И.В. Митин, В.С. Русаков - Анализ и обработка экспериментальных данных

УДК 53.088 Митин И.В., Русаков В.С. АНАЛИЗ И ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ. Учебно-методическое пособие для студентов младших курсов. — М.: Изд-во НЭВЦ ФИПТ. 1998. — 48с. В учебно-методическом пособии изложены основные понятия и методы, используемые при обработке результатов экспериментальных исследований.

Приведена классификация измерений и возникающих при измерениях потрешностей. Дана краткая сводка правил обработки результатов прямьп, косвенных и совместных измерений. Уделено большое внимание наиболее часто используемому в практике обработки результатов совместных измерений методу наименьших квадратов.

Формулирукпся основные требования к оформлению результатов измерений. Пособие предназначено в первую очередь для студентов младших курсов, работающих в общем физическом практикуме. Оно может быть полезно также для студентов старших курсов, дипломников, аспирантов и молодых научных работников, проводящих экспериментальные исследования в научных лабораториях. Данное пособие базируется на курсе лекций по обработке результатов измерений, читаемых авторами с 1994 года для студентов 1-го курса физического факультета Московското государственного университета им. М.ВЛомоносова. Рекомендовано Методическим советом кафедры общей физики физического факультета МГУ в качестве учебно- методического пособия.

© И.В.Митин, В.С.Русаков. Содержание 1. Физическая величина и ее измерение ........,........„., „„.. П. Классификация измерений Ш. Погрешности измерений и их классификация .................... 1. Классификация погрешностей измерения по характеру проявления . 2. Классификация систематических погрешностей по причине возникновения ГУ.

Краткая сводка правил обработки результатов прямых и косвенных измерений 1. Прямые измерения.. а. Случайные погрешности.. б. Систематические погрешности.......................... в. Суммарные (случайные и систематические) погрешности 2. Косвенные измерения. а. Общий случай . б. Частные случаи.. У. Обработка результатов совместных измерений ....... 1. Идея метода наименьших квадратов (МНК)...,.... 2. Примеры применения метода наименьших квадратов ...

а. Объединение результатов различных измерений......... б. Случай пропорциональной зависимости ................ в. Случай линейной зависимости ........,..............,....,... г. Случай нелинейной зависимости, допускающей линеаризацию................................,.......,................... 3. Заключительные замечания о методе наименьших квадратов 4. Краткая сводка правил по обработке результатов совместных измерений..

У1. Оформление рсзультатов измерений ............,................ Приложение . Литература 8 8 9 11 19 20 20 23 25 26 27 27 29 31 34 ,', 36 40 42 47 48 АНАЛИЗ И ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ !. Физическая величина и ее измерение яешк гкскяя величинд - это количественная характеристика явления, процесса или свойства материи (материальных объектов), Каждая физическая величина должна иметь ппра,ШВЫ содержащее однозначный способ экспериментального нахождения или расчета данной физической величины в любой реальной ситуации.

и ть ич н - это означает определить, сколько раз заключается в ней однородная с ней физическая величина, принятая в качестве единицы меры (единицы измерения, меры, единицы). Физические величины называют однородными, если они характеризуют одинаковые свойства материи и отличаются друг от друга только величиной. Вдиницы меры устанавливаются системой единиц измерения. В результате измерения физической величины получается зндчаниа .фнзичеипй млнчнны - именованное число, состоящее из числа и наименования той меры (единицы)„которой была измерена Физическая величина.

Измерение - это, по существу, последовательность экспериментальных и вычислительных операций, осуществляемая с целью нахождения значения Физическол величины. И. Классификация измерений Проведем классификацию измерений физической величины по характеру последовательности осуществляемых при этом операций. Ивямоа измерение, Измерение называется прямым, если значение физической вслнчины определяется либо непосредственным сравнением с мерой, либо при помощи измерительного прибора, дающего сразу значение этой величины. Такая Физическая величина называется прямо измеряемой. Кпавкн~~измевение. Измерение называется косвенным, если искомое значение Физической величины определяется путем расчета по известной зависимости измеряемой величины от прямо измеряемых величин, определяемых при неизменных условиях опыта. Такая Физическая величина называется косвенно измеряемой.

