Топология особенностей дробно-рациональных интегрирумых систем, страница 8

Выражение для H подставим в (2.4.11):2r11 − r32 + 2r3 W22H + √ − S3 +g(S3 − g) − 2gS3 = 0,W2W2S−gS3 − g32H + (1 − s2 )− 4gs− 3g 2 = 0WW611H = ((s2 − 1)λ2 + 4gsλ + 3g 2 ).2Выражение (2.4.11) подставим в формулу для интеграла F :√1 − r32 + 2r3 Wr1√(S−g)S−F = g 2S3 −S+2W S1 .333W2WУпростим:√1 − r32 + 2r3 Wr1(S3 − g)2 +2 W S1 − √ S3 = −g2WW− r32 − 2r3 W22 W+g(S3 − g) −,W2S3 − g1 − r32 + 2r3 W1 − r32 + 2r3 Wg 2S3 −(S3 − g) S3 = g 2 −(S3 − g)2 +22WW1 − r32 + 2r3 W2+g 4 −(S3 − g) + 2g 3 ,2W211 − r32 + 2r3 WF =g 2−2W2r3 W(S3 − g) + 4g 1 −(S3 − g)+W2222A2 W,+2g −S3 − g32F = 2g(s2 − 1)λ2 + 4g 2 sλ + 2g 3 − ,λилиF = −2g(s2 − 1)λ2 + 8gcλ + 2g 3 .Теорема доказана.

ЛЕММА 2.4.2 Множество критических траекторий случая Дуллина Матвеева, полностью лежащих в гиперплоскости r2 = 0, исчерпываетсяособыми точками векторного поля v = sgrad H.62Доказательство Леммы. Рассмотрим траекторию, полностью лежащую в гиперплоскости r2 = 0. Тогда вдоль этой траектории координата поля, отвечающая переменной r2 , равна нулю. Приравняем координату sgrad H,отвечающую переменной r2 , к нулю:(sgrad H)5 = −r3∂H∂H+ r1= −r3 S1 + r1 (1 + G)S3 = 0.∂S1∂S3На гиперплоскости r2 = 0 выделим следующие случаи. Пусть r1 = 0, r2 =0, тогда интеграл площадей I2 = r3 S3 = 0. Получаем r3 = ±1, S3 = 0, и изусловия (sgrad H)5 = 0 имеем S1 = 0. Мы рассматриваем критические точкивекторного поля, то есть те точки, в которых зависимы градиенты функцийH, F, I1 , I2 .

А поэтому матрица, составленная из первых, третьих, четвертыхи шестых координат градиентов функций H, F, I1 , I2 , должна быть вырождена. Первую, третью и четвертую координаты градиентов функций H, F, I1 , I2можно взять из таблицы (2.4.2), шестую координату придется подсчитатьпри r2 = 0. Поэтому матрица, составленная из первых, третьих, четвертых ишестых координат градиентов функций H, F, I1 , I2 , при r2 = 0 примет вид100− √W 0 √2c2 W S 2 +002W 000r3 0r300Но определитель такой матрицы равен 2r32 , и он не равен нулю. Значит, приr1 = 0, r2 = 0 критических точек гамильтонова векторного поля ДуллинаМатвеева нет.В случае r1 6= 0, r2 = 0 из (sgrad H)5 = 0 и из равенства нулю интегралаплощадей получаем:1+ G(r3 ) S3 = 0, I2 = r1 S1 + r3 S3 .1 − r3263Рис. 2.1: Бифуркационная диаграмма отображения момента случая Дуллина-Матвеевапри c = 0Значит, S3 = 0, S1 = 0.

