А.В. Зотеев, А.А. Склянкин - Лекции по курсу общей физики, страница 10

Суммаэлементарных работ (а это и есть интеграл) – даёт полную работу.(Опр.) Работа на конечном участке траекториивычисляется как сумма элементарных работ:(5.6,а)A12   dA   Fl dlLLИтак, и в общем случае работа силы – величина скалярная исущественно зависит от взаимной ориентации векторов силы искорости. В частности работа силы перпендикулярной скорости,как мы уже отмечали, всегда равна нулю. Такой случайреализуется, например, при движении по окружности поддействием центростремительной силы.Здесь и далее для малых перемещений мы будем использовать обозначения l i и dl , посколькуобозначения ri и dl планируем применять в дальнейшем для перемещений в радиальном направлении.*)- 65 -Механика ЗамечанияZ1) Надо помнить, что работа зависит отвыбора системы отсчёта !2) При анализе движения твёрдого телаполезно уметь вычислять работу при еговращении относительно закреплённой оси (см.рис.

5.4). Проведём очевидные преобразованиядля элементарной работы при повороте тела намалый угол d  :Fd•r•OРис. 5.4A  F , dl   F ,Vdt   F , , r dt .    Теперь, используя правило перестановки в смешанном произведениивекторов, получим:     A  F , , r dt  [r , F ],  dt  N ,  dt  N   dt  N z  d .Работу при повороте на конечный угол, как обычно, можно найти,суммируя элементарные работы A , т.е. в результате интегрирования:A   N z d .2(5.8)13) Быстроту совершения работы характеризует мощность силы.(Опр.) Мощность силы равна отношению работы A ,совершаемой за малый интервал времени dt к величинеэтого интервала:AW(5.9)dtdlПоскольку A  Fdl cos  , а v  , легко видеть, что мощностьdtсилы связана со скоростью движения МТ простым соотношением:W = F·v·cos или W  ( F ,V ) .(5.10)5.5. Механическая энергияС понятием энергии мы сталкиваемся уже при рассмотрениимеханического движения, хотя оно имеет и более широкий смысл,- 66 -§ 5.

Законы сохранения в механикечем используется обычно в механике. Во многих случаяхфизические системы, над которыми совершают работу, могут этуработу запасать и при определённых условиях сами совершатьтакую же работу над другими телами или системами. Вот этотзапас работы и называют механической энергией.(Опр.) Механическая энергия есть физическая величина,измеряемая запасённой работой, которую способнасовершить система телЭнергией обладает сжатая или растянутая пружина, притягивающиеся и отталкивающиеся тела. Энергией обладают такжедвижущиесятела.Тоесть,запасработысвязанкаксвзаимодействием тел, так и с их движением.

Поэтому различаютдва вида механической энергии – потенциальную и кинетическую.5.6. Кинетическая энергия. Теорема о кинетическойэнергииЧтобы затормозить частицу, движущуюся со скоростью v, нанеё в течении некоторого времени должна действовать сила. Этосила со стороны других тел, тормозящих частицу.Силасовершает работу, а частица, в свою очередь, способнасовершить такую же по величине (с учётом 3-го закона Ньютона)работу над телами, тормозящими частицу. Нетрудно сосчитатьmv 2эту работу (проделайте это самостоятельно) – она равна.2Эту величину и принято по определению называть кинетическойэнергией материальной точки.

Кинетическая энергия системыматериальных точек равна сумме кинетических энергий частиц,входящих в систему.(Опр.) Кинетическая энергия системы материальныхточек равна- 67 -Механикаmiv i2Ti 1 2n(5.11) Замечания1) Кинетическая энергия, как и работа, зависит от выбора системы отсчёта!2) Кинетическая энергия величина аддитивная, скалярная и всегдаположительная.ДокажемтеперьтакназываемуюdVтеорему о кинетической энергии. Пустьdvматериальная точка перемещается из точки1 в точку 2 по произвольной траектории “L”(см. рис. 5.5). Найдём элементарную работуVV  dVmРис. 5.5действующей на неё силы F на маломперемещениицепочкуdl , выполняянесложных преобразований:1•F2“L”    dV  δA  F,dl  F,V   dt   m,V   dt  mV , dV   m  V  dV  cos  dtvdvmv  d v.Легко проверить дифференцированием, что полученныйрезультат есть не что иное, как дифференциал (малое mv 2   dT .изменение) кинетической энергии частицы: mv  dv  d  2 Теперь можно просуммировать элементарные работы навсех малых участках траектории:( 2)A12   dT  T2  T1или(1)" L"mv 22 mv12 А1222Как работа, так и кинетическая энергия алгебраическиескалярные величины.

