Стабилизация турбулентной спирально-волновой динамики возбудимых сред, страница 2

Компоненты k7можно представить в виде конечных разностей на сетке:kx [m, n] = φ[m + 1, n] − φ[m, n],ky [m, n] = φ[m, n + 1] − φ[m, n].Порядок суммирования градиента фазы по ячейкам показан на рис. 1:Рис. 1 Порядок суммирования значений градиента фазы при поиске фазовыхсингулярностей.Интеграл (6) можно выразить через так называемый оператор конволюции:n = [k × ∇] ∝ ∇x ⊗ kx + ∇y ⊗ kyЗдесь ⊗ — оператор конволюции, а ∇x и ∇y — ядра конволюции. Конкретный вид ядер зависит от того, каким методом будет аппроксимироваться интеграл и по какому количеству ячеек будет проводиться интегрирование. В диссертационной работе мы использовали ядра следующего вида:⎡⎤⎡⎤−1/2 0 1/21/2 01/20 00 ⎦,∇x = ⎣ −1 0 1 ⎦ , ∇y = ⎣−1/2 0 1/2−1/2 0 − 1/2что соответствует суммированию по восьми соседним ячейкам.Здесь необходимо отметить, что вовсе не обязательно любой фазовойсингулярности соответствует спиральная волна (обратное, однако, верно). Сингулярности могут появляться в среде также в виде небольших«обрывков» волнового фронта и исчезать.Временна́я динамика фазовых сингулярностей впоследствии будет использована как критерий развития в среде пространственно-временногохаоса и подавления спирально-волновой турбулентности.Главы со второй по пятую включительно содержат оригинальные результаты.8Во второй главе приводится аналитическое исследование системы(1).

Рассматривается система с внешним воздействием. Обсуждаются оптимальные параметры такого воздействия и методики их подбора. В данной главе также показана принципиальная возможность выведения системы из состояния спирально-волновой турбулентности слабым почтиточечным воздействием.Рассмотрим вначале сосредоточенную систему, образованную из системы (1) без внешнего воздействия путем отбрасывания оператора Лапласа. Тогда получим следующие два простых уравнения:u̇ = −f (u) − ν,v̇ = g(u, v)(3u − v).(7)Функции f (u) и g(u, ν) имеют тот же вид, что и в соотношении (2), тоесть состоят из трех линейных участков. Таким образом, фазовая плоскость системы (7) делится прямыми u = u1, u = u2 и v = v1 на три части,которые мы обозначим I, II и III.

Целесообразно рассматривать исследуемую систему отдельно в каждой из указанных областей. Перепишемсистему (7) в векторном виде:(u̇, v̇) = F(u, v),Рассчитаем значения дивергенции потока F в каждой из трех областей. Несложно показать, чтоdiv(FI ) = −20 − G3 < 0,div(FII ) = 3 − G1 > 0,div(FIII ) = −15 − G2 = −16 < 0.Таким образом, в области III система консервативна, но, как видноиз рис. 2, в целом она оказывается диссипативной, т.к. из области IIIфазовые траектории всегда уходят либо в область I либо в область II.Анализ на стационарные точки показывает, что в области I есть однатакая точка (0, 0), в области II стационарных точек нет, и в области III— еще одна точка (5/6, 5/2). Собственные значения матрицы линеаризации — действительные отрицательные числа: λ1,2|(0,0) = 1/2(−20 − G3 ±9(20 + G3 )2 − 92G3 ) (где G3 > 0), и λ1,2|(5/6,5/2) ≈ −14.8, −1.2 .

То естьобе стационарные точки являются устойчивыми узлами.В касательном пространстве системы имеется три независимых векторных поля скоростей (u̇, v̇) и довольно сложно предсказать, как поведет себя фазовая траектория с начальными условиями, близкими кграницам между областями I,II и III. Значения управляющих параметров были фиксированы: G1 = 0.01 и G3 = 0.1. На представленном нижерисунке показано векторное поле скоростей системы (7) (u̇, v̇) в фазовомпространстве (u, v), и показана одна фазовая траектория с начальнымусловием (1.5, 0).Рис.

2 Поле скоростей системы (7) в фазовом пространстве. Жирной,полужирной и тонкой линиями обозначены части поля I, II и III,соответственно. Узлы обозначены маленькими спиралями.Добавим теперь к компоненте u системы (7) оператор Лапласа и перейдем, таким образом, от сосредоточенной к реакционно-диффузионнойсистеме. Для того чтобы понять как именно появление лапласиана влияет на поведение среды, введем малый коэффициент α как:∂u= αu − f (u) − v,∂t∂v= g(u, v)(ku − v).∂tЧисленное исследование этой системы при G1 = 0.01 и G3 = 0.1 показало, что при α 0.01 распространение волн в среде невозможно –10волновые фронты затухают. При α = 0.2 наблюдается процесс дестабилизации и распада волнового фронта одиночной спиральной волны,т.е.