Теперь из зависимости строк таблицы (2.4.4) получаем2cr1S2 = 0, r12 + 2r3 W (r3 ) − p= 0.W (r3 )Следовательно, при r1 6= 0, r2 = 0 получаем множество точек, которые вточности совпадает с множеством критических точек из системы (2.2.5). Теперь для построения бифуркационной диаграммы в случае c = 0 необходимо найти условия совместности системы (2.4.8). Такие вычисления технические и не очень сложные, поэтому приводим лишь результат.ТЕОРЕМА 2.4.3 Бифуркационная диаграмма отображения момента дляинтегрируемой системы Дуллина-Матвеева при c = 0 состоит из следующих компонент:1) критические точки (h, f ) = (h1 , 0), (h, f ) = (h2 , 0)642) кривых, задающихся при λ, g ∈ R условием :2g((s2 − 1)λ + gs)λ2 = A2 ,H = 21 ((s2 − 1)λ2 + 4gsλ + 3g 2 ), H > h1 ,F = −2g(s2 − 1)λ2 + 2g 3 .2.5Критические окружности и их невырожденность2.5.1Количество критических окружностей в прообразе точек кривых бифуркационной диаграммы при c = 0В этом пункте мы рассчитаем количество критических окружностей в прообразе каждой точки бифуркационной диаграммы.ТЕОРЕМА 2.5.1 В случае Дуллина-Матвеева при c = 0 в прообразе1) каждой точки кривых бифуркационной диаграммы γ1 , β2 , α1 , β1 , α2 и γ2лежит ровно по одной критической окружности,2) общей точки кривых γ1 и γ2 лежит одна точка из M4 ,3) пересечений β2 ∩α1 , β2 ∩α2 и β1 ∩α2 лежит по две критические окружности.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Из предыдущего пункта имеем следующее представление для критических точек отображения момента65r12 + r22 + r32 = 1,r1 S1 + r2 S2 + r3 S3 = 0,√Wr2,g=S+3r S −r S2 11 2S3 − gλ=,Wr2 (S3 − 2g)S2 =,2W2g((s2 − 1)λ + gs − 2c)λ2 = 1.Для каждого g и λ посчитаем количество критических окружностей, удовлетворяющих вышеуказанной системе.

Получаем:S3 = g + λW, S2 =r1 (λW − g)1r2 (λW − g), S1 =− √ .2W2Wλ W(2.5.1)Следовательно, уравнение совместности системы можно свести к уравнениюна сфере Пуассона:λr1 = p[(1−r32 )(λW (r3 )−g)+2r3 W (r3 )(g +λW (r3 ))] =: f (r3 ). (2.5.2)2 W (r3 )Теперь рассмотрим точки пересечения гладкой плоской кривой r1 = f (r3 )и окружности r12 + r32 = 1 и разделим эти точки на три типа:1) точки, в которых кривая r1 = f (r3 ) входит“ во внутренность круга”r12 + r32 6 1,2) точки, в которых кривая выходит“ во внешность круга,”3) точки, в которых кривая лишь касается окружности, оставаясь вне иливнутри окружности.Заметим, что точкам типа 3) соответствуют особые точки векторного поляsgrad H. Мы рассматриваем лишь вырожденные точки отображения момента66ранга 1 — без критических точек ранга 0.

Поэтому ни при каких допустимыхзначениях интегралов g и λ точек типа 3) получиться не может. Следовательно, возможны лишь точки типов 1) и 2), причем в равных количествах. Тоесть если при каких-то g и λ у нас k точек типа 1), то и k точек типа 2). Ипри этом в прообразе лежит k критических окружностей.Сделаем еще одно замечание. Возьмем какую-то критическую точку бифуркационной диаграммы, посчитаем количество критических окружностей,висящих “ над этой точкой. Пусть их оказалось k штук. Теперь начинаем”гладко передвигаться по кривой бифуркационной диаграммы на уровни более высокой энергии. Тем самым мы гладко меняем как параметры g и λ таки уравнение кривой r1 = f (r3 ).

При этом количество критических окружностей меняться не должно. В противном случае для кривой r1 = f (r3 ) возникали бы точки третьего типа пересечения с окружностью r12 + r32 = 1. Итак,на каждой гладкой кривой бифуркационной диаграммы количество критических окружностей строго постоянно, причем равно количеству окружностейдля критических значений с высокой энергией.Рассмотрим точку на кривой α1 и устремим ее на высокий уровень энергии, что будет характеризоваться условиями g → +0, λ → +∞, gλ3 = O(1).Уравнение кривой r1 = f (r3 ) примет вид:pλ W (r3 )+ o(1).r1 = (1 − r32 + 2r3 W (r3 ))2A2Пересечения с окружностью r12 + r32 = 1 ровно два: одно — точка типа 1),другое — типа 2).

Таким образом, в прообразе каждой внутренней точкикривой α1 лежит одна критическая окружность.Теперь рассмотрим точку на кривой α2 . Устремим ее на бесконечность.Это будет характеризоваться условиями1g → +∞, λ → +0, gλ = √ + o(1).2s67В таком случае уравнение кривой r1 = f (r3 ) примет вид:2r3 W (r3 ) + r32 − 1p+ o(1).r1 =2 2sW (r3 )Точек пересечения с окружностью r12 + r32 = 1 опять только две. Таким образом, в прообразе каждой внутренней точки кривой α2 лежит тоже лишь однаокружность.Для кривой γ2 имеем1g → +∞, λ → −0, gλ = − √ + o(1).2sУравнение кривой r1 = f (r3 ) имеет вид:r1 = −2r3 W (r3 ) + r32 − 1p+ o(1).2 2sW (r3 )Точек пересечения с окружность опять только две.

