Топология особенностей дробно-рациональных интегрирумых систем, страница 11

Ниже“ точки”фокус-фокус индекс пересечения циклов λ2 , λs равнялся 1. Поэтому с учетомпредыдущей леммы получаем, что вдоль пути выше“ точки фокус-фокус”λ2 − λ1 = λs ± λs .Значит, λ2 − λ1 = 2λs .Теперь для доказательства леммы осталось определить знак во второмуравнении (2.7.1). Для этого воспользуемся соображениями ориентации. Пустьλ1 + λ2 = 2ελ0 , где ε = ±1. Из рис. 2.6 видно, что циклы λ0 и λs ориентированы одинаково ниже“ и выше“ точки фокус-фокус. Более того, ниже“”””точки фокус-фокус пары циклов (λ0 , λs ) и (λ1 , λs ) ориентированы одинаково.

Выше“ же точки фокус-фокус пара циклов (λ0 , λs ) выражается через”89(λ1 , λs ) при помощи матрицы переходаε ε.0 1Ее определитель равен ε, и должен быть положительным. Значит, ε = 1, ипункт 4) леммы доказан. Пункт 5) тривиален.Лемма доказана. 2.7.2Допустимые системы координат и матрицы склейкиВведем допустимые системы координат в окрестности каждой особенности так, как показано на рис. 2.7. Циклы µ1 и µ2 — однозначно определенныеРис. 2.7: Допустимые системы координат в окрестности бифуркаций.

Бифуркационныйкомплекс представлен в виде склейки трех листов. Границы склейки выделены более жирной линиейциклы, стягивающиеся в точку в окрестности атома A. µ — элемент допустимого базиса в окрестности атома B. Соответствующие матрицы склейкинарисованы на рис. 2.8.По матрицам склейки не сложно посчитать метки. Напомним, что h1 и90Рис. 2.8: Матрицы склейки. Бифуркационный комплекс представлен в виде склейки трехлистов. Границы склейки выделены более жирной линиейh2 — критические уровни гамильтониана (см. рис.

2.2), hZ —уровень энергииточки пересечения кривых α2 и β2 , hk — уровень энергии общей точки кривыхα1 и α2 (β1 и β2 ). ПолучаемТЕОРЕМА 2.7.1 Инвариант Фоменко-Цишанга изоэнергетических поверхностей системы Дуллина-Матвеева при c = 0 имеют типа 1 при h ∈(h1 , h2 ) ∩ (h1 , hk ), типа 2 при h ∈ (h2 , hk ) (если h2 < hk ), тип 3 при h ∈(hk , h2 ) (если hk < h2 ), типа 4 при h ∈ (h2 , hZ ) ∩ (hk , hZ ) и тип 5 приh > hZ (см.

рис. 2.9).91Рис. 2.9: Меченые молекулы слоений Лиувилля изоэнергетических поверхностей системыДуллина-Матвеева при c = 0.92Глава 3Шар Чаплыгина с ротором наплоскостиРассматривается задача о качении уравновешенного динамически несимметричного шара с ротором по горизонтальной шероховатой плоскости. Дляисследования динамики системы и нахождения особых решений построеныбифуркационная диаграмма отображения момента и бифуркационный комплекс.

Описаны критические окружности и исследована их устойчивость. Показано, что добавление ротора может стабилизировать неустойчивые и дестабилизировать устойчивые критические решения.3.1Уравнения движения и первые интегралыРассмотрим задачу о качении уравновешенного динамически несимметричного шара по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости. В такомслучае скорость точки контакта равна нулю. Движение шара в проекциях наглавные оси, связанные с шаром, описывается уравнениямиṀ = M × ω,M = Jω − D(γ, ω)γ, J = I + DE,γ̇ = γ × ω,D = ma2 > 0,E = ||δij ||.93(3.1.1)где ω — вектор угловой скорости, γ — орт вертикали, I = diag(I1 , I2 , I3 ) —тензор инерции шара относительно его центра, m — масса шара, a — егорадиус, D = ma2 .