волновой фронт претерпевает разрыв и постепенно распадается нанебольшие куски. Они, в свою очередь, могут либо затухать, либо образовывать вторичные спирали, которые также постепенно разрушаются.Вообще говоря, не вполне ясно, необходимо ли условие неустойчивостиволнового фронта, чтобы можно было утверждать, что система находится в состоянии спирально-волнового хаоса. Простейшая неустойчивостьпоявляется, когда спиральные волны начинают блуждать при переходе(названный вторичной бифуркацией Хопфа) от вращающейся с однимпериодом спиральной волны к двойной периодической системе, когдаспираль вращается с одним периодом, а ее кончик (фазовая сингулярность) прецессирует с другим периодом.

Следующая бифуркация имеетместо при переходе от квазипериодического блуждания к хаотическому,при котором траектория фазовой сингулярности сильно нерегулярна. Вэтом случае появляется новый режим, когда непрерывно создаются иуничтожаются множественные вращающиеся волны.Для того чтобы понять процесс возникновения пространственновременного хаоса в исследуемой системе (1), необходимо сначала пояснить процесс возникновения спиральных волн. Существуют разныеспособы искусственного создания спиралей.

Например, можно непосредственно задать ее в виде архимедовой спирали r = a/2ρ, где a — постоянный шаг спирали. В данной работе используется способ полученияспирали из плоской полуволны. Принцип, лежащий в основе данной методики, очень простой. В свободную среду помещается прямой отрезокволнового фронта. Вследствие диффузии он начинает постепенно прорастать, закручиваться и принимать спиральную форму с обоих концов.Если теперь уменьшить параметр G1 , то волновые фронты постепеннобудут терять устойчивость и со временем начинают разрушаться. Этотслучай показан на рис.

3.Что касается внешнего воздействия, то параметрическое воздействиев рассматриваемом классе систем не всегда осуществимо, т.к. оно пред11полагает изменение управляющих параметров во всех точках среды одновременно. Поэтому мы изучали возможность точечного подавленияпутем подвода коротких импульсов к определенному участку среды, что— и это очень важно — легко реализовать на практике.Рис. 3 Образование спирали из плоской полуволны с последующим ее разрушениеми переходом к хаосу, G1 = 0.01333, G3 = 1.Нами было использовано несколько вариантов: синусоидальная форма, однофазные прямоугольные импульсы, бифазные прямоугольныеимпульсы, постоянное «напряжение», бифазный пилообразный импульсразличных конфигураций и др. Как оказалось, однофазные импульсыне приводят к подавлению.

Это связано с формой потенциала действия,а точнее с фазой реполяризации, которая частично находится в отрицательной области. По этой же причине не удалось достичь подавления спомощью постоянного сигнала, подаваемого в среду.Отдельно мы исследовали бифазный пилообразный импульс различных конфигураций: импульс, обе фазы которого имеют одинаковую амплитуду A, а также импульс, амплитуда отрицательной фазы которогобыла равна A/2. Однако подавления во втором случае добиться не удалось при всех значениях τ . Для импульса с одинаковыми амплитудамифаз подавления удалось достичь только при τ = 1.

Поэтому далее мыбудем рассматривать только такой пилообразный импульс.Для поиска частот эффективного подавления мы воспользовалисьследующей простой методикой. В сравнительно небольшом объеме с нулевыми начальными условиями и пейсмекером собственной частоты ωinгенерировались кольцевые волны. Поскольку среда нелинейна, то возникающие кольцевые волны будут иметь иную частоту. Обозначим ееωout . В фиксированной точке, находящейся на значительном удаленииот ведущего центра, снимались значения переменной u во времени. Далее по полученному графику u(t) выполнялось преобразование Фурье12и находилась частота основной гармоники ωout .

Далее строилась зависимость ωout (ωin). Очевидно, что частоты — кандидаты на наиболее эффективное подавление — существуют в окрестности глобального максимумаэтой зависимости. Здесь мы исходим из известного принципа, что в распределенных средах «выживает» возбуждение наибольшей возможнойчастоты.Все проводившиеся численные исследования были выполнены с ограничением на максимальное время наблюдения в 10000 мс. Иными словами, мы считали подавление достаточно успешным если оно укладывалось в этот период.Рассмотрим среду, для которой управляющие параметры суть G1 =1/30, G3 = 1.0.