И.В. Митин, В.С. Русаков - Анализ и обработка экспериментальных данных (1108612), страница 5
Текст из файла (страница 5)
28 29 упрощаются: п ,Г х;у; а= — —, Я-= —, !=! 2 ор и а и 2х2 ,') х,' !=! 2=! Если дисперсии (ар ! прямо измеряемых величин (у;) ( 21 ал"н — -:".и.л наи ~, ф р у а д ц ! остается той же (39). Что касается оценки дисперсии 87, то она находится по приведенной выше формуле (40), где вместо дисперсии о2р используется ее оценка а~р. Эта оценка может быть найдена, как отмечалось выше в п.'!!.2.а, из условия равенства функционала Х (а) числу степеней свободы п-т, т.е. (39-40) Из условия минимума функционала х2(а) по параметру а имеем а= '=' (37) Если теперь представить оценку а как косвенно измеряемую величину, выражаемую уравнением косвенных измерений (37) через прямо измеряемые величины (у;) с дисперсиями (о; ~, то оценка дисперсии величины а находится по формуле (20) и будет равна 2 1 (38) ; !о; В случае одинадцвьж по величине дисперсий (о!~ = (о„~ для всех прямо измеряемых величин (у; ) формулы несколько 2 ) (у; — а х;) х Я=2.( ' .
) в-т Приведем формулу для расчета дисперсии величины а в этом случае: (41) проверить состоятельность модели. в. Случай линейной зависимости Пусть (х;; уьа;)- совокупность результатов и независимых измерений (х,, у,), (хр. у!), ..., (х;, у;), связанных уравнением совместных измерений вида у = 2(х, а, Ь) = а х !- Ь, (42) где а и Ь вЂ” константы, значения которых необходимо оценить.
В соответствии с методом наименьших квадратов функционал х (а, Ь) будет выглядеть следующим образом Х'(а,Ь) Ч~;~У -' '- ~ (43) !=! Из условия минимума функционала Х2(а, Ь) запишем систему уравнений для нахождения двух неизвестных а и Ь: дХ2(а, Ь) дХ2(а, Ь) да ' СЪ После простых преобразований эта система превращается в систему линейных уравнений: Как и в п.У.2.а, отметим, по, зная значения стандартного отклонения (о;) и вычисляя значение функционала х2(а), можно ! ЗО п 2 'Х вЂ” '~ ; !о; Введя обозначения х; ; !а; -Ь ,') —, ; 1о; п х; у, о; ,)о,' может быль найдена из условия у~(а,Ь)= , '„=и — 2 (48) и, следовательно, и .
2 6 ---) о ор = и — 2 (49) (45) х = '=' и л ,Г, (х; — х) Й(" -"и '- )1 и л ",)".(у - у)' Вг 1=1 и-1 Й(" -") ( — )! (50) (и — 1) 8, . Яа ,Г хг 82 2 1=1 ь и Ва = "р ' — ° Л (47) 32 33 п 1,1 о;; 1о,;.!о; 1,ог 1,1о! 1!о;;1а; 1! аг запишем результат решения зтои системы '~а аа а= — ', Ь ь (44) Для оценок дисперсий найденных величин можно полу 1 л 2 ь — — — дисперсий ~ор) для всех прямо измеРяемых величин (у1) формулы несколько упроща я; = '"-Ф~ п и п Ла =- И-~~~ Х! У; — ~ Хг "> У,, 1=! 1=! ! 1 и и л и еЬ = ~, Х; ~~' Уг — ~ Х; ) Х; У1, 1--! 1=1 1=1 ~-'~а - Ь„ а= — ', Ь= —" (4б) Если дисперсии (ор) прямо измеряемых величин одинаковы гг н нензв!гстны, то формулы для нахождения параметров а и Ь остаются теми же (4б), так как от величины дисперсии ор в этом случае они не зависят.