Косвенно измеряемая физическая величина и связана с прямо измеряемыми величинами х,у,...,г с помощью расчетной формулы (уращщще косвенных ищиайший) а = г(х,у,...,г) . Получение расчетной формулы обычно связано с использованием законов физики и модельных представлений. ь~адмеатные ндиаравщь В общем случае функциональная связь между прямо измеряемыми величинами х„у,...,г и величинами и,ч,...„ч, значения которых требуется определить, может иметь произвольный вид, задаваемый уравнением (у-": ''" ) В этом случае для нахождения значений неизвестных величин в,т,...,тг обычно проводятся многократные измерения прямо измеряемых величин х,у,...,г, причем эти измерения осуществляют при изменяющихся условиях опыта. Иными словами, значения одной или нескольких прямо измеряемых величин целенаправленно изменяют от опыта к опыту, щюводя, таким образом, серию из и измерений (х,,у,,...,г,), (хз,у,,...,г~),...,(х„,у,,....г,).

Такие измерения принято называть овме т и. Для случая двух прямо измеряемых величин х и у Функциональную взаимосвязь (уравнеедиесядмаапгых измерений) часто можно представить в виде у = Г(х; п,т,...,в), где ц,ч,...,ю — искомые величины, выступающие в качестве параметров. Обычно результаты совместных измерений для наглядности и контроля правильности обработки'и интерпретации изображают в виде графика зависимости величин х и у друг от друга, Экспериментальная точка иа графике изобразкает результат )-го совместного измерения (х,.у,), Отметим, что.

каждое измерение (х„у,) не обязательно должно быть результатом одного прямого измерения.' оно может быть как результатом обработки серии прямых измерений, так и результатом косвенных измерений. Число совместных измерений (опытов) п в серии должно быль больше или равно числу определяемых величин ш. Величина г=п-ш называется числом степеней свободы при совместных измерениях. Как видим, одна и та же физическая величина может быть прямо или косвенно измеряемой или определяться в результате обработки результатов совместных измерений. Пример (с продолжением); Три студента (Иванов, Петров и Сидоров) получили задание: с помощью секундомера определить период колебаний маятника.

Иванов реи,ил провести прямое измерение: непосредственно измерить время одного полного колебания. Петров решил измерить время ц за которое маятник совершает Х колебаний и рассчитать период цо формуле Т=~/Х. Данная формула является уравнением косвенных измерений, следовательно, Петров проводит косвенные измерения. Сидоров решил последовательно измерить времена ц, гз,..., гы за которое маятник совершает Хп Х2,..., Хх колебаний.

Таким образом, Сидоров целенаправленно изменяет значения одной из прямо измеряемых величин (в данном случае— числа колебаний 1М), проводя серию совместных измерений (Х,,~,), (Мр. С.),..., (Х„, 1„), при этом уравнение совместных измерений имеет вид С =- фч; Т) = Т . М, И1. Погрешности измерений и их классификация Наличие в общем случае большого числа неконтролируемых исследователем факторов приводит к тому, что в результате измерения физической величины возникают ошибки (погрешности). Иными словами, важнейшей особенностью любых измерений является несовпадение результата измерений и истинного значения измеряемой величины. Целью любой математической обработки результатов измерений является получение оценки истинного значения измеряемой величины с минимально возможной погрешностью.

Абсолюти (абсолютная ошибка) измерения Лхотклонение результата измерсния х от истинного значения х„ измеряемой величины: Ьх=х — х„ я и я пдгреш ность (отиосительная ошибка) измерения - отношение абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины: Лх бх = хист Как правило, истинное значение измеряемой физической величины мы не знаем и никогда не узнаем, а значит и погрешность измерения мы не знаем и никогда не узнаем.

Однако погрешность измерения можно охарактеризовать и оценить. т. Классификация поарешностей измерения по характеру проявления Случайная пргре шипеть - это составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом в данной серии измерений, проведенных при одних и тех же контролируемых условиях. Случайная погрешность возникает как результат совместного влияния различных случайных, меняющихся от измерения к измерению, не контролируемых нами факторов, влияющих на процесс измерения. Случайная ' погрешность оценивается по результатам многократных измерений, проводимых при неизменных условиях, методами математической статистики. Влияние случайной погрешности на оценку истинного значения измеряемой величины можно уменьшить многократным повторением измерения.