В прообразе каждой внутренней точки кривой γ2 лежит одна окружность.Поскольку наша диаграмма по своей структуре симметрична относительнопрямой f = 0, значит, в прообразе точек кривых β1 , β2 и γ1 тоже лежит ровнопо одной критической окружности.Теорема доказана.2.5.2Явное интегрирование вдоль критических окружностейВыпишем квадратуры для решения системы Дуллина-Матвеева вдоль критических окружностей. Вдоль таких решений координату r3 можно взятьв качестве параметра.

Остальные координаты объемлющего 6-мерного пространства выражаются через r3 по формулам (2.5.1), (2.5.2). Получаемp1 − r32 − f 2 (r3 )pr˙3 = r2 S1 − r1 S2 = − p=−.λ W (r3 )λ W (r3 )r268Следовательно,vu221ut (r3 + s)(1 − r3 ) − (r3 + s)f (r3 ).r˙3 = −λ(r3 + s)2Многочлен в числители под корнем имеет шестую степень по r3 .2.5.3Индексы некоторых критических окружностейПри исследовании интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы важным является не только найти критические окружности,но и указать их индекс. Знание индекса критической окружности помогает,допустим, описать топологию слоений Лиувилля в окрестности этой окружности.Формулы для гамильтониана и первого интеграла (2.1.1) системы ДуллинаМатвеева довольно сложные.

Поэтому посчитать индекс каждой критическойокружности оказалось сложной задачей. Однако, удалось найти индекс однойкритической окружности.УТВЕРЖДЕНИЕ 2.5.1 При c = 0 одна окружность в прообразе кривой α2имеет индекс 1.Доказательство Утверждения.

При c = 0 рассмотрим критическуюточку ξ, имеющую на сфере Пуассона координаты r1 = 0, r2 = 1, r3 = 0.Согласно теореме 2.4.2 имеем:r1 = 0, r2 = 1, r3 = 0,S2 = 0,√SS=−2s,1 38s34S3 =.2s2 − 169Выбираем точку, в которой S1 < 0, а S3 > 0. Тогда, подсчитав параметрыg = S3 /2 > 0 и λ = S3 /(2s) > 0 для точки ξ, легко понять, что эта точкалежит на кривой α2 , причем F (ξ) > 0.Таблица градиентов интегралов системы в точке ξ имеет вид:1H:S11−0√F : −2 s 0S12+1−√ 0s4s2S3234s2S322s2 − 14s3S32s2 − 1 S13− √ 0 S3+√2s3ssI1 :000010I2 :010S10S3Для упрощения подсчете индекса интеграла F на изоэнергетической поверхности Q3h (ξ) в точке ξ воспользуемся [21, том 2, лемма 5.1].

Очевидналинейная комбинация градиентов grad F −S3 grad H = 0. Поэтому квадратичная форма, определяемая гессианом функции F̃ = F |Q3h в точке ξ, являетсяограничением формы G = d2 F − S3 d2 H на касательное пространство Tξ Q3h ,где d2 H и d2 F — гессианы интегралов H и F как функций в шестимерномпространстве. После несложных подсчетов получаем:1002d H|ξ = 00000100000004s2 + 104s2000000002s2 − 10 S32s3701√ 02s s002s2 − 1S32s3 ,1√ 2s s 023 − 5s S324s4√4 s1 2S3 0√00Ss3 0 2S30000 √24 s3(2s−1)3120− √ 0 S323 S32s2ss2d F |ξ = ,S31 0√√000−s2ss 00000022 13(2s − 1)11 − 8s √0 S3200 S3332s8s4s√4 s1 S√000 3S3s  0 S30000 √224 s5−4s12s−12√0−0S323G|ξ =  S3.4sss 01√0−000s00000 02s2 − 15 − 8s2  1√0 S3200 S333s8s4sРассмотрим ортогональное дополнение относительно стандартной евклидовой формы в R6 к градиентам H, I1 , I2 из таблицы (2.2.1).

Выберем в этом71пространстве базисные векторы 1e1 =  √ , −S3 , 0, 0, 0, 1 ,S3 s√ S3 2 s, 0, 1, 0, 0 ,e2 = − ,2s S32 4s + 1e3 = S32 2 √ , 0, 1, 0, 0, 08s sТогда ограничение формы G = d2 F − S3 d2 H на касательное пространствоTξ Q3h можно представить в координатном виде как:42221)S38s − 1S 3 4s − s + 1 − (2s +3√S 33424s4ss s24 (2s2 + 1)S34s−13S3.GQ3h = 3−√√−S323 s4sss16S4224− 64s + 52s − 18s − 13S3√−S35S334s264s516s3 sИтак, матрицы GQ3h имеет по одному положительному, отрицательному инулевому собственное значение.Утверждение доказано.