И.В. Митин, В.С. Русаков - Анализ и обработка экспериментальных данных, страница 3

В случае приборов с резко неравномерной шкалой класс точности прибора 7 указывается на шкале в виде числа, подчеркнутого уголком. Цюимеры, 1. На лицевой панели амперметра нанесено 2.5, обведенное кружком, - погрешность мультипликативная. Если при измерении тока получено значение 75 мА, то предельная погрешность вычисляется по формуле (5): Л = — .

75мА = 1.875мА, 2.5 100 а значение стандартного отклонения для прибора — по формуле (4): о „б = ' мА = О.б25 мА. 1.875 »» б 2. На лицевой панели вольтметра указано 2.0/2.5 погрешность комбинированная. Если при измерении напряжения на шкале 0-100 В получено значение б7 В, то по формуле (7) предельная погрешность 12 Л„, = .' — — ' . 67В+ - — '.100В = 2.335В 2.5 - 2.0 2.0 100 100 и а,„„в= — ' В=0778В. 2.335 3.

На лицевой панели омметра указано 1.0, подчеркнутое уголком, - шкала прибора неравномерная. Если при измерении сопротивления стрелка прибора остановилась между делениями 100 и 200 Ом (длина всей шкалы, измеренная линейкой - 80мм, расстояние между указанными делениями — 2мм), то предельная (200 -100) Ом 1.0 погрешность (8) равна л, = — — -- ' — '.80мм = 40 Ом и 'Р'ю 2мм 100 О м 40 Ом 3 В последнее время широкое применение находят электронные циф8ювыв многодиапазонные приборы, погрешность которых обьгчно является комбинированной и зависит от выбранного диапазона измерений.

Поэтому для них не принято указывать единое значение класса точности, а правило расчета погрешностей приводится в техническом паспорте. 11ифровые приборы обладают высокой точностью, поэтому в условиях учебной лаборатории (если данные из паспорта не приведены в описании к установке) для оценки предельной погрешности предлагается пользоваться эмпирической формулой для комбинированной погрешности, в которой ун=О.! и у„=0.2, т.е. Л„д = 0.001. х-> 0.001 х„, (9) или формулой Ь„г„„= 0.001.

х+1 мл.ед., (9а) где х - результат измерения; х„- значение верхнего предела диапазона измерений, 1 мл.ед. - значение младшего разряда прибора. Здесь значения коэффициентов у„н у„выбраны как результат обобщения данных из паспортов приборов, обычно используемых в учебных лабораториях. Из формул (9) и (9а) следует выбирать ту, которая даст большсс значение погрешности. Для электронных твймевпв (измерителей временных интервалов) не существует верхнего предела диапазона измерений, и для расчета погрешности (при отсутствии паспортных данных)' предлагается использовать формулу.

а„, „= 0.00~! х + 1 мл. ед., (10) где 1 мл.ед. - значение младшего разряда таймера; х - результат измерения. Аналогичную формулу можно использовать и для ручньгх свкундо марция Л„, = 0.001 х+ ы где и — цена наименьшего деления секундомера; х - результат измерения. Примеры.

При измерении напряжения на цифровом приборе получено значение 33.53 В на шкале 60 В, тогда предельная погрешность, определяемая по формуле (9), дает: л„ „ = 0.001 33.53 В + 0.001 60 В = 0.09353 В, а по формуле (9а): Л„р,л О 001 33 53 В.~- 0 01 В - О 04353 В В итоге имеем: „,. = ' В= 0.03178 В. 3 2. При измерении временного интервала на цифровой панели прибора получено значение 32.753 с, тогда предельная погрешность определяется по формуле (10): Ь„~, = 0.0001 32.753 с + 0.001 с = 0.00428 с и а м = ' — с = 0.00143 с .

0.00428 3 3. При измерении временного интервала с помощью секундомера (цена деления о — -0.1 с) получено значение 32.8 с, тогда предельная погрешность (11) Ь„~,, = 0.001. 32.8 с -~ 0.1 с = 0.1328 с иа „„-= ' с=00443с. 0.1328 3 для мвхвиичращх приборов (линейка, штангенциркуль, микрометр, динамометр и т.п.), к которым нет паспорта, можно считать, что Д„р~р = И (12) где в — цена наименьшего деления прибора (с учетом нониуса). В некоторых из механических приборов (штангенциркуль, микрометр) используется нпииуя — специальное устройство в виде дополнительной подвижной шкалы с делениями, размер которых меньше размера наименьшего деления основной шкалы, что позволяет повысить точность отсчета. Цена наименьшего деления (точность) нониуса да равна разности цены наименьшего деления основной шкалы и цены деления шкалы нониуса.