Что же касается оценок дисперсий 8; н 8-, то они находятся по приведенным выше формулам (47), где вместо дисперсии ор берется ее оценка о~р. Эта оценка, как и в пЛ!.2.а,б, Для последнего случая приведем также часто встречающиеся в литературе формулы (отличные по форме записи, но дающие те же результаты) для расчета параметров и их дисперсий.
Если ввести обозначения (обратим внимание, что введенные обозначения х, у и 8~, Бт никакого отношения к оценкам значений и дисперсий величин х и у не имеют), то формулы для расчета оценок будут иметь следующий вид: Яг а=г.— '-, Ь=у — а х, (51,52) За г (1 — г ) ~,' г ((и 1)' В + " '(х) ) а ' ' з = за ' ° (53,54) (и — 2) чг ' ь а ' и Коэффициент г, называемый кодффициантом,взвитой кпрредннни между величинами х и у, позволяет проверить соответствие результатов эксперимента и предлагаемой линейной модели.
Можно показать, что г лежит в диапазоне от -1 до +1, причем )г1=1 в случае, когда все экспериментальныс точки (хь у,) лежат строго на одной прямой, т.е. выполнено условие у~(а, Ь~ = 0 . Если значение коэффициента корреляции ф = 0.9 — 0.95, то можно считать, что линейная модель достаточно хорошо согласуется с результатами эксперимента. В противном случае следует либо уточнить модель, либо более тщательно провести измерения.
у = 1п(~.7) =- 1п(1.)а) — 1/с= Ь + ах, где а = -1/т, Ь = 1ПЖо). Казалось бы, схема измерений сведена к зависимости, рассмотренной выше. Однако возникает каковы величины дисперсий для (у,)? Так как уравнение по форме является уравнением косвенных измерений, то, формулу (20), получим: линейной вопрос: а у = 1п(1.1) используя Запишем уравнение, описываюшее исследуемую зависимостьс П = Г(ц П,а т) = ()а ехр(-!/т), Пусть моменты времени (Ь) известны абсолютно точно, а для г напряжений ((1,) величины дисперсий одинаковы и равны оп,.
Логарифмируя уравнение и вводя привычные обозначения, получим г. Случай нелинейной зависимости, допускающей линеаризацию Достаточно часто уравненис совместных измерений у=К(х; а,...Ь) является нелинейным, но простое преобразование позволяет его линеаризовать. К таким зависимостям относятся, например, уравнения вида у=Ь1п(ах), у=Ь ехр(ах), у=ах', уг=ах' и т.д. Метод наименьших квадратов может быть применен и в этом случае, однако здесь следует внимательно отнестись к изменению погрешности отдельного измерения, возникающему при линеаризации. Рассмотрим конкретный пример, поясняющий особенности такого подхода.
Пусть изучается процесс разряда конденсатора С через активное сопротивление й. при этом проводятся измерения напряжения на обкладках конденсатора (3, в определенные моменты времени ьа Требуется по результатам измерений оценить постоянную времени т для КС-цепочки.
Таким образом, квадраты стандартного отклонения (дисперсии) для у, уже не одинаковы, а обратно пропорциональны квадратам измеренных значений Е а Следовательно, зная (у,) н можно с помощью МНК получить оценки для а и Ь, а затем ог по формуле косвенных измерений получить искомую оценку для т. Полученный рсзультат можно обобщить на случай произвольной зависимости, допускающей линеаризацию. Так как в ур' авнении совместных измерений нелинейность возможна как по параметрам а,...,Ь, так и по измеряемым величинам х и у, то рассмотрим различные случаи.
