И.В. Митин, В.С. Русаков - Анализ и обработка экспериментальных данных, страница 6

У.2.г) зто не так. Отметим, что в настоящее время существуют иные подходы к вопросам анализа и интерпретации данных, в которых ставится непосредственно задача получения максимально близких оценок параметров, однако, они уступают МНК В простоте и наглядности.

Пример (продолжение). Студент Сидоров провел несколько серий из в=.4 прямых измерений для И=20, 30, 40, 50 периодов колебаний и получил следующие результаты: Х=20 гго, = 93 2 93 7 93.4, 92.9, 93.0 (с) Я=30 Гзо, = 139 8~ 139.4 140.2, 139.6, 139.9 (с) Я=40 14о;= 186.4, 186.1, 186.8, 186.3, 186.8 (с) )Ч=50 гзо,'= 233 0 233 4 232.7, 233.1, 232.7 (с) Для каждой серии студент вычислил среднее арифметическое (1) и выборочное стандартное отклонение (2): И=20 тго= 93.24 с Бз го = 0.144 с тзо= 139.78 с Ягзо= 0.136 с 1Ч=40 гщ= 186.48 с 81 = 0.132 с Я=50 тзо= 232.98 с Б;зо= 0.139 с Оценки систематической погрешности (15) для каждого из срсдних гн дают одинаковый результат (как у Иванова и Петрова), Я=30 имеющее вид. 1„=1.(Н,т) = 74 т, )ч=20,30,40,50, является уравнением пропорциональной зависимости (36), в котором значения 11ч;) известны точно, дисперсии для 11н~ одинаковы и известны Применяя формулы (39-40), Сидоров получил следующие оценки: т.е.

о-„„= о„=О.Зс. Далее Сидоров заметил, что систематическая погрешность для каждой серии примерно в три раза превышает случайную, и сделал вывод, что можно положить о„.„н а; н = о,, т.е. оценки суммарных погрешностей (17) средних для каждой серии можно считать одинаковыми. Полученные результаты Сидоров решил обработать методом наименьших квадратов.

Уравнение совместных измерений, Т = 4.66044 с Б. = 0.0041 с Для а=0.95 коэффициент Чебышева у„— 4.47, в итоге для доверительного интервала (25) имеем Ь-. = т 8- =- 4.47 0.0041 т ' т =0.01 82 (с), и окончательно студент Сидоров представил следующий результат: Т = 4.66 + 0.02 с, коэффициент доверия а=0.95. Для проверки состоятельности модели Сидоров на координатной плоскости Х и г нанес экспериментальные точки (,г Н;,1;) и гюстроил график пропорциональной зависимости = Х; Т с использованием найденной с помощью МНК оценки Т. Затем он вычислил по формуле (50) значение коэффициента корреляции и получил значение г>0.99, что свидетельствует о хорошем соответствии модели и результатов эксперимента.

Далее он нашел значение функционала 7 (я) и получил число, меньшее 1, хотя число степеней свободы равно 4-1=-3. Отсюда он сделал вывод (п.Ч.З.З), что оценка дисперсии о, = о, завышена, что и не удивительно, так как основной вклад в оценку погрешности дает систематическая погрешность. В заключении заметим, что результаты, полученные Петровым и Сидоровым, практически одинаковы, что обьясняется тем фактом, что основной вклад в погрешность вносит систематическая погрешность, не зависящая от числа измерений. Можно сделать вывод, что Сидорову следовало бы сначала получить искомые оценки по результатам одной серии, и, если результат достаточно точен, прекратить измерения, В итоге следует признать стратегию Петрова наиболее правильной, стратегию Иванова - недостаточной и стратегию Сидорова - избыточной.

4. Краткая сводка правил по обработке результатов совместных измерений 1. При подготовке к проведению измерений необходимо решить: требует ли поставленная задача проведения совместных измерений с последуя>щим применением МНК? Как правило, совместные измерения необходимы в том случае, когда исследователя интересуют возможные зависимости физических величин от целенаправленно изменяемых условий опыта. Если ответ на поставленный вопрос положительный, то следует продумать порядок проведения совместных измерений для получения максимально точных результатов. 2.

После проведения прямых измерений и анализа погрешностей решить, какая из измеряемых величин будет выбрана в качестве переменной х, а какая - в качестве у, Для этого следует рассчитать отношения наибольших стандартных откпонений суммарных погрешностей измеряемых величин к соответствующим диапазонам изменений этих величин в данной серии совместных измерений. Затем в качестве переменной х щйрдъ ту из величин, для которой это отношение будет существенно меньшим.