Для определения точности нониуса необходимо совместить начальный (нулевой) штрих нониуса с каким-либо штрихом основной шкалы (будем его также называть нулевым). При этом к-й штрих на шкале нониуса совпадет с (к-1)-м штрихом на основной шкале. Тогда точность нониуса дсо определяется в зависимости от цены деления основной шкалы а по формуле Обычно для штангенциркуля цена наименьшего деления основной шкалы а составляет 1 мм, а цена деления шкалы нониуса - 0.9 мм, в этом случае 10-й штрих нониуса совпадет с 9-м штрихом основной шкалы, т.е. точность нониуса дв равна 0.1 мм.

Отсчет по шкале, снабженной нониусом, осуществляется следующим образом. Если начальный штрих нониуса точно совпадает с каким-либо штрихом основной шкалы, то измеряемое значение соответствует этому значению на основной шкале. Если начальный штрих ион иуса попадает между двумя штрихами основной шкалы, то надо сначала определить, какой из штрихов нониуса совпадает с одним из штрихов основной шкалы (например, пусть совпадает ~п-й штрих ноннуса).

Тогда измеряемое значение 16 будет Равно отсчету, соответствующему меньшему из двух штрихов на основной шкале, сложенному с произведением д,р щ, Пример. При измерении диаметра шара с помощью штангенциркуля, для которого де=0 1 мм, нУлевое деление нониуса оказалось между делениями 12 и 13 мм на основной шкале, а 6-й штрих нониуса совпал с одним из делений основной шкалы.

Тогда искомый диаметр будет равен 12 мм + дм 6 = 12.6 мм, а предельная погрешность д, = дгр = 0.1 мм . ПОгрЫиИьть~кругдян~щ, Значение стандартного отклонения для оценивания погрешности округления вычисляется по формуле сокр (13) где и - цена деления прибора с учетом нониуса. Субмкгнвидя вохра азволь. При измерении интервалов времени с использованием ручного секундомера субъективная погрешность учитывается введением оценки стандартного отклонения а„е = 0.3с, ПшрешвюсХЬ Мьтйдв, Систематическая погрешность метода может быть учтена в результате тщательного анализа модельных представлений, положенных в основу процесса измерений, в виде оценки стандартного отклонения о.„„.

Суммарная сняхвматнзеская ппгвешщкхь о,„в предположении о независимости возникновения ее составляющих может быть найдена по формуле сисг (15) Дяверйгядьныи интурвввд для систематическои погрешности равен СРСТ К СИСОЙ (16) 1 где у„= —,— - кцэФя>идивнх Чмбышевв (аналог коэффициента ~1 — а Стьюдента, используемого для оценки доверительного интервала (11): для п отреши ость отклонение погрешности (15). (18) имеем: + о2 ж о, =0.3с.

Осмсс 19 18 для случайных погрешностей). Значения коэффициента Чебышева тм при различных коэффициентах доверия и см, в табл.2 Приложения. Пример (продолжеиие). Оценивание систематической погрешности, проведенное студентом Ивановым, дало следующие результаты: для секундомера предельная Л„у„= 0.001.1+ оу = а =0.1с, стандартное погрешности прибора о „в =0.033с; — стандартное отклонение для погрешности округления (13): о,„, = — =0.03с; Д2 - стандартное отклонение для субъективной погрешности (14): а,„в =0.3с; стандартное отклонение для погрешности метода — не определяется. Для оценки итоговой систематической погрешности (15) Если бы целью Иванова было бы получение оценки периода с учетом только систематической погрешности, то он далее проделал бы следующие вычисления: выбрал значение коэффициента доверия о=0.95, по табл.2 нашел значение коэффициента Чебышева 7„=4.47 и определил доверительный интервал (16): Л, = у„а,„„= 4.47.