Вектор M имеет смысл кинетического момента шара относительно точки контакта. Как показал С.А.Чаплыгин [33] данная системаобладает четырьмя первыми интеграламиH = 21 (M , ω), N = (M , M ),C = (M , γ),K1 = (γ, γ) = 1.Теперь закрепим внутрь шара ротор. Тогда уравнения (3.1.1) можно обобщитьṀ = (M + K) × ω,(3.1.2)γ̇ = γ × ω,где K — постоянный вектор момента ротора. Легко проверить, что система(3.1.2) допускает интегралыH = 21 (M , ω),N = (M + K, M + K),(3.1.3)C = (M + K, γ), K1 = (γ, γ) = 1.Согласно [34], системы (3.1.1) и (3.1.2) являются конформно - гамильтоновыми с гамильтонианом H и приводящим множителемpµ(M , γ) = 1/ 1 − D(γ, J −1 γ).(3.1.4)Скобку Пуассона легко выписать в координатах L = (M + K)µ, γ:{Li , Lj } = εijk (Lk − D det J((L, γ)µ2 − (γ, J−1 K))γ k ),(3.1.5){Li , γ j } = εijk γ k ,{γ i , γ j } = 0.При этом интегралы C и K1 являются функциями Казимира скобки.

Онирасслаивают фазовое пространство R3 (M) × S2 (γ) на четырехмерные симплектические листыM4c = {C = c, K1 = 1}.94Следует отметить, что скобка (3.1.5) при D = 0 совпадает со скобкойПуассона в коалгебре e(3)∗ , а приводящий множитель (3.1.4) обращается вконстанту. Тем самым, уравнения (3.1.1) и (3.1.2) становятся гамильтоновыми без замены времени.

Более того, система (3.1.1) при D = 0 совпадает суравнениями для случая Эйлера, а система (3.1.2) при D = 0 — для случаяЖуковского [31].Будем рассматривать лишь случай различных собственных значений тензора I. При этом для простоты упорядочим главные моменты инерции I1 <I2 < I3 . Компоненты ротора K = (k1 , k2 , k3 ) и параметр D могут обращатьсяв ноль.3.23.2.1Критические точки отображения моментаКритические окружностиОпишем критические окружности на каждом уровне интеграла площадейc ∈ R.

Для этого ограничим интегралы H и N на симплектическое многообразие M4ce := H|M4 Ne := N |M4Hccи введем отображение моментаe ×Ne : M4c → R2 (h, n).H(3.2.1)Согласно теореме Лиувилля, неособые поверхности уровня отображения(3.2.1) будут объединениями двумерных торов. На особых же слоях существуют точки, где ранг дифференциала отображения (3.2.1) меньше двух.Поскольку многообразие M4c симплектическое, неподвижные точки векторe находятся из соотношения dHe = 0.

Тем самым, критиченого поля sgrad H95ские точки отображения (3.2.1) либо неподвижные, либо ранга один, гдеe = 2λdHedN(3.2.2)для некоторого λ ∈ R. Во втором случае особые точки не изолированы (см.раздел 1.2.1). Через каждую из них проходит целая траектория точек рангаодин. Причем коэффициент λ является интегралом этой траектории, а самитраектория замкнута.Для случая шара Чаплыгина с ротором будем различать два типа критических окружностей. Для окружностей первого типа λ 6= 0, для второготипа λ = 0.Критические окружности первого типа находим следующим образом.

Фиксируем λ 6= 0 и решаем уравнение (3.2.2). Для этого находим точки, где зависимы dN − 2λdH, dC, и dK1 , и ограничивает их на M4c . Градиенты прощевыписывать в координатах M , γ. Следует отметить, что вдоль критическихокружностей первого типа вектора M + K и γ независимы. Так уравнение(3.2.2) становится эквивалентно условию Jω + K = λω. Вдоль критическихокружностей второго типа M + K параллелен γ.

