А.В. Зотеев, А.А. Склянкин - Лекции по курсу общей физики, страница 7

С точки зрения динамической такого произвола уже нет.Особую роль при анализе движения систем материальных точекиграет точка, называемая «центром масс».(Опр.) Центром масс системы материальных точекназывается точка, положение которой в выбраннойсистеме отсчёта определяет радиус-векторnnmr ii mi ri  или rc  i 1,(4.1)rc  i n1m mii 1где ri– радиус-векторы частицY0•∆m1 r •∆miir1 rс •CZвходящих в систему (см. рис. 4.1).

Вчастности, такими частицами (МТ) могутXбытьиотдельныеэлементы,накоторые можно “разбить” твёрдое тело.•∆m2Массу таких элементов мы специальноРис. 4.1- 42 -§ 4. Динамика твёрдого телаобозначаем ∆mi *). Договоримся здесь и далее придерживатьсятакой системы обозначений, а обозначение массы m оставимтолько для случая рассмотрения движения одной единственнойчастицы или общей массы системы. Нетрудно сообразить, чтосумма, стоящая в знаменателе, как раз и равна этой величине.Добавим, что приведённой векторной записи (4.1) в общем случаесоответствуют три скалярные – для отдельных координат центрамасс:nxc i 1mnn mi xi mi yii 1yc ,m,zc  mi zii 1m.(4.1,а)Теперь можно начать разговор о свойствах центра масс, шаг зашагом доказывая, в чём польза от введения этого понятия. Дляначала нам понадобится напомнить ещё одно – куда болеепривычное определение.(Опр.) Импульсом системы материальныхназывается сумма импульсов отдельных её частей nP   miVii 1точек(4.2)Проведём нехитрые математические операции: массу иззнаменателя в равенстве (4.1) «отправим» сомножителем«налево» и продифференцируем равенство по времени.

Легкообнаружить,чтото,чтополучитсясправа,вточностисоответствует определению импульса системы, а в левой части– произведение массы системы на скорость центра масс! Вот ипервый результат, кажущийся, в силу своей привычности, простотривиальным:P  mVcНесмотря на это сформулируем его ещё раз словами:*)Это подчёркивает, что частица (элемент тела) – часть твёрдого тела.- 43 -(4.3)МеханикаИмпульс системы материальныхточек равен произведению её массына скорость центра массrc•CP  mVc∆mi ○ mViriЭтот результат справедлив, конечно, O•и для твёрдого тела – см. рис. 4.2.Рис.

4.2Докажемтеперьтакназываемую«теорему о движении центра масс». Формулировка, однако,последует в конце . Опираться при этом будем на рисунок,который нам ещё не раз предстоит использовать в дальнейшем –рис. 4.3. На нём символически обозначены отдельные элементысистемы – частицы с массами ∆mi. Силы, с которыми частицывзаимодействуют друг с другом будем называть «внутренними» иобозначать f ij . На частицы могут также действовать и тела, невключённые нами в систему. Соответствующие силы будемназывать «внешними» и обозначать Fi , имея в виду, что это ужеравнодействующие всех внешних сил, действующих на каждуюданную частицу (i).После такого долгого вступления напишем для каждойчастицы системы уравнения движения (второй закон Ньютона)относительно, конечно же, некоторойИСО:F1fi2Fi∆m • 1 ∆mi•f1if12f1if 21f 2iРис.

4.3• ∆m2F2m1r1  f12  ...  f1i  ...  f1n  F1внешн ;... ...m2 r2  f 21  ...  f 2i  ...  f 2 n  F2внешн ;... ...m r  f  ...  f  ...  f  F внешн ;i1ijini ii... ... внешнr  f  ...  f  ...  fmF. nnn1ninn1n- 44 -§ 4. Динамика твёрдого тела внешнmrfF;1j1 11j 1... ... внешнmrfF; iiijiij... ...r   f  F внешнmn n n n  j njЗапишем то же самое более компактно ипросуммируем теперь все левые и всеправые части уравнений*).Прежде всего, отметим, что в правойчасти возникнут пары сил, равных ипротивоположно направленных друг другуна основании 3-го закона Ньютона:f ij   f ji . Ясно, что их суммирование дастнулевой результат и в правой части останется лишь сумма всехnвнешних сил  Fi внешн .i 1Сумма слева равна произведению массы системы наускорение центра масс! Убедиться в этом можно, продифференцировав дважды, равенство (4.1) для радиус-вектора центра масс:nd2 r m rmciidt 2i 1n mi ri  mrc  mac .i 1Вот теперь пришло время сформулировать утверждение теоремы.Центр масс системы материальных точек (/ТТ) движется также, как и материальная точка массой m под действием тех жевнешних сил, что действуют на систему.

То есть внешн Finac i 1mЕсли нам известны начальные условия и силы, действующиена твёрдое тело, то мы можем написать закон движения его центрамасс. А это уже немало. При поступательном движении все точкитвёрдого тела, как мы знаем, движутся одинаково. Поэтому ивопрос о таком движении мы можем считать уже решённым!*)Несмотря на принятую договорённость в обозначениях, мы всё-таки сохранили здесь явноеуказание на внешний характер сил Fi .- 45 -Механика4.2. Дополнительные понятияИтак, для анализа поступательного движения твёрдого тела иматериальной точки, вполне достаточно привычных со школыпонятий сила, масса, импульс.

