А.В. Зотеев, А.А. Склянкин - Лекции по курсу общей физики, страница 2

Важно, чтобы размеры и форма телабыли бы несущественны при ответе на конкретный вопросзадачи. Одно и то же тело в разных случаях можно принимать заматериальную точку, а в других нет! Например, при определениипериодадвиженияЗемливокругСолнца,Земляможетрассматриваться как МТ. Однако при выяснении временисуточногооборотаматериальнойЗемлиточкойвокругужесвоейосибессмысленно,считатьеёнесмотрянавозможность использования той же гелиоцентрической системыотсчёта и большом расстоянии между Солнцем и Землёй.Механическое движение может быть определено только поотношению к системе отсчета (СО).(Опр.) Система отсчёта включает тело отсчета (ТО), атакже прибор для измерения времениВыбор тела отсчёта предполагает и выбор точки начала отсчёта.Выбирается также и начало отсчёта времени.Важно подчеркнуть, что выбирается именно тело отсчёта, а не только однаточка пространства.

С телом отсчёта связывают систему координат (СК), котораянеобходима для использования математического аппарата описания движения. Этасвязь однозначно определит положение системы координат. С точкой отсчётаможно связать лишь одну из точек СК, но не положение её осей.Одно и то же движение будет происходить по-разному, ибудет описываться разными уравнениями в разных системахотсчёта.Чащевсегоиспользуютсясистемыотсчета:«лабораторная» (связанная с помещением, в котором проводитсяисследование),«геоцентрическая»«гелиоцентрическая»(онаже(связанная«Коперникова»,Солнцем).-8-сЗемлёй),связаннаяс§ 1. Кинематика материальной точкиМы начнём описание механических движений именно скинематики материальной точки. Забегая вперёд, скажем, что и вважном и распространённом случае поступательного движениятвёрдого тела*) размеры и форма тела также не играют роли прикинематическом описании его движения.(Опр.) Траектория – это линия в пространстве, вдолькоторой движется материальная точкаДругими словами – это след, который оставила бы в пространстведвижущаяся частица.

Математически траектория может бытьзадана уравнением кривой в некоторой системе координат,описывающим взаимосвязь координат МТ друг с другом. Например,в простейшем случае движения по плоскости (XOY):y = f (x).(1.1)Существует также так называемая "параметрическая" формааналитического задания линии в пространстве:x = f1(t);y = f2(t);z = f3(t),(1.1,а)где t – некоторый общий параметр, в частности, им можетслужить время.В зависимости от вида траектории различают движенияпрямолинейные и криволинейные. Примерами важных случаевкриволинейного движения являются движения по окружности,параболе, циклоиде.Подчеркнём, что вид траектории зависит от выбора системыотсчёта.

Этому можно привести много примеров. В частности,если систему координат связать с движущейся материальнойточкой, то траекторией является точка – она ведь покоится в этойсистеме. Поэтому необходимо помнить, что решение любой задачи,*)Смысл этих терминов и само это движение мы будем обсуждать несколько позже.-9-Механикасвязанной с движением, может быть осуществлено лишь вкакой-либо конкретной системе отсчёта.

Удобный выборсистемы отсчёта может предопределить успех решения.1.2. Линейные кинематические характеристики движенияКак мы уже отмечали, в выбранной СО с телом отсчётаобычно связывают ту или иную систему координат. Тогдапространственное положение материальной точки «m» можнозадатькоординатами.еёНапример,впрямоугольнойдекартовой системе координат – это три числа {х,у,z} – еёпроекции на óси координат OX, OY и OZ. Положение точки можнозадать также и радиус-вектором r , проведённым из началакоординат к материальной точке m (см. рис.

