Диссертация (Электростатические свойства микромагнитных структур), страница 12

Однако в данном случае такой подход будетсвязан с поиском аналитического решения весьма непростой задачи. Согласно данным [96], образцы, в которых эффект смещения доменных границ имеетместо, характеризуются существенным отклонением направления вектора намагниченности в доменах от нормали к пленке и большими значениями константы ромбической анизотропии в плоскости пленки. Соответствующий вкладв плотность свободной энергии имеет, согласно модели [97], следующий вид:wind = −Ku (m~ · ~nu )2 + Kr (m~ · ~nr )2 ,(2.1)где Ku , ~nu — константа и орт одноосной анизотропии, Kr , ~nr — константа иорт ромбической анизотропии.

Кроме того, как будет показано в главе 3, описание электростатических свойств доменных границ требует учета неоднородногомагнитоэлектрического взаимодействия, задаваемого соотношением (1.1).Зададим направление вектора намагниченности углами (θ, ϕ) сферическойсистемы координат с осью x, перпендикулярной плоскости доменной границы и63осью z, перпендикулярной поверхности пленки. Запишем уравнения ЛагранжаЭйлера для одномерной задачи, которым должны удовлетворять зависимостиθ(x) и ϕ(x) равновесного распределения вектора намагниченности:∂w∂ ∂wδw≡−=0δθ∂θ∂x ∂(θx )(2.2)∂w∂ ∂wδw≡−= 0,δϕ∂ϕ ∂x ∂(ϕx )(2.3)где нижний индекс обозначает производную.

Нетрудно убедиться, что вид слагаемых, отвечающих магнитной анизотропии (2.1) и магнитоэлектрическомувзаимодействию, обуславливает невозможность разделения переменных, которое было осуществлено при выводе формулы (1.3). Уравнения (2.2, 2.3) принимают общий видF1 (θxx , θ, ϕx , ϕ) = 0F (θ , θ, ϕ , ϕ) = 0,2x(2.4)xxчто делает бесперспективным поиск аналитического решения.Однако для изучения электростатических свойств доменной границы знатьточный вид зависимостей θ(x) и ϕ(x) необязательно.

Достаточно информациио симметрийных свойствах распределения вектора намагниченности, которыепроявляются в распределении вектора электрической поляризации. Изучениесвязи между геометрическими параметрами распределения вектора намагниченности в доменной границе и ее электростатическими свойствами может бытьосуществлено с помощью модели, являющейся предметом рассмотрения в данной главе.2.2МетодДоменная граница при H = 0Пусть требуется найти приближенный вид распределения вектора намагниченности внутри доменной границы. Известно, что в образцах, в которыхприсутствует эффект смещения доменных границ под действием электрического поля, направление вектора намагниченности внутри доменов не совпадает с64Рис. 2.1: Метод нахождения приближенного распределения вектора намагниченности: а —наклон оси легкого намагничивания как результат действия преобразования R; б — распределение вектора намагниченности, полученное из исходного действием того же преобразования.нормалью к поверхности образца.

Причиной этому служит одноосная и кубическая магнитные анизотропии, совместное действие которых будем приближенноописывать как эффективную одноосную анизотропию вида K cos2 θ0 , где θ0 —угол между вектором намагниченности и наклоненной относительно нормали“осью легкого намагничивания”. Ромбическую анизотропию, задающую предпочтительную плоскость разворота вектора намагниченности, на данном этапеучитывать не будем. Таким образом, мы получили задачу, аналогичную классической задаче о доменной границе, рассмотренной в разделе 1.4.1.

Разницасводится к изменению граничных условий и вида слагаемого, соответствующеговкладу анизотропии в свободную энергию.Граничные условия видоизмененной задачи могут быть получены из исходных граничных условий действием некоторого преобразования R (рис. 2.1 а).Идея метода заключается в том, что для получения приближенного решения новой задачи можно подействовать тем же преобразованием на решение исходнойзадачи во всем пространстве, как показано на рисунке 2.1 б. Это автоматически приведет к удовлетворению новых граничных условий.

Кроме того, решение65~ aРис. 2.2: К определению структуры доменной границы в присутствии магнитного поля H:— угловая зависимость плотности свободной энергии одноосной анизотропии; б — структура~ = 0; в — скручивание доменной границы под действием магнитногодоменной границы при Hполя (справа) и структура соответствующей доменной границы с учетом преобразованияграничных условий (слева).унаследует основные свойства исходного решения, такие как гладкость и топологические характеристики. При этом полученное решение, вообще говоря, небудет соответствовать минимуму свободной энергии, определяемому уравнениями (2.4), однако позволит установить качественные соотношения между видомраспределения намагниченности и электрической поляризацией доменной границы.Доменная граница при H 6= 0Действие магнитного поля H на структуру доменной границы двояко: оно,во-первых, “скручивает” ее, и, во-вторых, наклоняет вектор намагниченностивнутри доменов.