Тогда из (3.1.3) следует,что M + K = cγ. Вектор угловой скорости ω им не коллинеарен.При отображении момента (3.2.1) каждое критическая окружность переходит в точку. Это облегчает описание критических окружностей. Выпишемдве системыJω + K = λω, c = (λ − D)(γ, ω),n = λ2 ((ω, ω) − (γ, ω)2 ) + c2 , 2h = (Jω, ω) − D(γ, ω)2 ,96(3.2.3)M = cγ − K,n = c2 ,D(J−1 M , γ)2−1. 2h = (J M , M ) +1 − D(γ, J−1 γ)(3.2.4)Здесь h, n, c — значения интегралов H, N, C соответственно. Из (3.1.3) получаемЛЕММА 3.2.1 Вдоль критической окружности первого типа для некоторого λ 6= 0 имеет место (3.2.3).

Вдоль критических окружностей второготипа справедливо (3.2.4).Тем самым, для описания критических окружностей первого типа необходимо найти h, n, c, λ, где система (3.2.3) совместна относительно ω, γ. Дляописания окружностей второго типа, необходимо исследовать совместностьсистемы (3.2.4) относительно ω, γ. Совместность обеих систем обсуждаетсяниже.Критические окружности первого типа представляют собой перманентные вращения вокруг неподвижного вектора угловой скорости ω. Движениявдоль них допускают наглядную интерпретацию. Они представляют собойтакие движения, когда скорость точки контакта и вектор угловой скоростипостоянны в неподвижной системе координат.Динамически несимметричный шар Чаплыгина с ротором и без допускаетвращение с неподвижной точкой контакта.

Вдоль таких решений вектора ωи M + K вертикальны.Критические окружности второго типа описаны в работе [35]. Там показана связь этих решений с движением свободного ротора. Так же выведеныуравнения и проиллюстрированы движения точки контакта.973.2.2Неподвижные точкиРассмотрим неподвижные точки векторного поля (3.1.2).

Разобьем все такие точки на точки первого рода, в которых ω 6= 0, и точки второго рода,где ω = 0.ЛЕММА 3.2.2 Точки первого рода изолированы. В каждой из них n = c2и ранг отображения момента (3.2.1) равен нулю. При c2 < (K, K) объединение точек второго рода является окружностью, в каждой из них ранготображения (3.2.1) равен единице.Заметим также, что точки второго рода лежат на одном совместном уровнеинтегралов H и N . А именно h = 0, n = (K, K).3.3Бифуркационная диаграмма3.3.1Бифуркационные кривыеДля описания бифуркационной диаграммы отображения (3.2.1) найдемнаборы h, n, когда совместна либо система (3.2.3), либо система (3.2.4). Отметим, что реальные движения возможны лишь в области n > c2 , поэтому набифуркационной диаграмме будет присутствовать ограничительная прямаяn = c2 .ТЕОРЕМА 3.3.1 Бифуркационная диаграмма отображения (3.2.1) состоит из объединения981) набора кривых σk22k32c2k122++−n(λ) = λ  + c2 , n > c 2 ,2222(J1 − λ)(J2 − λ)(J3 − λ)(D − λ)2h(λ) =k12 J1(J1 − λ)2+k22 J2(J2 − λ)2+k32 J3(J3 − λ)2Dc2−(D − λ)2.(3.3.1)2) отрезка σ0 при c = 0n = 2Dh − D(I−1 K, K), где n ∈ [0, D2 (I−1 K, I−1 K)],3) луча σi , если ki = 0n = 2Ji h −kj22kj22XXDcc ,− Ji, где n > c2 + Ji2 −IiIj − Ii(Ij − Ii )2 Ii2j6=ij6=i4) отрезка τ на прямой n = c2 .5) точки T0 h = 0, n = (K, K) при c2 6 (K, K).Следует отметить, что количество кривых σ может быть от двух до шести.