Они обладают свойством аддитивности –т.е. соответствующая величина для всей системы складываетсяиз её составляющих для отдельных частиц. Сформулируемтеперь утверждение теоремы, которое, по сути, уже доказано:- 68 -§ 5. Законы сохранения в механикеИзменение кинетической энергии системы равно работесил, действующих на тела системы(5.12)T2  T1  A12 ЗамечаниеВажно помнить, что речь идёт здесь о суммарной работе А12равнодействующих всех приложенных к каждому телу сил !5.7.

Кинетическая энергия твёрдого телаРассмотрим три важнейших частных случая движения твёрдоготела: поступательное, вращательное и плоское движения.YOа) При поступательном движении в любой момент временивсе элементы тела ∆mi обладаютV1∆m1однойитойжелинейнойV2 •∆m2Vcскоростью V1 = V2 = … = Vi (рис. 5.6)••C– той же, с которой движется егоVi∆mi•центрмасс–ПоэтомуVc .Рис. 5.6Xкинетическая энергия поступательнодвижущегося твёрдого тела равнаmiv i2 1 2 nmv c2Tпост.   v с   mi Tпост. , (5.13)222i 1i 1где m – масса тела, а vc – скорость его центра масс.nб) При вращательном движении в любой момент времени увсех элементов тела ∆mi одинаковы угловые скорости. Поэтомуmiv i2 n mi (Ri ) 2  2 n2 mi Ri222 i 1i 1i 1nTвращ.I z 2Tвращ .2(5.14)в) Плоское движение можно представить, как совокупностьодновременно происходящих поступательного и вращательного.Чтобы найти кинетическую энергию такого движения, удобновспомнить о понятии мгновенной оси вращения: в каждый моментвремени движение представляет собой лишь поворот (рис.

5.7)- 69 -Механикаотносительно такой оси, а значитTYI zм. Момент инерции тела22относительномгновеннойосивращения Izм по теореме Штейнераможно связать с моментом инерцииотносительно оси, проходящей черезцентр масс тела Ic :Zc •R0•V0ZмXРис. 5.7I zм  I c  mR 2 ,где R – расстояние между этими параллельными осями. Еслиучесть теперь, что линейная скорость центра масс тела связана сугловой скоростью вращения равенством vc =  R, нетруднополучить интересующий нас результат:(I с  mR2 ) 2 I с 2 m( R ) 2mv c2 I с 2.

(5.15) Tплоск. 22222Мы поменяли местами слагаемые в итоговой записи, посколькуобычно говорят, что кинетическая энергия при плоском движениитвёрдого тела равна сумме энергии поступательного движения соскоростью центра масс и вращения относительно оси, проходящейчерез центр масс.Tплоск. 5.8. Консервативные и неконсервативные силыПрежде чем перейти к понятию потенциальной энергии нампридётся вспомнить, что по отношению к совершаемой работевсе силы делятся на два класса.(Опр.) Силы, работа которых не зависит от формытраектории, а определяется лишь начальным и конечнымположением тела называются консервативнымиНетрудно доказать, что для таких сил работа по замкнутойтраектории равна нулю (сделайте это самостоятельно).Силы, не обладающие таким свойством, являютсянеконсервативными.

К последним относятся все различные виды- 70 -§ 5. Законы сохранения в механикесил трения, реактивная сила, сила, действующая на заряженнуючастицу со стороны вихревого электрического поля, …К силам консервативным относятся гравитационные, упругиеи «кулоновские» силы. Консервативными являются такжевнутриядерные и межмолекулярные силы.