Под скручиванием1 здесь понимается изменение азимутального угла от ±π/2 (граница блоховского типа) до 0 или π (граница Нееля), такое,1Строго говоря, понятие “скрученная доменная граница” обозначает структуру доменной границы, изменяющуюся по толщине пленки и возникающую под действием полей размагничивания, созданных поверхностными магнитными зарядами. Однако поля размагничивания в этом случае оказывают на доменнуюграницу ровно то же воздействие, что и внешнее магнитное поле в рамках рассматриваемой одномерноймодели, поэтому использование термина “скручивание” представляется уместным.66что в результате направление вектора намагниченности в центре доменной границы приближается к направлению приложенного магнитного поля (или совпадает с ним). В случае достаточно сильной одноосной анизотропии скручивание является первичным эффектом по отношению к наклону намагниченностив доменах.

Причиной этого является то, что энергия одноосной анизотропииопределяется полярным углом θ и не зависит от азимутального угла ϕ (рис.2.2 а), поэтому для небольших значений напряженности магнитного поля изменением θ по сравнению с изменением ϕ можно пренебречь. Под “достаточносильной” одноосной анизотропией понимается условие K Ms H, где Ms —намагниченность насыщения: энергия анизотропии должна существенно превышать энергию Зеемана.На рисунке 2.2 б изображена доменная граница блоховского типа (плоскость рисунка совпадает с плоскостью пленки).

Она соответствует минимумуэнергии, поскольку при значениях азимутального угла ϕ = ±π/2 равна нулюкомпонента вектора намагниченности, перпендикулярная плоскости доменнойграницы. Следовательно, на доменной границе не образуются магнитные заряды, и поля размагничивания не возникают. Магнитное поле, в свою очередь,“поляризует ” границу и поворачивает вектор намагниченности так, что азимутальный угол вектора намагниченности в центре доменной границы составляет [3]:ϕ = arccos(Hx /8Ms ), |Hx | < 8Msϕ = π/2 ± π/2,|Hx | > 8Ms .(2.5)Значение угла ϕ здесь определяется конкуренцией энергии взаимодействия намагниченности с внешним магнитным полем и энергии полей размагничивания,делающих блоховскую структуру доменной границы предпочтительной.Если существует ромбическая анизотропия в плоскости пленки, то зависимость ϕ(Hx ) будет отличаться от приведенной, однако для нас важно, что онаостанется монотонной: чем больше напряженность магнитного поля Hx , тембольше отклонение вектора намагниченности от плоскости доменной границы.Наконец, в образце с наклоненной относительно нормали к его поверхностиосью легкого намагничивания приближенный вид микромагнитной структурыможет быть получен путем действия преобразования R на скрученную домен-67ную границу, как показано на рисунке 2.2 в слева.Электростатические свойстваЗная пространственное распределение вектора намагниченности, по формуле (1.1) можно вычислить распределение электрической поляризации:~ (∇ · M~ ) − (M~ · ∇)M~ ).P~ = γχe (MВ дальнейшем мы будем использовать это выражение как связь между распределениями векторов безразмерной намагниченности m~ и поляризации p~ ,опуская размерный коэффициент Γ = γχe Ms2 .

Воздействие неоднородного электрического поля на микромагнитную структуру будет задаваться соответствующим распределением плотности электрического заряда. Оно определяется какдивергенция поляризации с обратным знаком: ρe = −∇P~ . Согласно формуле(1.2), вектор электрической поляризации перпендикулярен направлению модуляции, то есть оси x, направленной от одного домена к другому. Но в этомслучае для рассмотренных выше доменных границ ρe ≡ 0, поскольку в одномерной задаче компоненты поляризации могут зависеть только от координатывдоль направления модуляции.Тем не менее, в реальном образце плотность электрического заряда отлична от нуля, поскольку образец ограничен в пространстве.

В рассматриваемомслучае речь идет о тонких пленках, то есть образец ограничен лишь вдоль оси z.Чтобы учесть это, домножим распределение электрической поляризации (1.1)на единичную функцию-прямоугольник Π(z), отличную от нуля лишь в интервале z ∈ (−h/2, h/2), где h — толщина образца. Вычисляя дивергенцию и интегрируя результат по оси z, получим, что поверхностная плотность заряда наповерхностях образца σe (x, y, ±h/2) = ±Pz (x, y, ±h/2), где Pz — z-компонентаэлектрической поляризации.68Рис. 2.3: а, б — экспериментальные изображения, полученные для образца №7 (таблица2.1): при подаче электрического напряжения U = 1500 В на электрод (1) доменная граница(2) смещается из положения равновесия [52]; в — направление вектора намагниченности вдоменах относительно кристаллографических осей для образца №7.