0.3 м 134 с. Окончательно студент Иванов представил бы следующий результат (с учетом только систематической погрешности): Т = 4.6 ~ 1.3 с, коэффициент доверия у=0.95. в. Суммарные (случайные и систематические) погрешности В предположении о независимости возникновения случайных и систематических погрешностей для величины сщндархппш Откдпнвиияорамарпицй пОЗ01ашпаати выборочного среднего значения х используется следующая формула: о'„м = Б-„-у о„... (17) где Б„- — выборочное стандартное отклонение среднего арифметического (2), о,„,„- оценка суммарной систематической ите вал для суммарной погрешности можно вавшись, как и в формуле (16), посчитать, воспользо коэффициентом Чебышева сумм Ум ссмм ' Как отмечалось выше, с увеличением объема выборки п выборочное стандартное отклонение среднего арифметического Бь 1 стремится к нулю как —, в то время как систематическая составляющая погрешности измерения остается неизменной.

Отсюда можно сделать вывод, что уменьшать величину Ь„- с помощью многократных измерений следует только до тех пор, пока вклад случайной погрешности в общую погрешность не станет меньше вклада от систематических погрешностей. Пример (продолжение). Для оценки суммарной погрешности (17) Иванов проделал следующие вычисления: „= ус',- '.,„-,'с св' ° сз' .с.зц,>; Для выбранното значения а=0.95 коэффициент Чебышева 7„=4.47, доверительный интервал (18) Л,„„м = у, о,„,м = 4.47.

0.31 =1.39 (с). Окончательно студент Иванов представил следующий результат: Т = 4,6 ~- 1.4 с, коэффициент доверия о=0.95. 2. Косвенные измерения ртн ител ное ста (25) ~~сумм Уа сумм Б и (20) (21) о„= сист =0.143с. Затем стандартное отклонение (2) Б; = 21 20 Вывод, который должен сделать студент Иванов: проведение измерений коротких временных интервалов с помощью ручного секундомера приводит к большим относительным погрешностям. Вывод,, который сделает преподаватель, увидев результаты Иванова: Иванов плохо продумал методику проведения измерений, и, несмотря на значительные усилия, затраченные на проведение экспериментов и расчет результатов, не заслуживает оценки выше, чем «удовлетворительно».

а. Общий случай Для уравнения косвенных измерений вида в = г"(х,у,...,г). в качестве ниеиии а истинного значения физической велпчины принимают величину й = Г(х,у,...,й), (19) где х. у.... й — оценки соответствующих прямо измеренных величин (напомним, что если прямые измерения проводились в одинаковых условиях, то оценкой является среднее арифметическое, т.е. х = х н т.д.). Погрешность оценки й можно охарактеризовать с помощью выбранного а н ия би случайных и аащдщГО10Гр атиланения о„систематических ошибок, вычисляемых по формулам: где ( — )' — частная производная от функции а = у"(х. у,...,х), по суу ~0.!.„..

1 переменной х, вычисленная при соответствующих оценках прямо измеряемых величин х, у,..., й. Для оценки относительной погрешности удобно использовать 8„ относителЬНОе стаиднрхнря от1Ьдрнаниир Ьв = — ". й Доверительный интервал как для случайных, так и для систематических погрешностей, может быть рассчитан в общем случае с использованием коэффициента Чебышева у„: Псс = 7и 'Ви~ Л,„„му С„. Для оценки н " и шн и можно использовать такую же формулу, как и для прямых измерений; о,умм = ~~„+о„. (24) Для оценки относительной погрешности удобно использовать ссумм от ие бц = й Вычисление в тельн го и а для аумыщенай ногвешне'„ти ипроводится также с использованием коэффициента Чебышева у„: Пример (продолжение).

Студент Петров провел серию из п=5 прямых измерений Я=50 периодов колебаний и получил следующие результаты: 1;=232.б„233.4, 232.9, 232.8, 233,2 (с). Для нахождения оценок периода колебаний он сначала вычислил среднее арифметическое (1) по всем результатам прямых 1 " 1164.9 с измерений 1 = — ~ 1; = ' = 232.98 с, его выборочное и, ' 5 по формуле косвенных измерений вида Т=1/Х студент нашел б.