Громов Ю.Ю. и др. - Специальные разделы теории управления, оптимальное управление динамическими системами, страница 16

Найти допустимые управляемые процессы, для которых выполняются условия п. 2 с множителями Лагранжа λ иp (⋅) , одновременно не равными нулю. При этом бывает удобно отдельно рассмотреть случаи λ 0 = 0 и λ 0 ≠ 0 . Во второмслучае можно положить λ 0 равным единице или любой другой положительной константе.4. Отыскать решение среди найденных допустимых экстремальных процессов или показать, что решения нет.Можно показать, что описанное выше правило решения находится в полном соответствии с принципом Лагранжа снятия ограничений.ЗАКЛЮЧЕНИЕВ настоящем учебном пособии представлена точка зрения авторов на процесс подготовки студентов информационноинженерных специальностей по данной дисциплине.Особое внимание уделено изучению роли методов теории оптимальных процессов при решении прикладных техникоэкономических задач.Рассмотрен набор необходимых условий оптимальности как для основной задачи оптимального управления, так и дляслучаев, когда управление является особым, а задача осложнена фазовыми и смешанными ограничениями.

Элементы классического вариационного исчисления рассматриваются как следствие использования «принципа максимума».В отдельных главах представлены задачи с разрывными фазовыми координатами. Особое внимание уделено рассмотрению принципа максимума в форме Лагранжа, что, на взгляд авторов, облегчает его понимание. Приведена методика изучения необходимых условий оптимальности для решения прикладных задач.Следует отметить, что отсутствие методов выбора оптимизируемых функционалов ограничено сдерживает применениеметодов теории оптимальных процессов при решении прикладных задач.Это связано с трудностями построения математических критериев, определяющих свойства переходных процессов взамкнутых динамических системах.За рамками предлагаемого учебного пособия остается широкий круг вопросов, связанных с построением оптимальныхуправленийсистемами, функционирующими в условиях неопределенности стохастической или нечеткой природы.Следует отметить, что для более глубокого изучения вопросов, рассматриваемых в данном учебном пособии необходимо обратиться к списку литературы, в который включены работы, ставшие классическими.Изложение представленного материала не перегружено математическими конструкциями, выходящими за рамки математики для инженерных специальностей высших учебных заведений.Исследования авторов настоящего учебного пособия, направленные на совершенствование процесса обучения специалистов в области информационных систем по рассматриваемой дисциплине, найдут отражение в дальнейших разработках ипубликациях.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1.

Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин [и др.]. – М. : Наука, 1969. – 384 с.2. Болтянский, В.Г. Математические методы оптимального управления / В.Г. Болтянский. – М. : Наука, 1969. – 408 с.3. Красовский, Н.Н. Теория управления движением / Н.Н. Красовский. – М. : Наука, 1968. – 476 с.4. Красовский, Н.Н. Управление динамической системой / Н.Н. Красовский. М.: Наука, 1985. 520 с.5. Красовский, А.А. Аналитическое конструирование контуров управления летательными аппаратами / А.А.

Красовский. – М. : Машиностроение, 1969. – 238 с.6. Летов, А.М. Динамика полета и управление / А.М. Летов. – М. : Наука, 1969. – 360 с.7. Основы теории оптимального управления / В.Ф. Кротов [и др.] ; под ред. В.Ф. Кротова. – М. : Высшая школа, 1990. –429 с.8. Кротов, В.Ф. Методы и задачи оптимального управления / В.Ф. Кротов, В.И. Гурман.

– М. : Наука, 1973. – 448 с.9. Моисеев, Н.Н. Элементы теории оптимальных систем / Н.Н. Моисеев. – М. : Наука, 1975. – 420 с.10. Фельдбаум, А.А. Основы теории оптимальных автоматических систем / А.А. Фельдбаум. – М. : Физматлит, 1963. –552 с.11. Зубов, В.И. Лекции по теории управления / В.И. Зубов. – М. : Физматлит, 1975. – 495 с.12. Дубовицкий, А.Я. Необходимые условия слабого экстремума в общей задаче оптимального управления / А.Я. Дубовицкий, А.А. Милютин. – М. : Наука, 1971.

