Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу

Г.И,Архипов В.А,Садовничий В.Н.Чубариков ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АЦИ3У Рекомендовано Министерством общею и профессионального образования Российской Федерации в качестве учебника длл студентов университетов и педагогических вузов (а) Москва «Высшая школа» 1999 УДК 517 БГ>К 22.161 А87 ФедеРальная целевая программа книгоиздания России Рецензент: академик РАН С.М. Никольский (МИАН им, В.А. Стеклова) Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н.

А87 Лекции по математическому анализу.: Учебник для университетов и пед. вузов / Под ред. В, А. Садовничего — Мс Высш. шк. 1999. — 695 с. 1ВВХ 5-06-003596-4 Книга явлнется учебником по курсу математического анализа и посвящена дифференциальному и интегральному исчислениям функций одной и нескольких переменных В ее основу положены лекции, прочитанные авторами на механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова. В учебнике предложен новый подход к изложению ряда основных понятий и теорем анализа, а такяге и к самому содержанию курса.

Длн студентов университетов, педагогических вузов и вузов з углубленным изучением математики. Ос Издательство "Высшая школа', Р999 1КВХ 5-06-003596 — 4 ПРЕДИСЛОВИЕ В России исторически сложилось так, что представление об образования включает в себя органичное единство школы как системы приобретения знаний, фундаментальной науки как показателя уровня подготовки специалистов и гуманитарной культуры как основы духовного богатства человека. Формулируя задачи образования, академик А.

Н. Крылов говорил: "Школа не может дать вполне законченного знания; главная зацача школы — дать общее развитие, дать необходимые навыки, одним словом... главная задача школы — научить учиться, н для. того, кто в школе научится учьчльсл, практическая деятельность всю его жизнь будет наилучшей школой." Отметим, что особенность отечественной школы состоит в сочетании четкости рассуждений с глубиной содержания и простотой, доступностью, конкретностью изложения материала, которые всегда предпочитаются формальным конструкциям. Практическое воплощение данных идей подразумевает наличие высококвалифицированных и творчески мыслящих преподавателей.

Математическое образование и математическая культура составляют стержень научного знания и значение математики как основы фундаментальных исследований постоянно возрастает. Для решения этих задач требуются учебники, отражающие в определенной полноте современное состояние исследований и мировоззренческие принципы данной области науки. Предлагаемые к публикации избранные учебники по математике реализуют указанный выше подход.

Они написаны, в основном, профессорами Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. Книга Г. И. Архипова, В. А. Садовничего, В. Н. Чубарикова "Лекции по математическому анализу" является учебником' по курсу математического анализа и посвящена дифференциальному и интегральному исчислениям функций одной и нескольких переменных. В ее основу положены лекции, прочитанные авторами на механико- математическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова. В учебнике предложен новый подход к изложению ряда основных понятий и теорем анализа, а также и к самому содержанию курса.

Она доступна широкому кругу читателей, а первая ее часть может быть использована при изучении ряда тем по алгебре и началам математического анализа в математических школах. Предполагается также издать учебники И. М. Виноградова "Элементы высшей математики (Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление. Основы теории чисел)", И. И. Привалова "Введение в теорию функций комплексного переменного", В. А. Садовничего "Теория операторов", С. Б.

Гашкова, В. Н. Чубарикова "Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений" и др. Надеюсь, что данные книги положат начало новой серии базовых учебников по высшей математике для вузов с повышенным уровнем математической подготовки. Кроме практической ценности эта серия призвана подвести некоторые итоги работы российских ученых и педагогов-математиков по созданию базовых учебников по математике на рубеже второго и третьего тысячелетий. Серия не ограничивается указанными книгами. В дальнейшем предполагается продолжить отбор и издание как современных, так и классических учебников, которые отвечают изложенной выше концепции, не потеряли своей новизны и актуальности и пользуются заслуженной популярностью и авторитетом у студентов и педагогов.

Академик Российской академии наук В. А. Садоеничий ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Фз'НКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Изложение предмета математического анализа ставит задачу определения содержания курса в объеме, допускающем усвоение аудиторией основных его элементов.

