внутренних точек области U m на минимизирующем управлении u*(t) имеет место неравенствоηT∂ 2 H1η≥0∂u 2(110)для всех η = (η1 , η2 , ..., ηm )T ≠ 0 , удовлетворяющих условию∂ℵη=0.∂u(111)Здесь ∂ 2 H1∂ 2 H1 L,,2∂u1 ∂u m u∂21∂ H1LL .= L2 ∂2H∂u 2H1 ∂1, L,∂u m2  ∂u m ∂u1Условия (110) и (111) эквивалентны требованию положительности корней s характеристического уравнения∂2H1− sE ,2D( s ) = det  ∂u∂ℵ∂uT ∂ℵ    ∂u   = 0 .0 (112)Неравенство нулю определителя матрицы∂2H1 ∂u 2 ∂ℵ ∂uT ∂ℵ    ∂u  0 (113)во всех точках x*(t), u*(t) оптимальной траектории эквивалентно условию Гильберта (см.

п. 9.4) и в данном случае означаетнепрерывность управления u*(t). Если указанный определитель отличен от нуля в каждой точке экстремали, то задача называется невырожденной.С л е д с т в и я . 1. Условия для открытого ядра области U m (t , x) (условия (95) – (99)) означают, что во всех точках траектории, в которых минимум H по u, u ∈ U m (x, t ) достигается при выполнении строгих неравенствℵi (t , x, u) > 0 (i = 1, v)(114)(т.е. в так называемом открытом ядре области U m (x, t ) ) справедлив принцип максимума (см. п. 4.3), не учитывающий наличие связей (89).

Здесь все β i = 0 (i = 1, v1 ) и дифференциальные уравнения (95)–(96) при условии (99), дающем u = u(t , x, λ )имеют единственное решение:xi = xi (t , t 0 , x 0 , λ i 0 ); λ i = λ i (t , t 0 , x 0 , λ i 0 ).(115)u = u(t , t 0 , x 0 , λ i 0 )(116)В этом случаеи решение задачи оптимизации погружено в (2n + 1) параметрическое семейство решений, причем решение (115) зависит отпараметров (t , t 0 , xi 0 , λ i 0 ) , по крайней мере, непрерывно.Если же на траектории нет точек разрыва функции u(t), то решение, по крайней мере, дважды непрерывно дифференцируемо по (t , t 0 , xi 0 , λ i 0 ) .2. Если ℵi (t , x, u) не зависит явно от x, то условия (95), (99) эквивалентны принципу максимума п.

4.3, так как в этомслучае U m (x, t ) зависит лишь от t: U m = U m (t ) .3. Условия для границы области U m (x, t ) находятся следующим образом. Если при определении минимума H по uчасть компонент вектора ℵ удовлетворяются в виде равенств, то недостающие множители β j могут быть найдены из условий (102). Если минимум H по u достигается во внутренней точке областиU m , то управление u j и множители β j нахо-дятся из условий (102) и тех из (89), которые выполняются в виде равенствT∂H  ∂ ℵ  ~ β = 0;+∂u  ∂u ℵ (t , x, u) = 0.(117)~~ ~Из (117) находятся u и β . При этом u = u(x, λ ), β = β (x, λ ) непрерывны в точке соединения, если только в ней нет разрыва в функции u(t).Контрольные вопросы1.

Типы граничных условий.2. Необходимые условия оптимальности.3. Аналог необходимого условия Клебша.Глава 9ЭЛЕМЕНТЫ КЛАССИЧЕСКОГО ВАРИАЦИОННОГОИСЧИСЛЕНИЯЗадачи, в которых уравнения движения не приведены к форме Коши (т.е. не записаны в виде дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных)*, а управляющие функции u(t) явно не введены (и по каким-либо причинам такое приведение невозможно или нежелательно), можно решать методами классического вариационного исчисления.Отметим, что с точки зрения вычислений всегда желательно привести систему уравнений к форме Коши, так как именно для такой системы разработаны эффективные алгоритмы численного интегрирования.9.1. Задачи Больца, Майера, ЛагранжаЗадача Больца.

Одна из наиболее общих формулировок для задач с однократными интегралами и дополнительнымиусловиями заключается в следующем.Пусть класс траекторий определяется:1) кривыми x(t) c координатами xi (t ) (i = 1, n), t 0 ≤ t ≤ t1 ;2) параметрами a j ( j = 1, r ) .Параметры a j можно рассматривать как некоторые постоянные координаты кривой С: z (t ) = (x(t ), a)Y в (n + r)-мерномпространстве, z = ( x1 , x2 , ..., xn , a1 , ..., a r )T .Пусть кривые (x(t), a) удовлетворяют уравнениям движения (или уравнениям связей, вообще говоря, неинтегрируемым)видаF j = (t , x, x& , a) = 0 ( j = 1, m < n)и условиям(118)I k = Φ k (t 0 , x(t 0 ), t1 , x(t1 ), a) +t1∫ f k (t, x, x& , a)dt = 0(k = 1, ρ) ,(119)t0гдеx& =dx= ( x&1 , ..., x& n )T .dtНеобходимо найти кривую из указанного класса траекторий, которая минимизирует функционалJ = Φ (t 0 , x 0 , x1 , t1 , a) +t1∫ f (t , x, x& , a)dt .(120)t0Задача Майера.

