А.В. Зотеев, А.А. Склянкин - Лекции по курсу общей физики, страница 4

1.7). Поскольку V  v   , следующей цепочкой равенствможно так пояснить смысл каждой из компонент ускорения:ddv  dV da (v   )   v dt dtdt dtaТ.е. тангенциальная компонентаandv a dtответственна заdизменение модуля скорости. Тогда как нормальная an  v –dtэто по сути всё то же, известное вам по школьному курсу,«центростремительное» ускорение, изменяющее скорость понаправлению. Вектор an перпендикулярен вектору линейной Vскорости и направлен по радиусу к центру т.н. «мгновенной»окружности (см.

рис. 1.7) – движение по произвольной кривойтраекторииможнопредставитькакпоследовательностьдвижений по малым дугам окружностей с разными радиусами R иразными положениями центров, сменяющими друг друга.Чему равен модуль нормального ускорения? Процедурарасчёта центростремительного ускорения описывается в любом- 22 -§ 1. Кинематика материальной точкишкольном учебнике физики, приведём здесь лишь хорошоизвестный вам результат:an   2 R  v 2 / R(1.26)А к нему добавим, что в рассматриваемом случае R – это «радиускривизны траектории»*).Для частного случая движения по окружности (R = const):d(R)    R . Полезно написать ещё и дополнительныеdtсоотношения для a и an , придав им к тому же векторную форму: и(1.27)an   2  Ra    Ra  dv/dt Знак «–» означает здесь, что нормальное ускорение направленов сторону противоположную вектору R , т.е.

к центру окружности.1.5. Закон сложения скоростей в классической механикеОдно и то же движение можно описывать относительноразныхсистемотсчёта.Естьликакая-тосвязьмеждукинематическими характеристиками этого движения в разныхсистемах? Вероятно, да.Пусть система отсчёта X Y  Z  – будем называть её «системаK  », движется прямолинейно со скоростью uотносительно«неподвижной» (условно) СО X Y Z  – «системы K». ПоложениеМТ определяют радиус-векторыYr  и r , соответственно. ЛегкоYвидеть (см. рис.

1.8), что этиKвекторы связаны между собойпростым равенством:0  r  r0  r  ,r0Заметим, что это не то же самое, что радиус «мгновенной» окружности.- 23 -rrm0ZZ*)KXРис. 1.8XМеханикагде r0 – радиус-вектор, проведённый из начала отсчёта системы«K»кначалу« K  ».системыВклассическоймеханикепредполагается, что время в различных системах отсчёта течётодинаково. Поэтому можно продифференцировать это равенствопо времени и получить:ЭтосоотношениеV  u V(1.29)отнназываетсязакономсложенияскоростейГалилея.

Здесь V – скорость материальной точки относительно«неподвижной» системы отсчета K, скорость Vотн – по отношениюк «движущейся» системе отсчета K  («относительная скорость»)и, наконец, u – скорость системы отсчета K  относительнонеподвижной системы K («переносная скорость»).Пример-заданиеЛодка движется относительно воды в реке со скоростью Vотн .Причём направлена эта скорость перпендикулярно берегу.Ширина реки H, а скорость течения воды равна u и направленавдоль берега. Используя закон сложения скоростей и принципнезависимости движений, самостоятельно определите по этимданным скорость лодки относительно берега. А также, на какомрасстоянии L ниже по течению лодка завершит переправу?- 24 -§ 2.

Кинематика твёрдого тела§ 2. Кинематика твёрдого тела“Под механикой разумеем ту частьпрактического искусства, которая помогаетнам разрешать затруднительные вопросы” –Аристотель (IV век до н.э.)2.1. Модель «абсолютно твёрдое тело»Модель«материальнаяточка»невсегдаадекватнарешаемой задаче.

В тех случаях, когда размеры и форма телаиграют существенную роль при описании движения частопомогает другая модель.(Опр.) Модель «абсолютно твёрдое тело» (ТТ)предполагает, что можно пренебречь деформацией телпри механическом движенииТакое тело можно представить как совокупностьB•материальныхточек,жёсткосвязанныхмеждусобой. Несколько более формально можно сказать,•Aчто при движении твёрдого тела не меняетсяРис. 2.1т.е. отрезок АВ сохраняет свою длину – см.

рис. 2.1.расстояние между любыми двумя его точками А и В,Оказывается, любое сложное движение твёрдого тела можнопредставить в виде совокупности двух простейших типовдвижения – поступательного и вращательного.2.2. Поступательное движение твёрдого тела(Опр.) При поступательном движении за любые интервалывремени перемещения всех точек ТТ одинаковыЯсно, что при таком движении любая прямая жёсткосвязанная с телом остаётся параллельной самой себе – см. рис.2.2. Нетрудно понять также, что поскольку при любых интервалах- 25 -МеханикаBBrir jAвремени∆t,исходяизопределения, ri  r j , то влюбой момент времени уA Bвсех точек тела одинаковылинейные скорости Vi (t ) иAускорения ai (t ) . В этом легкоРис.