Многое здесь зависит от формы, в которой преподносится материал курса, поскольку слово, идущее от ощущений к представлениям, от представлений к понятиям, от понятий к суждениям, от суждений к умозаключениям будет гораздо интереснее, доступнее и удобнее для восприятия, чем изложение, опирающееся на сухие суждения и отвлеченные умозаключения. В основу данной части книги положены лекции первого иэ четырех семестров основного курса математического анализа, читаемого авторами в течение последних лет на механико-математическом факультете Московского государственного университета им, М. В.

Ломоносова. Ее содержание охватывает дифференциальное исчисление функций одной переменной. Следует обратить внимание на существенное различие между стилем изложения в учебнике и конспекте лекций. Дело в том, что в учебнике, как правило, доказательство утверждений подготавливается предварительными разъяснениями и примерами, в то время как конспект, в основном, включает в себя формулировки и докззательства. В связи с этим при подготовке курса лекций среди прочих решается и задача выделения необходимого минимума сопутствующего материала, обеспечивающего усвоение основного содержания. Мы стремились соединить доступность изложения, свойственную учебнику, с краткостью конспекта.

С математического анализа как учебной дисциплины начинается процесс обучения высшей математике в вузе. Обилие и сложность новых понятий при этом часто подавляют творческое восприятие содержания курса. Для того чтобы правильно сориентировать читателя, мы сознательно допускаем определенную категоричность суждений, имея в виду, что в процессе обучения он сам разберется во всем многообразии связей между различными аспектами предмета. .

Преподавание математического анализа в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова подчинено особым требованиям, обусловленным необходимостью подготовки высококвалифицированных специалистов, способных в будущем не только получать новые научные результаты, но и в значительной степени определять мировое развитие математики. В силу этого курс математического анализа, как основа всего математического образования, должен характеризоваться широтой охвата материала, строгостью и полнотой доказательств. Он должен учитывать сбвременные тенденции развития математики и в то же время отличаться определенным консерватизмом, продолжая традиции преподавания, которые обеспечивают преемственность в сохранении передовых позиций отечественной математической школы. Курс анализа также призван подготовить учащихся к восприятию более глубоких математических понятий.

Авторы стремились прежде всего облегчить процесс усвоения знаний за счет доступного изложения и упрощения доказательств. Здесь следует заметить, что краткость доказательства не всегда говорит о его простоте. Иногда более короткое доказательство бывает малодоступно и, по существу, затрудняет усвоение материала. В то же время, мы исходим из того, что доказательство утверждений и примеры должны отличаться живостью, интересом, убедительностью и особенно краткостью. Для более краткой записи рассуждений и утверждений часто используют символику кванторов. Однако она затрудняет непосредственное восприятие материала и ограничивает возможность следить за логикой рассуждений. Мы стараемся не злоупотреблять этой символикой, чтобы упростить сопоставление отвлеченных понятий со сходными явлениями из внешнего, доступного нашим чувствам, мира, сделать понятия более наглядными.

Обратим внимание еще на одно обстоятельство. Первые лекции по каждому из предметов, с которых начинается преподавание высшей математики на первом курсе университета (как правило, это математический анализ, алгебра и аналитическая геометрия), бывают посвящены изложению основ теории множеств. Подобный параллелизм создает у части студентов неверное впечатление о предмете математики в целом и затрудняет восприятие материала. К тому же положение усугубляется непривычной абстрактностью этих новых понятий. К сожалению, выделение их в рамки одного предмета представляется нецелесообразным, поскольку в каждой дисциплине факты из теории множеств приводятся в расчете на излагаемый материал.

Обычно в той или иной форме на эту особенность обращается внимание. Мы выражаем глубокую благодарность Ф. М. Малышеву и А. М. Полосуеву за многочисленные полезные замечания по содержанию первой части книги. Глава 1 ВВЕДЕНИЕ Лекция 1 1 1. МНОЖЕСТВА. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ. ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ. ОТОБРАЖЕНИЯ И ФУНКЦИИ Мы приступаем к изучению курса математического анализа. Под термином "математический анализ" подразумевается прежде всего дифференциальное и интегральное исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницем в ХУП в., хотя некоторые основные понятия анализа сформировались гораздо раньше.