И.В. Митин, В.С. Русаков - Анализ и обработка экспериментальных данных, страница 2

и т это составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или изменяющаяся закономерно на протяжении серии измерений прн одних и тех же контролируемых условиях. Систематическая погрешность обусловлена главным образом погрешностями средств измерений и несовершенством методов измерений (в том числе используемых моделей). Неизбежное абстрагирование (выбор модели процесса, явления или изучаемой системы) в процессе измерения является одним из факторов возникновения систематической погрешности. Таким образом, эта погрешность всегда существует при любом измерении, 2.

Классификация систематических погрешностей по причине возникновения П ь (инструментальная погрешность, погрешность средств измерений) — погрешность, обусловленная принципиальным несовершенством технических средств, используемых при измерении. Причина возникновения несовершенство реальных материалов, невозможность устранения вредных помех, технологическое и физическое (из-за вынужденного использования приближений при выборе принципа работы прибора) несовершенство прибора. Примерки а) неточная установка прибора на нуль перед измерением; б) секундомер, используемый при измерениях, отстает или спешит. Пядяшнпа~ь пкругллания - систематическая погрешность, обусловленная считыванием результата с конечным числом значащих цифр на цифровых приборах и округлением по шкале стрелочных приборов. Нередко погрешность округления относят к случайным погрешностям, объясняя это тем, что при многократных измерениях результат можно округлить как в большую, так и в меньшую сторону.

Однако, если бы при проведении измерений случайные погрешности отсутствовали, прибор всегда показывал бы одно и то же значение, и результат округлялся бы всегда также до одного и того же значения. Пйгййшипяхь мвиив - погрешность, вызванная несовершенством применяемого при измерении метода.

Причина- метод, положенный в основу любого процесса измерения, лишь с какой-то степенью точности правильно отображает истинное положение вещей. Любой метод зиждется на принципиально необходимом абстрагировании Реальной ситуации, т.е. на введении в рассмотрение моделей.

Пример: в используемой математической модели эксперимента не учитывается наличие сил трения и сопротивления воздуха, упругих свойств тел и др. ЯГбьактн видя ппхааулность - систематическая погрешность, связанная с участием человека в процессе измерений, что приводит к искажению получаемого результата. Отметим, что субьективная погрешность содержит и случайную составляющую, которую можно оценить по результатам многократных измерений. К систематической составляющей субъективной погрешности можно отнести, например, наличие временной задержки при фиксации человеком длительности временного интервала с помощью секундомера.

Пцгрешна~ вычислений — погрешность, связанная с представлением чисел в процессе вычислений конечным числом значащих цифр. В связи с применением современных вычислительных средств этой ошибкой по сравнению с другими систематическими погрешностями, как правило, можно пренебречь. Грубые ощип (промахи) - ошибки, обусловленные неисправностью средств измерений, неправильным считыванием результата, резкими не учтенными изменениями условий измерений, результатом просчета. Такие ошибки исправляют при более тщательном повторении опытов нли расчетов. Увеличением числа измерений нельзя исключить систематическую погрешность.

Систематическую погрешность уменьшают введением поправок (обычно в виде дополнительных слагаемых или множителей) после изучения источников погрешностей и их выявления. Наиболее действенный способ обнаружения систематических погрешностей, связанных с методом измерения, — это сравнение результатов измерения одной и той же величины, полученных принципиально разными методами. Полностью исключить систематическую погрешность нельзя, так как, с одной стороны, сами эталонные приборы обладают погрешностью, а с другой, любой принцип, заложенный при конструировании прибора, не является абсолютно строгим. '1Ч.

Краткая сводка правил обработки результатов прямых и косвенных измерений 1. Прямые измерения Пусть в результате серии нрямых незавнснмых измерений физической величины х, проведенных нрн одних и тех же условнях, получили некоторый набор (выборку) из и значений: хпхз,...,х„. За оценку Я истинного значения измеряемой величины х принимается вы о очн е х (среднее арифметическое по данной выборке): х=х= — , 'х,. и (1) и,, Для оценки погрешности среднего арифметического х рассмотрим отдельно случайную и систематическую составляющие. а.

Случайные погрешности В качестве оценки случайной погрешности среднего значения х принимается вы6ацозюе ага и арифмехич~кпга (среднеквадратичная погрешность среднего арифметического): и Бя = ).,Г(х, — х) 1.—.! Далее вычисляется доверительный интервал Ь,„для случайной погрешности среднего арифметического значения х: (3) т т для выбранного исследователем где 1„„п -к значения вероятности а - квдффиднадщ 1щверщ. Значения коэффициента Стьюдента 1„„, при различных коэффициентах доверия а и объема выборки и см. табл.1 Приложения. Смысл доверительного интервала Л„„заключается в следующем: можно утверждать, что истинное значение физической величины х лежит в интервале [х — Ь„, х+ Л,„) с заданной вероятностью а.

Чем больше коэффициент доверия я, тем больше значение коэффициента Стьюдента 1„„,, а, следовательно, и доверительного интервала а„. Отметим, что коэффициент к выбирается самостоятельно и может принимать любые значения от нуля до единицы, но обычно принято выбирать а-0.9-0.95.

