Топология особенностей дробно-рациональных интегрирумых систем, страница 12

Будем различать их интервалами для λ. Набор кривых σ, отрезок σ0 илучи σ1 , σ2 , σ3 отвечают критическим окружностям первого типа. Образ критических окружностей второго типа лежит на отрезке τ . Прообраз точки T0состоит из неподвижных точке второго рода.Неподвижные точки первого рода отображаются в точки пересечения кривых σ, либо отрезка σ0 и прямой n = c2 . Это легко понять следующим образом. В каждой неподвижной точке первого рода имеет место Jω + K = λωдля некоторого λ ∈ R. Поэтому в них справедливы система (3.2.3) и формулы(3.3.1).Доказательство теоремы 3.3.1.

Рассмотрим критические окружности первого типа. Из системы (3.2.3) при λ 6= D получаем набор кривых σ.99Рис. 3.1: I = diag(3, 6.5, 10), K = (0.8, 0.7, 0.5), D = 2, c = 0Вдоль критических окружностей первого типа ω и γ независимы. Поэтомуусловие совместности системы (3.2.3) (γ, ω)2 < (ω, ω) эквивалентно n > c2 .Из (3.2.3) при c = 0 для λ = D на бифуркационной диаграмме получаемдополнительный отрезок σ0 . Луч σi соответствует λ = Ji . Образ критическихокружностей второго рода лежит на прямой n = c2 и образует отрезок.Теорема доказана.

Рис. 3.2: I = diag(3, 6.5, 10), K = (0.8, 0.7, 0.5), D = 5, c = 0.3Область возможных движений изображена темным цветом (см. рис. 3.1,3.2). Уходящие на бесконечность два клюва получаются по формулам (3.3.1)при λ ∈ (J1 , J2 ) и λ ∈ (J2 , J3 ). Образ неподвижных точке показаны крупными точками. В случае Жуковского D = 0, поэтому отрезок σ0 совпадает сточкой.100Бифуркационная диаграмма для случая Жуковского, когда все ki 6= 0 была впервые построена Харламовым [6].

Там же произведен топологическийанализ. А бифуркационная диаграмма в случае, когда ротор K = 0 впервые была получена Килиным [35]. В этой работе был проведен качественныйанализ движения шара Чаплыгина.Несложно видеть из (3.2.3), каждой точке кривых σ отвечает одна критическая окружность. Это перманентное вращение вокруг постоянного вектораугловой скорости ω = −(J − λE)−1 K. В таком случае решение выписываетсяявноγ=(γ, ω)ω + (ξ 1 cos(|ω|t) − ξ 2 sin(|ω|t))(ω, ω)s1−(γ, ω)2,(ω, ω)(3.3.2)где ξ 1 и ξ 2 — два ортогональных орта, что [ξ 1 , ξ 2 ] = ω/|ω|. Выражения для(γ, ω) и (ω, ω) можно получить из системы (3.2.3).Каждой точке отрезка σ0 и лучей σ1 , σ2 , σ3 соответствует по две критические окружности.

Это тоже перманентными вращениями вокруг постоянногоω.Решения в прообразе отрезка τ были исследованы Килиным [35]. В этой работе показано, что уравнения (3.1.2) в прообразе отрезка τ совпадают с уравнениями Жуковского-Вольтерра, описывающие движения свободного ротора[31].3.3.2Устойчивость критических окружностей и бифуркационныйкомплексИсследуем боттовость дополнительного интеграла и устойчивость критических окружностей (см. раздел 1.2.1). Введем следующее выражения(λ − D) det(J − λE)n0λ101(3.3.3)ТЕОРЕМА 3.3.2 В прообразе каждой внутренней точки1) кривых из набора σ лежит одна устойчивая критическая окружность, если выражение (3.3.3) положительно, и одна неустойчивая, еслиэто выражение отрицательно.2) отрезка σ0 лежат две устойчивые критические окружности.3) луча σi лежат две устойчивые критические окружности если i = 1, 3,и две неустойчивые — если i = 2.4) отрезка τ лежат либо неподвижные точки, либо устойчивые критические решения.