1. Нелинейность только по измеряемой величине х (например, у=ах или у=аеа). Так как величины х; считаются известными абсолютно точно, г =ех то простой заменой переменных (в указанных примерах г=х- и г=е задача сводится к линейной зависимости у=-ац после чего применяются обычные формулы МНК. 2. Нелинепность только по параметру (например, у=-с х). =. 3 35 Заменой переменных а=-сз уравнение сводится к линейной схеме у=ах, для параметра а находятся оценки а и $1, после этого в соответствии с уравнением «косвенных измерений» с = чу г находятся оценки с =. ~~/а и Зг = ( — ~ -Б1 = 3. Нелинейность только по измеряемой величине у (например, ег=ах + Ь). делая замену переменных г=ег и пересчитывая по формулам (19)-(20) результаты «измерений» г; = г(у1) = еп и «погрешность» ~г о,, = о, — —, вновь приходим к линейной схеме.
2 2 дг(У) ду 4. Нелинейность одновременно и по измеряемой величине х и по параметрам (пример, приведенный в начале настоящего п. 'Ч.2.г). Пусть для нелинейной схемы измерений у = Г(х; а,...,Ь), известны результаты измерений (х,) и (у;,о~ ~, и преобразование г=у(у) линеаризует задачу (в рассмотренном выше примере таким преобразованием было логарифмирование у(у)=1п(у)).
Тогда для новой «измеряемой» величины г будут справедливы следующие соотношения: В итоге получаем линейную задачу, к которой можно применить МНК. 3. Заклгочительпьге замечапия о методе паимепьгиик квадратов 1. Требование абсолютно точных значений физических величин (х1) накладывает существенные ограничения на применение метода наименьших квадратов, т.к. в результате измерений мы не можем получить истинных значений (см. разд.Ш).
Однако, можно дать следующую рекомендацию. Пусть пРоведена сеРиЯ совместных измеРений (1н г,), (гп гг), ... величин 1 и г, связанных уравнением совместных измерений, допускающих применение МНК. Сначала необходимо посчитать отношения наибольших стандартных отклонений суммарных погрешностей о, и о, при измерении величин 1 и г к соответствующим диапазонам изменений этих величин Л1=1„эх-1ь, и Лг=г„»««-га;„в данной серии совместных измерений.
Затем в качестве переменной х ды6вать ту из величин, для которой это отношение будет существенно меньшим. Если эти отношения оказались примерно одинаковыми, то можно получить требуемые оценки для двух противоположных случаев выбора переменных и сравнить их. Если полученные результаты близки друг к другу, то можно рассчитывать, что они будут близки и к истинным значениям. 2. При применении МНК необходима проверка полученных результатов на соответствие экспериментальных данных используемой модели (уравнению совместных измерений).
Существуют многочисленные критерии, позволяющие это сделать. Ладим некоторые рекомендации, которыми можно ограничиться для задач физического практикума. а. На графике изобразить результаты совместных измерений (х;, у;1 с указанием стандартных отклонений (о ~, построить зависимость у = Г(х;а,...,Ь), соответствующую найденным оценкам искомых параметров и визуально оценить степень соответствия. 37 б.
С учетом дисперсий (о; ~ величин 1У; ~ подсчитать значенис функционала Х~~а,...,Ь). Если его значение близко к числу степеней свободы п-ш, то можно считать хорошим соответствие модели и результатов эксперимента. Если значение функционала существенно меньше п-т, то, скорее всего, оценки дисперсий Я несколько завышены (такое может быть, когда основной вклад в оценку погрешности дает систематическая погрешность). Если же значение функционала значительно превышает п-т, то следует считать, что при построении модели не были учтены какие-либо факторы или данная модель плохо описывает результаты эксперимента. в. Рассчитать коэффициент корреляции'г (см. п.
У.2.в) по формуле (50) и убедиться, что по модулю он превышает величину 0.9. 3. Обратим внимание на то, что, несмотря на различие в постановках задач в МНК и в задаче получения оценок параметров, максимально близких к истинным значениям (см. начало разя.Ч), можно показать, что для линейных зависимостей (п. 'Ч.2.а, б и в) оценки МНК являются наилучшими оценками для параметров в некотором классе линейных оценок. В то же время уже для случая линеаризации (п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
