Стабилизация турбулентной спирально-волновой динамики возбудимых сред

На правах рукописиВысоцкий Семен АндреевичСтабилизация турбулентнойспирально-волновой динамикивозбудимых средСпециальность 01.04.02 — теоретическая физикаАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата deфизико-математических наукМосква — 2010 г.Работа выполнена на физическом факультетеМосковского государственного университета имени М.В.

ЛомоносоваНаучный руководитель:доктор физико-математических наук, профессорЛоскутов Александр ЮрьевичОфициальные оппоненты:доктор физико-математических наук, главный научный сотрудникВолков Евгений Израилевичдоктор физико-математических наук, профессорРозов Николай ХристовичВедущая организация:Институт космических исследований Российской академии наукЗащита состоится «.........»............................. 2010 года в ...... ч. ...... м. на заседанииДиссертационного Совета Д 501.002.10 в Московском государственном университетепо адресу: 119991, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им.

М.В. Ломоносова,физический факультет, ауд. .........................С диссертацией можно ознакомиться в библиотекефизического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.Автореферат разослан «.........»............................. 2010 г.Ученый секретарь Диссертационного совета Д 501.002.10в Московском государственном университетедоктор физико-математических наук, профессор Ю.В. Грац ..........................1Общая характеристика работыАктуальность темыРаспределенные среды представляют собой достаточно широкийкласс, включающий самые разные математические, физические, химические биологические и другие системы.

Любой объект, если его компонента распределена в пространстве или времени по некоторому закону, является распределенным. К таким объектам относятся, например,жидкость или газ, популяция какого-либо вида, человеческий мозг илипроводящая ткань сердца. Не удивительно, что уже очень давно данныйкласс систем привлекает исследователей из самых разных областей.Наиболее сложная проблема теории распределенных сред — управление их динамикой и, в частности, стабилизация (подавление) сложныхрежимов поведения (квазипериодических или хаоса).

Эта проблема возникла достаточно давно и связана она с тем, что такие сложные режимы, как правило, являются крайне нежелательными. В особенности этокасается реальных физических, экологических, химических или биологических систем.Под стабилизацией неустойчивого или хаотического поведения динамических систем обычно понимается искусственное создание и поддержание в этих системах устойчивых (как правило, периодических) колебаний посредством внешнего воздействия. Эта задача, не смотря на простоту формулировки, оказывается весьма сложной научной проблемой,особенно в приложении к распределенным средам.Актуальность такой задачи вполне очевидна. Рассмотрим несколькореальных примеров.

В приложении к сердечной ткани выведение системы на требуемый режим дает возможность влиять на сердечный ритм.Дело в том, что в настоящее время в теории возбудимых сред доминируетгипотеза, согласно которой возникновение фатальных сердечных аритмий — фибрилляций — есть следствие рождения в сердечной ткани большого количества автоволновых источников: спиральных волн или вихревых структур (т.е.

пространственно–временного хаоса). Современные2методы стабилизации таких режимов с помощью одиночных электрических импульсов (в том числе от имплантируемых дефибрилляторов) являются весьма жесткими и далеко не всегда приводят к успеху. Однакоисследования самого последнего времени открывают новые возможности. Оказывается, что турбулентный режим во многих возбудимых средах может быть стабилизирован достаточно слабым периодическим параметрическим, или силовым воздействием, приложенным к некоторойобласти среды.

Для реакции Белоусова-Жаботинского такое воздействиепозволяет создавать структуры нужного вида, получая таким образомсистемы, способные распознавать образы. Помимо перечисленных здесьидей, результаты настоящей работы можно использовать для кодирования информации, создания когерентных структур заданной геометрии,управления потоком частиц и других многочисленных приложений современной теоретической физики.Цели работы.— Построение математических моделей распределенных сред с различными граничными и начальными условиями, состоящих из возбудимых элементов.— Исследование динамики системы в том числе со слабым почти точечным внешним воздействием.— Анализ поведения системы в зависимости от параметров возбудимости среды, а также характеристик внешнего возбуждения.— Стабилизация сложных режимов поведения, связанных соспирально-волновой турбулентностью.— Изучение проблемы стабилизации турбулентной динамики силовымвоздействием, применяемым ко всем точкам среды.Научная новизна полученных в диссертации результатов1.

Исследована динамика математических моделей распределеннойсреды с внешним воздействием при различных граничных и начальныхусловиях и в широком диапазоне параметров как среды так и внешнего3воздействия.2. На основе теории динамических систем и новых результатов теории распределенных сред показана возможность управления динамикойпредставленных моделей.3.