– 115 с.13. Иоффе, А.Д. Теория экстремальных задач / А.Д. Иоффе, В.М. Тихомиров. – М. : Наука, 1974. – 470 с.14. Алексеев, В.М. Оптимальное управление / В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин. – М. : Наука, 1979. – 430 с.15. Евтушенко, Ю.Г.

Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации / Ю.Г. Евтушенко. – М. : Наука, 1982. – 432 с.16. Калман, Р.Е. Об общей теории систем управления / Р.Е. Калман // Труды I конгресса ИФАК / Изв. АН СССР. – М.,1961. – Т. 2. – 231 с.17. Атанс, М. Оптимальное управление / М. Атанс, П.Л. Фалб. – М. : Наука, 1968. – 764 с.18.

Ли, Э.Б. Основы теории оптимального управления / Э.Б. Ли, Л. Маркус. – М. : Наука, 1972. – 576 с.19. Беллман, Р. Динамическое программирование / Р. Беллман. – М., 1960. – 326 с.20. Федоренко, Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления / Р.П. Федоренко. – М. : Наука, 1978. – 488с.21. Поляк, Б.Т.

Методы линеаризации при наличии ограничений / Б.Т. Поляк // Итоги науки и техники. Матем. анализ Е.2 / ВИНИТИ. – М., 1974. – С. 147 – 148.22. Поляк, Б.Т. Методы решения задач на условный экстремум при наличие случайных помех / Б.Т. Поляк // ВМ и МФ.– М., 1979. – Т. 19, № 1. – С. 147 – 148.23. Полак, Э. Численные методы оптимизации. Единый подход / Э. Полак.

– М. : Мир, 1974. – 374 с.24. Эльсгольц, Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л.Э. Эльсгольц. – М. : Наука, 1969. –424 с.25. Цлаф, Л.Я. Вариационное исчисления и интегральные уравнения / Л.Я. Цлаф. – М. : Наука, 1970. – 191 с.26. Петров, Ю.П. Вариационные методы теории управления / Ю.П.

Петров. – М. : Наука, 1973.27. Цирлин, А.М. Вариационные методы оптимизации управляемых объектов / А.М. Цирлин, В.С. Балакирев, Е.Г. Дудников. – М. : Наука, 1984.28. Калихман, И.А. Динамическое программирование в примерах и задачах / И.А. Калихман. – М. : Высшая школа,1979. – 125 с.ОглавлениеВВЕДЕНИЕ …………………………………………………………...3Глава 1РОЛЬ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ …...61.1.Общая задача оптимального управления и ее математическая модель ……………………………………………….61.2.Классификация методов теории оптимальных процессов91.3.Необходимые условия оптимальности управления, достаточные условия оптимальности и проблема существования оптимального управления …………………………..10Общая характеристика результатов, которые могут бытьполучены методами теории оптимального управления ….12Условие рационального применения методов оптимизации …………………………………………………………131.4.1.5.Глава 2ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ 142.1.Математические модели.

Переменные состояния (фазовые координаты) управляемого процесса ………………...142.2.Управление ………………...………………...……………...202.3.Эволюция состояния системы. Дифференциальные уравнения движения ………………...……………….…………..202.4.Функционал. Критерий качества управления ...……….….222.5.Автономные системы ………………...……………….……232.6.Допустимое программное управление ……………….…...242.7.Допустимый закон управления ……………….…………...262.8.Допустимые траектории и процессы ……………….……..262.9.Граничные условия.