Важно помнить,однако, что «силовой центр»*) в вышеперечисленных случаяхдолжен покоиться в инерциальной системе отсчёта**). Докажемспециальную теорему о консервативности центральных сил.Уточним, прежде всего, что такое центральная сила. Этоозначает, что в любой точке пространства на частицу действуетсила, направленная к одной и той жеF (r )  2неподвижной точке пространства О или от неё“L”dlm•drr1OРис. 5.8(радиально, т.е. вдоль прямой, содержащейчастицу и точку О – см.

рис. 5.8). Точка Оназывается «силовым центром». Величинасилы зависит только от расстояния частицы досилового центра. Формализовать эти свойствацентральной силы можно следующим образом: F (r )  Fr (r )  er . Здесь Fr (r ) – проекция силы нанаправление радиус-вектора r , проведённого rиз силового центра к частице m, er – единичный вектор,rзадающий радиальное направление. Говорят, что частицынаходятся в центральном силовом поле или в поле центральныхсил. Примерами поля центральных сил являются гравитационныеи «кулоновские» силы.Рассчитаем теперь работу центральной силы приперемещении частицы m из точки 1 в точку 2 вдоль траектории “L”:*)Чуть ниже мы поясняем это понятие.**)Говорят, что это «стационарные поля центральных сил».- 71 -Механикаr  ( 2)r A12   ( F , dl )   Fr   dl  cos   Fr (r )dr .r(1)(1)r( 2)2" L"Криволинейный" L"интеграл1drвначалеприведённойцепочкиравенств – это весьма непростая математическая «конструкция».Однако в случае поля центральной силы его удаётся, как мывидим, свести к обычному определённому интегралу! Такойинтеграл, как известно, равен разности значений первообразнойФ(r) скалярной функции Fr (r ) :r2rr1A12   Fr (r )dr  (r ) r  (r2 )  (r1 ) .21Полученный результат не зависит от формы траектории, что иподтверждаетутверждениетеоремы–центральныесилыконсервативны.5.9.

Потенциальная энергияПотенциальная энергия U(x,y,z) – энергия взаимодействиятел. Эта энергия зависит только от взаимного расположения тел,т.е. только от их координат*). Поэтому понятие потенциальнойэнергии имеет смысл не для всех сил, а только для таких, длякоторых работа зависит лишь от положения (координат) телсистемы, т.е.

для консервативных сил.(Опр.) Потенциальная энергия измеряется работой, которуютела системы способны совершить при изменении своейконфигурации (взаимного расположения её частей)Важно понимать, что потенциальная энергия является такойфункцией координат U = f ( x,y,z), что работа консервативных сил*)Под обозначением (x,y,z) мы будем понимать всю совокупность координат всех частиц системы.- 72 -§ 5. Законы сохранения в механике(к )равна разности значений этой функции при измененииА12(к )положений тел системы (конфигурации системы), т.е. А12= U1 – U2 ==  U .

Работа положительна, если U2 < U1 ( U < 0). Иначеговоря, работа осуществляется за счёт убыли потенциальнойэнергии системы.Как найти вид функции U(x,y,z) для конкретной консервативной силы F (r ) ? Прежде всего, необходимо договориться о такназываемой нормировке. Пусть в некоторой точке пространстваP0(x0,y0,z0*)) потенциальная энергия равна нулю: U(x0,y0,z0) = 0.Тогда для произвольного положения частиц системы P(x,y,z)потенциальная энергия равна:(Опр.) U( x, y, z )  APP , а значит0PU( x, y, z )   Fl dl .(5.16)P0по любой траекторииДляиллюстрацииданногоопределенияпонятияпотенциальной энергии рассмотрим известные нам виды сил,действующих в механических системах.Примеры1.“ ”Гравитационноевзаимодействие(силы тяготения). Пусть материальная точка mdrнаходится в гравитационном поле некоторойпланеты M (например, Земли – см.