Если же мы хотим продвинуться впонимании закономерностей движений более сложных –вращательного, плоского, …, то этих понятий уже мало. Ихнедостаточно даже для выяснения условий покоя (вспомнитеразделшкольногокурса«статика»).Простыеопытыдемонстрируют, что, оказывается, значение имеют не только самисилы, но и точки их приложения.

НеNтолько масса тела, но и то, как онаFраспределена по отношению к O •i ∆mвозможнымосямвращения.•rdi•Уточним эти новые дополнительныепонятия.Рис. 4.4(Опр.) Моментом силы N относительно некоторой точкипространства О называется векторное произведениерадиус-вектора r , проведённого из точкиО в точкуприложения силы, навекторэтой силы F : (4.4)N  [r , F ]Модуль момента силы, как и положено модулю любого векторногопроизведения, равен произведению модулей векторов на синусугла между ними: N  r  F  sin .

Нетрудно видеть (см. рис. 4.4),что эта величина равна произведению модуля силы F на такназываемое «плечо» этой силы d: N  F  ( r  sin  )  Fd.(Опр.) Моментом импульса M i материальной точки miотносительно точки пространства О называется векторноепроизведение радиус-вектора ri , проведённого из точки О кматериальной точке, на импульс этой частицы miVi :(4.5)M i  [ri , miVi ]- 46 -§ 4. Динамика твёрдого телаАналогично модулю момента силы модуль момента импульса равен произведениюмодуля импульса на плечо соответствующего момента.(Опр.) Моментом импульса твёрдого тела (системы МТ)относительно точки пространства О называется суммамоментов импульса отдельных элементов твёрдого телаотносительно этой же точки: n (4.6)M   [ri , miVi ]i 1Заметим, что если специально не оговорено нечто иное, топод моментами сил и импульса подразумеваются именновекторные величины! Это моменты относительно точки! Конечно, для каждого из этих векторов N , M i и M можноговорить и о проекциях на ту или иную ось.

Часто мы будемназывать такие проекции «моментом относительно оси» иликратко – «осевым моментом». Особенно это оказывается важнопри движении с сохраняющей ориентацию в пространстве(например, закреплённой) осью вращения Z. Соответствующиевеличины Nz, Miz и Mz – это, очевидно, уже скаляры.4.3.

Уравнение моментова) Для одной частицы (материальной точки)Рассмотрим движение частицы с номером «i» в некоторойинерциальной системе отсчёта с началом в точке О. ПоопределениюмоментимпульсаэтойчастицыравенM i  [ri , miVi ] *). Если взять производную от левой и правойчасти этого равенства, получим:dM i [ri , miVi ]  [ri , miVi ]dt*)Мы умышленно выбрали такие обозначения (использовали индекс «i» и символ «»), чтобыупростить впоследствии переход к случаю твёрдого тела.- 47 -МеханикаПервое слагаемое в правой части равно нулю, поскольку ri – это,конечно же, скорость частицы Vi , а векторное произведение двухсонаправленныхвектороввсегдаравнонулю.Вовторомслагаемом несложно углядеть величину, равную моменту силы  dp i Ni , действующей на «i-ю» частицу.

Ведь mVi  p i  Fi , аdt [ri , Fi ]  N i по определению момента силы. Таким образом, мыприходим к равенствуdM i Nidt(4.7)Оно и называется «уравнением моментов»: Скорость изменениямомента импульса частицы равна моменту силы, действующейна эту частицу.Конечно же, оба момента должны рассчитываться относительноодной и той же точки пространства О, неподвижной в даннойинерциальной системе отсчёта.б) Для системы материальных точек (и твёрдого тела)Вновь используем рисунок 4.3. Напомним, что на нёмпредставлена система материальных точек – частиц с массами∆mi, взаимодействующих друг сдругом с силами f ij , а такженаходящихсяподдействиемвнешних сил Fi .

Для каждойчастицынаписатьсистемы«своё»мывправеуравнениемоментов:- 48 -n  внешн dM 1внутр N1; dt   N ijj 2... ... dMn  внешнвнутрi  N ij Ni;dtj i... ... dMn 1  внешнвнутрn  N nj Nn. dtj 1§ 4. Динамика твёрдого телаОбозначение N1внешн используется здесь, конечно же, длясуммарного момента внешних сил, действующих на i-ю частицусистемы. Просуммируем все левые и правые части уравнений. Вправой части возникнут парыN ijrif ijмоментовN ij  N ji .силОнисоответствуют внутренним силам∆miравнымипротивоположно•dнаправленным друг другу по 3-му rj • N ji • ∆mjзакону Ньютона. Рисунок 4.5f jiиллюстрирует равенство плечаРис.

4.5такихсилипозволяетпроследить, что их моменты направлены в противоположныеO•стороны–N ij  N ji  0 .N ij  N ji .АзначитСуммированиевсехможноутверждать,подобныхчтослагаемыхврезультате даёт ноль. В правой части останется лишь суммаnмоментов всех внешних сил  N iвнешн .i 1Левую часть можно записать как производную от суммымоментов импульса всех частиц, составляющих систему.