А.В. Зотеев, А.А. Склянкин - Лекции по курсу общей физики, страница 6

Ньютоном. Аналитической записизакона всемирного тяготения можно придать векторную форму,чтобы включить в неё информацию о направлении сил:1 F12m1 Рис. 3.2r12 2m2m1m2 r12F12  G 2rr(3.5)Здесь F12 – сила действующая напервую МТ со стороны второй, r12 –радиус-вектор проведенный от первой МТ ко второй (r – егомодуль, см. рис.

3.2). На вторую МТ также действует силапритяжения и, в полном соответствии с третьим закономНьютона, F21   F12 . Коэффициент пропорциональности G – т.н.«гравитационная постоянная». В системе СИ он равен 6,67.10-11Н  м2/кг2. Впервые величина гравитационной постоянной былаизмерена экспериментально в знаменитых опытах Кавендиша*) сиспользованием крутильных весов (1797 г.).Важно помнить, что, используя равенство (3.5), можнонаходить силу тяготения между материальными точками (как иуказано в законе!). Если в условиях решаемой задачи теланельзя считать материальными точками, то для нахождения силыгравитационного взаимодействия тел их придётся “разбивать” намалые элементы – материальные точки, и затем суммировать всесилы парных взаимодействий между ними.Именно проведя такую процедуру, Ньютон впервые доказал,что равенством (3.5) можно пользоваться также и для большихтел, если они обладают сферической симметрией распределениямассы**).

Таковыми, в некотором приближении, можно считать*)Генри Кавендиш (1731 – 1810) – выдающийся британский физик и химик. Впервые исследовалсвойства водорода, углекислого газа, особые свойства воды, впервые определил состав атмосферноговоздуха. Именем Кавендиша названа физическая лаборатория в Кембриджском университете.**)За исключением довольно экзотического случая, когда одно тело находится внутри сферическойполости другого.- 36 -§ 3. Динамика материальной точкипланеты (в частности, Землю), Солнце и другие космическиетела.

Роль величины r в равенстве (3.5) в этом случае играетрасстояние между геометрическими центрами тел.При рассмотрении движения тел вблизи поверхности Земливеличина силы притяжения (сила Земного тяготения) можетбыть выражена следующим образом (h << RЗ):F Gгде g  GmM ЗRЗ  h2GmM З mg ,2RЗ(3.6)MЗ– ускорение свободного падения, MЗ и RЗ – масса и2RЗрадиус Земли, h – высота тела над поверхностью Земли.3.5.2. Упругие силы*), возникают при упругой деформации тел(в частности, это различные силы натяжения нитей, пружин,реакции опор, и т.д.).

В некотором интервале деформаций телвеличинадеформацииоказываетсяпропорциональнаприложенной силе (закон Гука). Со стороны пружины действуетсила реакции – упругая сила. С учётом 3-го закона Ньютонаможно для силы упругости записать:Fупр  k   ,(3.7)где k – коэффициент упругости («жёсткость»), а  – величинадеформации тела. Это может быть «удлинение» пружины   l  l0 ,прогиб балки, угол закручивания стержня и т.д. При этом силаупругости всегда противоположна направлению деформациитела, поэтому для проекции силы упругости на направлениедеформации Х можно написать привычное равенство: ( Fупр ) x  kx .3.5.3.

Силы трения*)Силы трения возникают при движении или при возможностиотносительного движения контактирующих друг с другом тел. В*)Заметим, что и все различные виды упругих сил и силы трения имеют одну фундаментальнуюприроду – это проявления электромагнитных взаимодействий, о которых разговор ещё впереди.- 37 -Механикачастности, сухое трение возникает при возможности движенияодного твёрдого тела по сухой поверхности другого твёрдого тела.Прежде всего, отметим, что бывают случаи, когда на тело,соприкасающееся с некоторой поверхностью, действуют силы, нооно остаётся в покое (попробуйте сдвинуть с места тяжёлыйшкаф).

Это результат того, что на тело действует сила тренияпокоя, компенсирующая другие внешние силы. Её величинанаходится из условия отсутствия относительного движения:Fтр пок   Fi  0 ,(3.8)iгде Fi – силы, приложенные к телу, за исключением Fтр пок . Т.е.пока тело находится в покое, сила трения покоя в точности равнапо величине и противоположна по направлению касательнойсоставляющей результирующей сил  F i F . Максимальноезначение силы трения покоя равно Fтрmaxпок   FN , где FN –нормальнаяFтр FN0Рис. 3.3Fсоответствуетсилыреакции опоры,  – коэффициенттрения скольжения.На рис.

3.3 показано какменяется сила сухого трения принарастании величины силыF .Наклонный FN)составляющаяпокоящемусяучасток графика (Fтр <телу(Fтрпок= F ),агоризонтальный – скользящему. С некоторой долей приближенияможно считать, что сила сухого трения скольжения не зависитот величины скорости и равнаFтрск   FN .(3.9)Эта сила всегда направлена противоположно вектору скороститела. Поэтому равенству (3.9) можно придать векторный характер: скVFтр    FN ,v- 38 -§ 3.