1.1).Yy1.2.1. Радиус-векторrmx0zСвязьрадиус-вектораскоординатамиточкиматематическизаписывается так:r  x  ex  y  e y  z  ez ,X(1.2)Рис. 1.1где х, у, z – координаты МТ, равные  проекциям радиус-вектора r на óси OX, OY и OZ; а ex , e y , ez –Zединичные векторы («орты») соответствующих направлений.Основной (но не единственной) задачей механики является нахождение координат (или радиус-вектора) движущейся точки в любоймомент времени – установление кинематического закона движения: x  x(t ); y  y(t ); z  z (t ). или r  r (t ).(1.3)Часто приходится иметь дело с движением МТ по плоскости иливдоль заданной линии. В этих случаях закономдвиженияявляются всего две или одна функция координат от времени.- 10 -§ 1.

Кинематика материальной точки1.2.2. Путь(Опр.) Путь – это длина участка траектории междуначальным и конечным положениямиПуть (будем обозначать его ∆l) – величина скалярная !1.2.3. Перемещение(Опр.) Перемещением за промежуток времени t  t2  t1называется вектор r , соединяющий положение точки вмомент времени t1 с её положением в момент времени t2Вектор перемещения, как ясно изопределения и рисунка 1.2, равенYt0траекторияS  rt  r  r2  r1 . Он может быть задан, какr (t )любой вектор, его проекциями на осисистемы координат:r00Рис.

1.2Zx  x2  x1 , y  y2  y1, z  z2  z1 .XМожноиспользоватьтакжеиразложение вектора перемещения r на составляющие –компоненты по соответствующим координатным направлениям.Пусть момент времени t1 выбран в начальной точкетраектории движения МТ, а t 2 в произвольной. Тогда ихобозначают t 0 и t , соответственно. В школьном курсе самоперемещение вы обозначали иначе – S .

Смысл новогообозначения r ясен из рисунка 1.2 – этот вектор представляетсобойприращениерадиус-вектораматериальнойточкивпроцессе её движения: r  r (t )  r0 .(1.4)А r0 здесь – определяет начальное положение материальнойточки. Отсюда ясно – чтобы определить положение МТ в любой- 11 -Механикамомент времени, надо знать её перемещение и начальноеположение:r (t )  r0  r(1.4,а)Закон движения, можно записать также в соответствующейкоординатной форме: x(t )  x0  x; y (t )  y0  y; z (t )  z0  z.(1.3б)Необходимо помнить, что в общем случае путь отличается отдлины (модуля) вектора перемещения r .

Очевидно, всегдасправедливо неравенство l  r . Однако, если рассматриватьвсё более и более короткие интервалы времени t  t2  t1  0 ,то конечное положение точки будет приближаться к начальному,и разница между l и r будет также стремиться к нулю.Теперь посмотрим, как характеризовать быстроту измененияположения МТ в пространстве. Начнём с простейшего понятия.1.2.4. Скорость(Опр.) Средняя скорость – отношение перемещения кинтервалу времени движенияrVср t(1.5)Средняя скорость (за данное время, или на участке траектории)описывает движение без деталей, тогда как в течение времени отt1 до t2 оно может происходить по-разному, то замедляясь, тоубыстряясь. Случай из американской жизни:*)«Автомобиль был остановлен полицейским. Он подходит к машине и говорит:"Мадам (ибо за рулем была женщина), Вы нарушили правила уличного движения.

Вы ехалисо скоростью 90 километров в час". Женщина отвечает: "Простите, это невозможно. Как я*)Р. Фейнман «Фейнмановские лекции по физике», т. 1, с. 145.- 12 -§ 1. Кинематика материальной точкимогла делать 90 километров в час, если я еду всего лишь 7 минут!" ... Полицейский честнохочет доказать нарушительнице её вину и пытается объяснить ей, что означает скорость 90километров в час, и говорит: "Я имел ввиду, мадам, что если бы Вы продолжали ехатьтаким же образом, то через час Вы проехали бы 90 километров." "Да, но я ведь затормозилаи остановила машину, – может ответить она, – так что теперь-то я уж никак не могла быпроехать 90 километров в час".