Краевая задача ……………….……...26Глава 3ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГОУПРАВЛЕНИЯ ……………………………………………………….29Основная задача оптимального координатного управления …………………………………………………………...293.2.Оптимальные траектории ………………………………….303.3.Свойства оптимальных управлений и оптимальных траекторий ………………………………………………………30Геометрическая интерпретация основной задачи оптимального управления ……………………………………….32Глава 4НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ДЛЯОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ ПРОГРАММНОГО УПРАВЛЕНИЯ.ПРИНЦИП МАКСИМУМА …………………………………………343.1.3.4.4.1.Краткая формулировка задачи …………………………….344.2.Некоторые вспомогательные построения и терминология354.3.Принцип максимума Л.С. Понтрягина ……………………364.4.Некоторые следствия принципа максимума ……………...40Глава 5НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ДЛЯОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ЗАКОНА УПРАВЛЕНИЯ.МЕТОД ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ……...455.1.Задача синтеза оптимального закона управления …….….455.2.Принцип оптимальности динамического программирования ……...……...……...……...……...……...……...……...455.3.Ослабленное необходимое условие ……...……...…….…..495.4.Сводка общих процедур метода динамического программирования для вычисления оптимального законауправления u* = v*(t, x) ..……...……...……...……………...53Глава 6НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ОСОБОГОУПРАВЛЕНИЯ ……………………………………………………….636.1.Краткая формулировка задачи …………………………….636.2.Процедура нахождения особого управления ……………..666.3.Необходимое условие оптимальности особого управления …………………………………………………………...67Необходимые условия в точках сопряжения особого ирегулярного управлений …………………………………...68Глава 7НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ В ЗАДАЧАХ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ ТИПА НЕРАВЕНСТВ,СОДЕРЖАЩИМИ ТОЛЬКО ФАЗОВЫЕ КООРДИНАТЫ x ……..696.4.7.1.Краткая формулировка задачи ……….……….…………...697.2.Необходимые условия оптимальности ……….……….…..707.3.Первый тип необходимых условий оптимальности дляграничных участков траектории ……….……….…………72Второй тип необходимых условий для оптимальностиуправления на граничных участках ……….……….……...74Глава 8НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ В ЗАДАЧАХ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ ТИПА НЕРАВЕНСТВ,СОДЕРЖАЩИМИ ОДНОВРЕМЕННО ФАЗОВЫЕ КООРДИНАТЫ x И УПРАВЛЕНИЕ u ……………………………………………757.4.8.1.Краткая формулировка задачи …………………………….768.2.Типы граничных условий ………………………………….778.3.Необходимые условия оптимальности ……………………778.4.Аналог необходимого условия Клебша …………………...79Глава 981ЭЛЕМЕНТЫ КЛАССИЧЕСКОГО ВАРИАЦИОННОГОИСЧИСЛЕНИЯ ……………………………………………………….9.1.Задачи Больца, Майера, Лагранжа ………………………...819.2.Первое необходимое условие экстремума функционала взадаче Больца ……………………………………………….83Второе необходимое условие минимума функционала взадаче Больца (условие Вейерштрасса) для случая f ≡ 0,fk ≡ 0 ………………………………………………………….86Третье необходимое условие минимума в задаче Больца(условие Лежандра–Клебша) для случая f = 0, fk = 0 ……..87Четвертое необходимое условие в задаче Больца (условие Якоби–Майера–Кнезера) ………………………………88Глава 10НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ЗАДАЧАХС РАЗРЫВНЫМИ ФАЗОВЫМИ КООРДИНАТАМИ …………….909.3.9.4.9.5.10.1.Краткая формулировка задачи …………………………….9010.2.Необходимые условия оптимальности ……………………91Глава 11ЗАДАЧА ЛАГРАНЖА И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ …….9411.1.Принцип Лагранжа для задачи Лагранжа ………………...9411.2.Принцип максимума в форме Лагранжа ………………….96ЗАКЛЮЧЕНИЕ ………………………………………………………100СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ……………………………………………102.