Динамика материальной точкигде V – скорость относительного движения тел, v – её модуль.При движении тел в жидких или газообразных средахвозникает сила вязкого трения. Её отличие от сухого тренияпроявляется в отсутствии трения покоя, а также в зависимости отскорости движения тела относительно среды. При малыхскоростях сила вязкого трения пропорциональна этой скорости:Fтрвязк  b  V ,(3.10)где b – коэффициент вязкого трения. Он зависит от размеров иформы тела, а также от вязких свойств среды.3.5.4. Сила ЛоренцаНа электрически заряженную частицу в электрическом имагнитном полях действует так называемая «обобщённая силаЛоренца»:  (3.11)FЛ  q  E  q  V , BВ постоянном электрическом поле E  const движение частицывполне аналогично движению в однородном поле тяготения. Ведьоно происходит под действием постоянной силы и, значит,является равнопеременным (по прямой или по параболе).

Воднородном магнитном поле ( B  const ) движение частицыпроисходит без изменения скорости по модулю – по окружностиили по винтовой линии. Траектории движения в скрещенныхэлектромагнитных полях могут быть весьма разнообразны –прямолинейное, по параболе, по дуге окружности, по спирали, …Всё это зависит как от взаимной ориентации полей, так и отначальных условий.- 39 -Механика Совсем необязательное дополнениеИтак, действующая на тело сила может зависеть от положения тела впространстве (его координат, как, например, сила тяжести или упругости), отскорости (сила трения или сила, действующая на движущуюся заряженную частицув магнитном поле) и от времени.

Т.е. с математической точки зрения она является вобщем случае функцией трех переменных:    dr    F  F r , r , tF  F  r , ,t или dt В простейшем одномерном случае запись второго закона Ньютонаd 2x dx m 2  Fх  x, , t mx  Fх  x, x , t или(3.12)dt dt представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение –подбор функции x = f(t), обращающей уравнение в тождество – позволяет найтизакон движения.А) Например, если тело движется вблизи поверхности Земли и, если можнопренебречь сопротивлением воздуха, на него действует лишь постоянная по величинеи направлению сила – сила тяжести mg . Уравнение движения имеет в этом случаевидd2ym 2  mg .(3.13)dtОтсюда ясно, что это равнопеременное движение с ускорением ay = –g. Законизменения вертикальной координаты y хорошо известен:gt 2y (t )  y0  V0 y t .2Движение по горизонтали равномерное, а его траектория – парабола.Б) При действии упругой силы, подчиняющейся закону Гука Fx = –kx,уравнение движения тела имеет видd 2xm 2  kx .(3.14)dtA0Его решение описывает гармоническое(незатухающее) колебание: x(t) = Acos  t.Если учесть наличие силы трения,например вязкого, пропорциональнойскорости, получим уравнениеxt2md xdt2  kx  bdx.(3.15)TdtРешением будет также колебание,однако, на этот раз с уменьшающейсяамплитудой (см.

рис. 3.4): tx(t) = Ae  cos t .Рис. 3.4Коэффициент затухания  здесь равен b/2m. Процедура решения таких уравненийрассматривается в теории колебаний. Нас интересует сейчас вовсе не- 40 -§ 3. Динамика материальной точкиматематическая сторона вопроса. Мы привели эти примеры лишь дляиллюстрации того факта, что знание конкретного вида сил, действующих    натело, как функции координат тела, его скорости и времени F  F r , r , t  сучётом начальных условий позволяют решить основную задачу механики –найти закон движения тела.В заключение приведём для иллюстрации этой же мысли еще один примериного вида действующей на тело силы.

Исключим из правой части равенства (3.15)упругую силу – останется лишь сила вязкого трения:2mvxv0x0координатаскорость0Рис. 3.5td xdt2 bdx.(3.16)dtИсчезнетиколебательныйхарактердвижения. Для реализации такого случаядвижения в вязкой среде телу необходимосообщить начальную скорость. Решениеуравнения позволяет определить, как меняетсяскорость с течением времени:v (t )  v 0  e t (здесь  = b/m), а затеми закон движения тела:x(t )  x0 v0 1  e  t  (см. рис.

3.5).3.6. Принцип относительности ГалилеяВ завершение этого параграфа сформулируем ещё одноосновополагающее утверждение классической физики:Законы механики инвариантны по отношению к выборуинерциальной системы отсчётаТо есть все механические явления протекают одинаково во всехинерциальных системах отсчёта. Иначе говоря, с точки зренияклассической механики, не существует абсолютного покоя илиабсолютного движения.

Находясь в трюме океанского лайнерабез иллюминаторов, по наблюдениям за механическимдвижением невозможно установить, стоит ли лайнер на якоре илиравномерно плывёт по воде.Обобщение этого принципа также и на электромагнитныеявления привело к одному из постулатов, лежащих в основеновой науки о движении – теории относительности.- 41 -Механика§ 4. Динамика твёрдого тела“Sine experienentia nihil sufficienter sciri potest” –«Без опыта нет достоверного знания!»Роджер Бэкон (1250)4.1. Центр масс.

Теорема о центре массНапомним, что твёрдое тело можно представить каксовокупность материальных точек. Хотя в дальнейшем мызачастую будем произносить и слова «система материальныхточек», в первую очередь нас будет интересовать движениеименно твёрдого тела. Все полученные результаты анализа,однако (если специально не оговорено иное) можно применять кобоим случаям.При кинематическом описании движения твёрдого тела,разбиении его на поступательное и вращательное, мы говорили опроизвольности выбора точки, через которую проходит осьвращения.