Нарушительница могла бы ответить и так: "Если бы япродолжала ехать, как ехала, еще час, то налетела бы на стену в конце улицы." .... Далеедискуссия развиваете, следующим образом. Полицейский: "Разумеется, мадам, если бы Выехали таким же образом в течение часа, то налетели бы на стену, но за 1 секунду Вы быпроехали 25 метров, так что Вы делали 25 метров в секунду, и если бы продолжали ехатьтаким же образом, то в следующую секунду опять проехали бы 25 метров, а стена стоитгораздо дальше".

"Но правила запрещают делать 90 километров в час, а не 25 метров всекунду." Да ведь это то же самое!"Желание описать движение подробнее заставляет сужатьрассматриваемый участок траектории (уменьшать временнойинтервал), т.е. вычислять среднюю скорость за всё болеекороткие промежутки времени. Так мы приходим к болеедетальной характеристике – скорости в данный момент времениили просто мгновенной скорости.(Опр.) Мгновенная скорость – предельное значениесредней скорости при уменьшении временного интервалаt  0 (на «бесконечно коротком» участке траектории):r(1.6)V  limt 0 tВ математике такой предел (если он существует) называетсяпроизводной (в данном случае радиус-вектора) по времени, апроцедура нахождения производной – дифференцированием.

Вфизике приходится иметь дело с производными по разнымпеременным (время, координата, температура, …), поэтомупроизводную удобно обозначать с указанием по какой именнопеременной ведется дифференцирование в данном случае.Символически это делается так:r drV  limt 0 tdt*)(1.6,а)Символ "  " означает знак тождественного равенства.

Мы будем его использовать всякий раз,когда будем иметь дело просто с другим обозначением той же самой физической величины.*)- 13 -МеханикаV (t )траекторияrtt  0Рис. 1.3Поскольку производные по времени в физикеиграют особую роль, их часто также обозначают точкой над дифференцируемой величиной: V  r .Как направлена мгновенная скорость?По мере уменьшения интервала времениt вектор перемещения r всё ближе«прижимается» к траектории (см.

рис. 1.3). Поэтому изопределения мгновенной скорости**) следует, что она всегданаправлена по касательной к траектории.А ещё часто пользуются понятием путевой скорости, опятьтаки средней и мгновенной (её-то и показывает, например,спидометр автомобиля). Путевая скорость – это скалярнаявеличинаравнаяотношениюпройденногопутиксоответствующему интервалу времени:l.(1.7,а)tl dl(Опр.)(1.7,б)v  limt 0 tdtЕсли учесть, что при t  0 разница между путём и длинойвектора перемещения также стремится к нулю l  r , то(Опр.)v ср модуль мгновенной скорости равен производной пути по времени– т.е.

мгновенной путевой скорости:rlV  lim; v  lim ;t 0 tt 0 tV v(1.8)Как и любой вектор, вектор скорости может быть задансвоими проекциями на координатные оси:V  Vx  e x  V y  e y  Vz  e z .(1.9)Эти проекции равны производным соответствующих координат повремени:**)Если не оговорено иное, то под термином скорость понимается именно мгновенная скорость !- 14 -§ 1. Кинематика материальной точкиVx dx;dtVy dy;dtVz dzdt(1.10)Модуль вектора скорости, а значит и путевая скорость,связаны с проекциями скорости на координатные оси:v  Vx 2  Vy 2  Vz 2 .(1.11)Зная мгновенную скорость как функцию времени, можнонайти изменения координат:t2t2t1t1x   Vx (t ) dt ; y   V y (t ) dt ;t2z   Vz (t ) dt,(1.12)t1а значит перемещение и пройденный путь:t2l  v (t )dt(1.13)t1Здесь появилась ещё одна символика высшей математики, которой мы будемактивно пользоваться и в дальнейшем – интеграл.