Эти критические решения являются невырожденнымиустойчивыми критическими окружностями при c 6= 0.Рис. 3.3: Бифуркационные комплексы, K = (1, 1, 1), I = diag(1, 2, 3), D = 1102ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Вдоль критических окружностей первого типаверноdN = β1 dK1 + β2 dC + β3 dH,гдеβ1 = −D2 (γ, ω)2 , β2 = −2D(γ, ω), β3 = 2λ.Определим матрицуG = d2 N − β1 d2 K1 − β2 d2 C − β3 d2 H.Двумерное пространство, ортогональное градиентам (3.1.3) и трансверсальное векторному полю (3.1.2), натянуто на вектора(λ − D)(γ, ω)ω + bγγ×ω , r2 = ,r1 = ω − (γ, ω)γ0где b = D(γ, ω)2 − λ(ω, ω).Обозначим через Ĝ ограничение G на < r1 , r2 > как квадратичную форму.Согласно разделу 1.2.1, критическая окружность устойчивая, если det Ĝ > 0,и неустойчивая, если det Ĝ < 0.

Вдоль критических окружностей первоготипа получаем2((ω, ω) − (γ, ω)2 )2det Ĝ =(1 − D(γ, J −1 γ)) det Jm(λ, γ, ω),где функция m(λ, γ, ω) при λ 6= D, J1 , J2 , J3 зависит только от первого аргумента и совпадает с выражением (3.3.3). Это доказывает первый пункттеоремы.При λ = D, c = 0 функцияm(λ, γ, ω) = 2D(γ, ω)2 det I > 0.103Тем самым, в прообразе отрезка σ0 лежат устойчивые критические окружности.

В критических точках, отвечающих лучу σi имеемY22(Ij − Ii ).m(λ, γ, ω) = 2Ji Ii ωij6=iОткуда det Ĝ > 0 для i = 1, 3 и det Ĝ < 0 для i = 2.Исследуем критические окружностей второго типа. В них справедливоdN = 2c dC − c2 dK1 .ОпределимG = d2 N − 2c d2 C + c2 d2 K1 .Двумерное пространство порождено векторамиω − (γ, ω)γγ×ω , r2 = .r1 = D(γ, ω)(ω − (γ, ω)γ)0Опять, пусть Ĝ будет ограничением G на < r1 , r2 > как квадратичная форма.Тогдаdet Ĝ = 4((ω, ω) − (γ, ω)2 )2 (c + D(γ, ω))2 > 0.Легко понять, что во внутренних точках отрезка τ выражение c+D(γ, ω) 6= 0при c 6= 0.

Значит, критические окружности второго типа устойчивые.Теорема доказана. Проиллюстрируем результат с помощью бифуркационного комплекса 1.2.2.Теорема 3.3.2 позволяет описать его топологию (см. рис. 3.3).Границы комплексов изображены жирными линиями. В их прообразе лежат устойчивые периодические решения. В прообразе тонких сплошных линий лежат связные особые слои, содержащие неустойчивые критической траектории. Соответствующие линии на бифуркационных диаграммах тоже либожирные, либо тонкие. Образ неподвижных точек помечен жирными точками.Верхний левый комплекс соответствует c = 0. Далее c увеличивается.1043.3.3Стабилизация и дестабилизация критических решенийВ данном разделе остановимся на механической интерпретации полученных результатов.

А именно воспользуемся соображением, что невырожденным критическим окружностям индекса 0 или 2 соответствуют устойчивыерешения, а критическим окружностям индекса 1 — неустойчивые.В работе [33] исследована устойчивость критических окружностей для задачи (3.1.1). Там показано, что в случае нулевой константы площадей особыепериодические решения представляют собой вращения вокруг главных осей.Причем вращение вокруг средней оси неустойчиво, а вокруг наибольшей инаименьшей — устойчиво. Возникают естественные вопросы, возможно листабилизировать вращения вокруг средней оси, добавив в шар ротор, параллельный этой оси? А так же, дестабилизируются ли устойчивые вращения,если ротор направить вдоль наибольшей или наименьшей осей?Подробно разберем случай c = 0. Бифуркационная диаграмма отображения (3.2.1) при K = 0 на M40 состоит из трех лучейσi : h =n, i = 1, 2, 3.2JiВ прообразе точек лучей σ1 и σ3 лежит по две устойчивые критическиеокружности, в прообразе σ2 — по две неустойчивые (см.