2.2убедиться,дифференцируясоответствующие равные перемещения. С течением времени этискорости и ускорения могут меняться, но у всех точек одинаково ивсе точки тела движутся по одинаковым траекториям. Именноэтот смысл вкладывают в утверждение – «при поступательномдвижении все точки тела движутся одинаково».Поэтому при описании поступательного движения ТТ можнопользоватьсясоотношениями,определяющимикинематикуматериальной точки.

Описав движение всего одной точки(например, центра масс – см. далее) поступательно движущегосятвёрдого тела, мы получаем полную информацию о том, какпроисходит это движение – кинематическая задача решена!А как обстоит дело с угловыми характеристиками движения?При поступательном движении тело сохраняет свою ориентациюв пространстве, «не поворачивается»! Угловая скорость иускорение любой жёстко связанной с телом прямой равны нулю.2.3. Вращательное движение твёрдого телаТолько что мы уже использовали термин, очевидно имеющийотношениек«вращательномудвижению».Уточнимнашибытовые представления по этому поводу.(Опр.) При вращательном движении все точки теладвижутся по окружностям, центры которых лежат наодной прямой, называемой осью вращения тела- 26 -§ 2.

Кинематика твёрдого телаПодход к описанию движения точки по окружности былизложен ранее. Линейные характеристики движения на этот разотличаются для точек, находящихся на разном расстоянии от осивращения. А вот угловые –  и  – для всех точек твёрдого телаодинаковы. Поскольку указание всего одной величины – углаповорота – достаточно, чтобы знать положение ТТ, говорят, чтовращающееся тело имеет одну степень свободы.2.4. Плоское движение твёрдого телаВыделимдлярассмотренияещёодинспецифическийслучай, имеющий важное практическое значение.(Опр.) При плоском движении все точки тела движутся,оставаясь в параллельных плоскостяхЕстественно в одной плоскости может двигаться множествоточек.

При этом разные точки могут двигаться в разныхпараллельных плоскостях. Самым хорошо знакомым примеромплоского движения является качение колеса. Плоское движениеудобнопредставить,каксовокупностьодновременнопроисходящих поступательного движения тела и его поворотавокруг оси О, перпендикулярной плоскостям, в которых движутсяточки твёрдого тела. Необходимоподчеркнуть, что комбинироватьпоступательное движение и B BBповорот тела вокруг некоторойосиможнобесконечным A AAчислом способов (см.

рис. 2.3).Ось вращения может бытьOвыбрана произвольно. ПриРис. 2.3этомбудутизменятьсярадиусыповорота,однакоОм- 27 -Механикаважно, что какую ось мы бы ни выбрали, угловая скорость будетиметь одно и то же значение.Из сказанного следует, что элементарные перемещениялюбой точки тела («i») при плоском движении можно представитьв виде dri  dri пост  dri вращ . Поделив на соответствующий малыйинтервал времени dt, получим скорости движения точек тела:   V  Vпост  Vвращ :(2.1)Vi  V0  , ri Здесь Vпост  V0 – одинаковая для всех точек тела скоростьпоступательного движения – скорость движения оси поворота О, Vвращ  , ri  – линейная скорость данной точки тела, связанная свращательным движением,  – угловая скорость, ri – радиусвектор, проведённый от оси вращения к i-ой точке тела.Как мы отмечали, частным, но весьма важным случаемплоского движения, являетсяYкачение тел (колеса, цилиндра,шара, …) – см.

рис. 2.4.YРавенство (2.1) при этом можетAV•постслужить примером примененияVVA0О•Vв ращзаконасложенияскоростейXГалилея – ведь «неподвижную»•XOм0систему отсчёта «K» удобноРис. 2.4связатьсповерхностьюкачения, а «движущуюся» K  с осью катящегося тела (онадвижется поступательно, а колесо поворачивается вокруг неё).Обоснуйте самостоятельно, опираясь на рис. 2.4, что модульскоростиvA = 2v0 cosпроизвольной точки А на ободе2колесаравен.Интересно отметить, что из множества способов разложениядвижения можно найти такой, когда движение тела сведется к- 28 -§ 2. Кинематика твёрдого телапоследовательности поворотов вокруг некоторой оси, скоростькоторой равна нулю в данный момент времени (V0  0 ). Эта осьвращения Ом занимает разное положение в пространстве вразные моменты времени.

Её называют мгновенной осьювращения. При качении без проскальзывания эта ось проходитчерез точку касания с поверхностью, по которой катится тело.В заключение раздела «Кинематика» скажем, что всерассмотренные в нём законы опираются на естественныепредставления о независимости пространства и времени. Этипредставления, очевидные для механики Ньютона и Галилея,подверглисьпересмотрусовременнойфизикой(«Теорияотносительности»), и это способствовало более глубокомупониманию фундаментальных свойств пространства и времени.