Эта задача формально получается из задачи Больца при f ≡ 0, f k ≡ 0 (k = 1, ρ) . В этом случае краевыеусловия (119) становятся общими граничными условиями, число которых должно быть ρ = 2n + r + 2 . Если фиксирован вектор параметров а, то число степеней свободы σ системы дифференциальных уравнений (118), равное разности между числом зависимых переменных и числом независимых дифференциальных уравнений, для задачи Майера равно: σ = n − m .Задача Лагранжа.

Эта задача вытекает из задачи Больца при Φ ≡ 0, f k ≡ 0, k = 1, ρ .Виды связей и граничных условий. Связи вида (119) при Φ k = Φ k (a) , т.е. приtt∫ f k (t, x, x& , a)dt = −Φ k (a) , где все илиt0часть компонент вектора а фиксирована, называются изопериметрическими. Если f k ≡ 0 , то связи типа (119) задают подвижные граничные условия. Если связи типа (119) имеют видΦ k1 ≡ xk1 (t 0 ) − xk1 0 = 0 (k1 = 1, n);Φ k 2 ≡ xk 2 (t1 ) − xk 2 1 = 0 (k 2 = 1, n);Φ 2 n +1 ≡ t 0 − t 00 = 0, Φ 2 n + 2 ≡ t1 − t10 ,где xk1 0 , ..., t10 – заданные числа, то граничные условия называются закрепленными.Если k1 = 1, n; k 2 = 1, n1 < n; t 0 − t 00 = 0; t1 − t10 = 0 , то n1 концов закреплено, а остальные условия называются свободными граничными условиями.Если граничные условия Φ k (t0 , t1, x0 , x1 ) = 0 при ( f k = 0, k = 1, ρ) можно разбить на две группы Φ k1 (t 0 , x 0 ) = 0 ;Φ k 2 (t1 , x1 ) = 0 ; k1 = 1, ρ1 , k 2 = ρ1 + 1, ..., ρ, ρ1 < n и если Φ ≡ q (t1, x1 ) − h(t0 , x0 ) , то задача называется задачей с разделеннымиусловиями для концов.Общие условия (119) называются смешанными граничными условиями.9.2.

Первое необходимое условие экстремума функционалав задаче БольцаПервое необходимое условие экстремума состоит из:• правила множителей Лагранжа;• уравнений Эйлера–Лагранжа;• условий Эрдмана–Вейерштрасса;• условий трансверсальности.Пусть минимизирующая кривая С: {x = x(t), a} допускает в любой точке слабые (малые как по x(t), так и по x& (t ) ) вариации δx(t ) = x(t ) − ~x (t ), δx& (t ) = x& (t ) − ~x& (t ) по любым совместимым со связями (118) направлениям в пространствеX n , x ∈ X n и функции f , f k , Φ, Φ k обладают непрерывными производными до третьего порядка.

Тогда необходимые условия экстремума формулируются следующим образом.Правило множителей Лагранжа: существуют функции µ0, µk, λ j (t ) и функцииρmk =1j =1F = µ 0 f + ∑ µ k f k + ∑ λ j (t ) F j (t , x, x& , a) ;L = µ 0Φ (t0 , x(t0 ), t1, x(t1 ), a) +(121)ρ∑ µ k Φ k (t0 , x(t0 ), t1, x(t1), a)(122)k =1такие, что множители µ 0 ≥ 0, µ k – постоянные и решение исходной задачи на условный экстремум лежит среди решенийt1задачи на безусловный экстремум для вспомогательного функционала J = L + ∫ Fdt .t0Всегда можно считать µ 0 = 1 , за исключением особых (анормальных) случаев.Уравнения Эйлера–Лагранжа.

Между угловыми точками (см. 126) минимизирующей кривой: C: {x = x(t), a} выполняются уравнения Эйлера–Лагранжа:nd F − x&i Fx&idt i =1∑Fxi − = Ft ;(123)dFx& = 0 (i = 1, n) ,dt i(124)гдеFxi =∂F∂F∂F; Fx&i =; Ft =.∂xi∂x&i∂tЗ а м е ч а н и е . Уравнение (123) является следствием остальных (при условии, что все xi (t ) обладают вторыми производными) и для функций F, не содержащих явно t, приводит к первому интегралу.F−n∑ x&i Fx&i =1i=C(125)в силу (127), (128), непрерывному при переходе через угловую точку.Решения x(t) уравнения Эйлера–Лагранжа называются экстремалями независимо от того, являются ли они минимизирующими, максимизирующими или седловыми кривыми для функционала J со связями (118), (119).nУсловия Эрдмана–Вейерштрасса.