3. В соответствии со сделанным выбором записать уравнение совместных измерений и решить, к какому из разобранных выше типов (п.Ч.2) оно относптся. Если уравнение требует линеаризации (п.Ч.2.г), то, сделав соответствующие замены переменных, пересчитать оценки погрешностей. 4. Дальнейший порядок действий зависит от соотношения оценок погрешностей (о„~ для различных измерений. Если полученные оценки погрешностей (о„,~ существенно отличаются друг от друга, то для получения оценок параметров и их погрешностей следует (в зависимости от вида уравнения) использовать формулы (29)-(30) или (37)-(38) или (44)-(45), в которых (о; ~ = (о Если оценки погрешностей (о„~ примерно одинаковы, т.е. не зависят от номера измерения, то можно использовать формулы (31)-(32) или (39)-(40) или (46)-(47) для одинаковой дисперсии, в которых (ос~~ = (о~ ~, 1= 1,2,...п. 41 Если по какой либо причине расч ет погрешностсн невозможен, но есть основания полагать, что , что они одинаковы, то следует использовать формулы (31),(35) или (39),(41) или (4б),(47) с учетом (49).

Отметим, что такой способ ра со расчета дает представление о реальной погрешности определения значен чении параметров в предположении соответствия эксперименталь ных данных и используемой модели. 5. и Проверить соответствие эксперименталь ьных данных и полученных результатов, для чего обязатсль тельно следует построить график, и желательно рассчитать коэффицие иент корреляции г (для пропорциональной и линейной зависимосте" остен' по ормуле ( 0) или значение ь ион функц ала «хи-квадрат» по соответствующим формулам. б. Выбрав коэффициент доверия а, провести необходимые расчеты доверительных интервалов по форм 25 ормуле и записать полученные результаты (см. ниже разд.Ч1). Ч1.

Оформление результатов измерений Главные требования к форме предст авления результатов измерений„ их обработки и анализа - однозначн ность, полнота и наглядность. Результаты экспериментальных и сследований должны быть оформлены студентом в лабораторно м журнале для физического практикума в виде закон й, кончснно, целостной исследовательской работы. Оформленная лабораторная работа, ка как правило, должна состоять пз четырех основных частей: 1) вводная часть.

2) результаты прямых измерений 3) анализ и обработка результатов прямых измерений; 41 ) окончательные результаты обработки и выводы. Вводное ь должна содержать в себе наименование работы„ краткое описание метода исследования, основ , основных узлов установки и используемых и и этом р . приборов. В качестве необходимых элементов вводной части должен быль схематичный чертеж, рисунок или схема с соответствующими пояснениями, наглядно и кратко поясняющие идею примененного метода, а также расчетные формулы с обозначениями физических величин, встречающихся в задаче.

Во второй части приводятся результаты прямых измерений с указанием условий измерений. Для всех физических величин должны быль приведены единицы измерения. Результаты всех измерений должны заносится сразу в журнал (без использования черновиков) ручкой (а не карандашом) в систематизированном виде (например в виде таблиц) Й тратьей части фиксируется вся последовательность анализа и обработки полученных данных, содержащая как расчетные формулы, так и величины, используемые прн расчетах. Для каждой косвенно определяемой физической величины необходимо сначала привести расчетную формулу, затем значения физических величин, подставляемых в нее и, наконец, результат вычислений. Если промежуточные результаты вычислений важны для дальнейшего анализа, то и их необходимо привести.

Для наглядности и контроля результатов обработки и анализа необходимо графическое изображение полученных зависимостей физических величин. График должен иметь заголовок, указывающий, какая зависимость на нем нанесена. Масштаб на графике выбирается так, чтобы изображаемые данные занимали практически все поле чертежа. На каждой из осей должны быль метки с указанием числовых значений.

Вдоль осей следует написать наименования физических величин, их обозначение и единицы измерения. На графиках экспериментально полученные точки изображаются в виде простейших геометрических фигур (кружков, треугольников, квадратов, ромбов и т.д.) небольшого размера. Каждая отдельная серия измерений должна отличаться изображением экспериментальных точек. Желательно указать для каждой экспериментальной точки оценку ошибок соответствующих ~еличин в виде вертикальных и горизонтальных отрезков по обе тороны точек длиною в стандартнос отклонение или доверительный интервал. Кроме экспериментальных точек„на ,рафике обычно приводится кривая, «проходящая» через эти точки и отвечающая законам физики или модельным представлениям, в рЫках которых проводится анализ полученных результатов (еслн не используется конкретная физическая модель, то кривая проводится как результат интерполяции данных).

В четдещдй чван необходимо привести результаты анализа и обработки в виде значений искомых физических величин с )чсззанием стандартных отклонений или доверительных интервалов с„гучайных и систематических потрешностей и основные выводы, сделанные по существу выполненной работы. При записи значений искомых величин и их доверительных интервалов (или стандартных отклонений) необходимо провести правильное е е ез льтатов вычислений. Важно при этом, с одной стороны, не внести погрешность округления, сравнимую или превышающую другие погрешности, а с другой - оставить только достоверные значащие цифры.

Округление значения физической величины проводится с учетом найденного значения стандартного отклонения. Необходимо руководствоваться при этом следующими правилами: число значащих цифр у стандартных отклонений (доверительных интервалов) не должно превышать двух; - последняя значащая цифра значения искомой физической вег7ичины должна соответствовать последней значащей цифРе ста.ндартного отклонения (доверительного интервала).