Вычисление доверительного интервала л„следует проводить только в случае, когда консчной целью проведения измерений является оценивание прямо измеряемой величины. Если же прямые измерения проводятся лишь с целью дальнейшего использования = 0.08с. стандартное отклонение Бг = (2а) где Я„= б. Систематические погрешности (4) 1О результатов измерений для оценивания какой-либо косвенно измеряемой величины, то и доверительный интервал надо будет вычислять только для этой косвенно измеряемой величины (см.

и. 1У.2), Дадим некоторое пояснение к формуле (2). Запишем ее в виде. — выборочное стандартное отклонение для результата агдадьпого измерения. В математической статистике показывается, что с увеличением числа измерений (или, как принято говорить, объвмв дьй1ойш и) Б„стремится к константе, называемой афпг, или среднеквадратичной погрешностью измерения, и обычно обозначаемой о.

Величина Б х является оценкой а, полученной по выборке объема и, поэтому в название величины Б„вводится термин «выборочное». Квадрат стандартного отклонения называют дявпарпией и обозначают о . В свою очередь, можно показать, что выборочное стандартное отклонение среднего арифметического Б-,, в ч'и раз меньше выборочного стандартного отклонения Я„. в итоге появляется формула (2).

Таким образом, случайная погрешность оценки х истинного значения стремится к нулю по мере увеличения числа измерений, и ее можно сделать сколь угодно малой. Пример (продолжеиие). Иванов провел серию из п=5 прямых измерений периода колебаний и получил следующие результаты: г;=4.6, 4.8, 4.5, 4.8, 4.4 (с). Далее он по формуле (1) вычислил среднее арифметическое 1 " 23.1 1 =- —,Г г; = — = 4.62 (с), а по формуле (2) - выборочное Если бы целью Иванова было бы получение оценки периода с учетом только случайной погрешности, то он далее проделал бы следующие вычисления: выбрал значение коэффициента доверия и=0.95, по табл.1 для п=5 нашел значение коэффициента Стьюдента 1 „, = 109з д = 2.78 и определил по формуле (3) доверительный интервал Л,„= 1 „, 81 = 2.78 0.08 = 0.224 (с) Окончательно студент Иванов представил бы следующий результат (без учета систематической погрешности): Т = 4.6 ч- 0.2 с, коэффициент доверия и=0.95 (правила округления результата см.

в разд. У1). Систематические погрешности, остающиеся постоянными или закономерно меняющиеся при повторных измерениях, для экспериментатора выступают как своеобразные "случайные" величины, но не по характеру проявления, а в силу их неизвестности. Следовательно, систематические погрешности, также как и случайные, удобно оценивать с помощью стандартных отклонений. Пагввппщжь прибора. Погрешность прибора характеризуется недельной (максимально допустимой для данного класса приборов) пвдкшпагтью Л„г,д. Если значение Ллгдд известно, то значение атвидвртвого атдланвния о„,„для оценивания погрешности прибора приближенно равно дрдд '-~д 3 Для определения предельной погрешности прибора необходимо знать и вя 7 (выраженный в процентах) - обобщенную метрологическую характеристику, определяющую гарантированные границы значений погрешности прибора.

Значение предельной погрешности прибора устанавливается четырьмя различными способами в зависимости от характера погрешности. 1. При мультипди~ищгвиом характере погрешности прибора, когда абсолютная погрешность возрастает пропорционально значению измеряемой величины, Л = — "—.х, У» 100 (5) где у,„- класс точности прибора; х - результат измерения. 2. При вдвмтивипщ характере погрешности прибора, когда абсолютная погрешность во всем диапазоне измерений ограничена постоянным пределом, а = — '»»" х„, У»»» "' " 100 (б) отметка находится посередине шкалы.

3. При квмбинивцваннам характере погрешности прибора (одновременно и мультипликативном, и аддитивном) Л =" х+ — "х (7) 1ОО 1ОО где 7» и Уа - класс точности пРибоРа длЯ конца и начала диапазона измерений, соответственно; х - результат измерения; х„ - верхний предел диапазона. Таким образом, предельная погрешность прибора где 7 „- класс точности прибора; х„- нормирующее значение измеряемой величины, которое для приборов с равномерной и степенной шкалой равно либо верхнему пределу диапазона измерений, если нулевая отметка находится на краю или вне шкалы, либо протяженности диапазона измерений, если нулевая линейно возрастает от Л = .

х в начале диапазона (при У» 100 х=о) до Ь = — '" х„в конце диапазона (при х=-х„). 100 4. Для приборов с резко неравномерной шкалой Л„= к(х) — 1, 100 (8) где 1 - длина шкалы, выраженная в миллиметрах, 8(х) коэффициент пересчета, равный отношению цены деления в месте значения величины х к длине этого деления (в мм). Класс точности прибора указывается обычно на его лицевой панели. В случае мультипликативного характера погрешности прибора значение класса точности ум обводится кружком. В случае аддитивного характера погрешности прибора класс точности 7 указывается без каких-либо дополнительных линий (таких приборов большинство). В случае комбинированного характера погрешности прибора класс точности указывается в виде дроби г /7„.