рис. 3.4).Теперь к шару добавим ротор, параллельный средней оси K = (0, k, 0).На бифуркационной диаграмме отображения (3.2.1) (см. рис. 3.4) в прообразеболее жирных кривых лежат устойчивые критические решения. ИмеемУТВЕРЖДЕНИЕ 3.3.1 Пусть K = (0, k, 0). Тогда в прообразе каждойточки дугσ, λ ∈ (−∞, 0) ∪ (D, J1 ) ∪ (J3 , +∞)105Рис. 3.4: Бифуркационная диаграмма при K = (0, k, 0), c = 0(см. рис. 3.4) лежит по одной, а в прообразе отрезка σ0 по две устойчивые критические окружности.

Решения, отвечающие этим окружностям,являются равномерными вращениями вокруг средней оси инерции.При K = 0 перманентные вращения вокруг средней оси инерции былинеустойчивы. Добавив же ротор вида K = (0, k, 0), некоторые из таких вращений стабилизировались. Без ограничения общности положим k > 0. Тогдав прообразе дугσ, λ ∈ (J1 , J2 ) ∪ (J2 , J3 )лежат неустойчивые вращения вокруг средней оси, причем kkω2 ∈ −∞, −∪, +∞ .I2 − I1I3 − I2В прообразе же дугσ, λ ∈ (−∞, 0) ∪ (D, J1 ) ∪ (J3 , +∞)и отрезка σ0 лежат устойчивые вращения. Они соответствуютkk,.ω2 ∈ −I2 − I1 I3 − I2Тем самым, перманентные вращения вокруг средней оси при небольшой угkkловой скорости ω2 ∈ − I2 −I1 , I3 −I2 стали устойчивыми.106Теперь к шару добавим ротор и направим его вдоль устойчивой наименьшей оси K = (k, 0, 0).

Бифуркационная диаграмма отображения момента ибифуркационный комплекс представлены на рис. 3.5. ПолучаемРис. 3.5: Бифуркационные комплекс и диаграмма при K = (k, 0, 0), c = 0УТВЕРЖДЕНИЕ 3.3.2 Пусть K = (k, 0, 0). Тогда в прообразе каждойточки дугσ, λ ∈ (0, D) ∪ (J2 , J3 )(см. рис. 3.5) лежит по одной неустойчивой критической окружности. Решения, отвечающие этим окружностям, являются равномерными вращениями вокруг наименьшей оси инерции.Так часть перманентных вращений вокруг средней оси стали неустойчивыми. А именно, положив k > 0, те вращения, где kkkkω1 ∈ − , −∪ −,−.I1 J1I3 − I1 I2 − I1107Глава 4Резиновый шар на плоскостиКлассической является задача о движении динамически несимметричногоуравновешенного шара (шара Чаплыгина) по горизонтальной плоскости.

Мыпредполагаем, что мгновенная скорость точки контакта равна нулю. В данной главе исследуются движения шара Чаплыгина при наличии еще одногоограничения — проекция вектора угловой скорости на нормально к плоскостидолжна равняться нулю. В дальнейшем такой шар будем называть резиновым (Rubber Ball). Такая модель была введена в работе [36].4.14.1.1Уравнения движения и первые интегралыРезиновый шар на плоскостиРассмотрим задачу о качении уравновешенного динамически несимметричного резинового шара по горизонтальной плоскости. Как уже предположено ранее, равна нулю не только скорость точки контакта шара с плоскостью, но и проекция вектора угловой скорости на вертикаль. То есть вкоординатах, жестко связанных с теломv + ω × r = 0, (ω, n) = 0.108(4.1.1)Здесь ω, v — угловая скорость и скорость центра масс шара, n — орт, направленный вертикально вниз, r — вектор из центра масс в точку контакта.Движения шара в проекциях на главные оси, связанные с шаром, описываются уравнениями Jω̇ = Jω × ω + µn, ṅ = n × ω,(Jω × ω, J−1 n),µ=−(n, J−1 n)(4.1.2)где J = I + DE, I = diag(I1 , I1 , I3 ) — тензор инерции шара относительно егоцентра, E — единичная матрица, D = mR2 , m и R — масса и радиус шара.Будем предполагать, что главные моменты инерции различны: 0 < I1 < I2 <I3 .Очевидным образом система (4.1.2) эквивалентна системе Веселовой [37],описывающей движение твердого тела с неподвижной точкой при наличиисвязи (ω, n) = 0.