Показана принципиальная возможность выведения системы из состояния сложной (в том числе хаотической) динамики слабым почти точечным воздействием.4. Исследована возможность одновременного воздействия на все элементы среды, указаны преимущества и недостатки такого подхода.5. Предложен новый метод подавления спирально-волновой турбулентности с помощью движущихся ведущих центров, позволивший заметно повысить его эффективность. Получена зависимость эффективности подавления от количества ведущих центров и их характеристик.Практическая ценность работы1.Показанапринципиальноноваявозможностьподавленияспирально-волновой турбулентности возбудимой среды внешним точечным воздействием малой амплитуды и выведения ее на периодическийрежим движения.2.

Разработаны практические методы, позволяющие вычислять наиболее предпочтительные для такой стабилизации частоты.3. Найдено, что нестационарный пейсмекер, расположенный в среде,значительно повышает эффективность предложенного метода.Структура и объем работыДиссертация состоит из введения, общих сведений (обзора литературы), четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы из 173наименований. Диссертация содержит 126 страниц текста, включая рисунки, оглавление и список литературы.ПубликацииПо результатам данной диссертационной работы опубликовано четыре статьи в реферируемых журналах (две — в международных и две —4в российских), а так же одна статья в сборнике, посвященном исследованию распределенных сред.Апробация работыОсновные результаты исследования были доложены на на многочисленных международных конференциях.

В их числе 17-й международныйсимпозиум NDES в Швейцарии в июне 2009 года, международный симпозиум, посвященный сложным динамическим системам и приложениям вИндии в 2009 году. Дважды результаты докладывались на конференцииPhysCon в Санкт-Петербурге в 2005 году и в Германии в 2007 году.Основное содержание диссертацииВо введении диссертации обоснована актуальность темы исследований и сформулированы цели работы.Первая глава посвящена общим сведениям.

Здесь содержится обзорлитературы, формализуется проблема внешнего воздействия на динамическую систему и подавления нерегулярных режимов поведения припомощи такого воздействия. Далее приводятся некоторые существующие на сегодняшний день точные результаты из теории нелинейныхсред с диффузией. Рассмотрены как дискретные, так и непрерывныемодели распределенных сред. В частности приводятся простая модельФитцХью-Нагумо, ее модификация Панфилова-Хогевега и более сложная трехкомпонентная модель Фентона-Кармы.Модель ФитцХью-Нагумо обычно записывается в виде двухкомпо⎧∂u⎪⎨= u − f (u) − v,∂t(1)⎪⎩ ∂v = g(u, v)(ku − v).∂tЗдесь u(x, y, t) — концентрация активатора, v(x, y, t) — концентрациянентной системы:ингибитора.

Легко видеть, способностью к диффузии обладает лишь активатор, он и служит прообразом потенциала действия, который используется в многочисленных приложениях.Вид функций f (u) и g(u, v) обычно выбирают таким образом, чтобы5полученные при интегрировании профили u(x, y, t) максимально соответствовали профилям потенциала действия, полученным экспериментально. Например, в модификации Панфилова-Хогевега эти функциивыбраны в кусочно-линейном виде:⎧⎧⎪⎪⎨C1u, u < u1,⎨G1 , u < u2,f (u) = −C2u + a, u ∈ [u1, u2) , g(u, v) = G2 , u ≥ u2,⎪⎪⎩⎩C3(u − 1), u ≥ u2,G3 , u < u1, ν < ν1.(2)В частности, значения параметров, приближающих систему к моделисердечной ткани и найденные эмпирически, таковы:C1 = 20u1 = 0.0026a = 0.06C2 = 3u2 = 0.837k=3C3 = 15v1 = 1.8G2 = 1.0(3)Динамика активатора определяется функцией f , динамика ингибитора — функцией g.

Параметры G1 и G3 являются управляющими иопределяют относительный и абсолютный рефрактерный период соответственно.Для количественного анализа возбудимых сред существуют болеесложные модели, такие, например, как модель Фентона-Кармы. Она записывается в виде трехкомпонентной системы:⎧⎪∂t u = ∇(D̃∇u) − JN a(u, v) − JK (u) − JCa (u, w),⎪⎪⎨∂t v = Θ(uc − u)(1 − v)/τv−(u) − Θ(u − uc )v/τv+,⎪⎪⎪⎩∂ w = Θ(u − u)(1 − w)/τ − − Θ(u − u )w/τ +.tЗдесь u =cVm −V0VN a −V0 ,wc(4)w−−τv− (u) = Θ(u − uv )τv1+ Θ(uv − u)τv2, v, w — пере-менные состояния, Θ(x) — стандартная функция Хевисайда. JN a , JK иJCa — токи натрия, калия и кальция, соответственно. Они выражаютсяследующим образом:vJN a (u, v) = − Θ(u − uc)(1 − u)(u − uc ),τdu1JK (u) = Θ(uc − u) + Θ(u − uc ),τoτrwJCa (u, w) = −(1 + th[k(u − uCac )]).2τCa6(5)Эта модель была предложена Фентоном (Fenton) и Кармой (Karma) в1998 году.

Ее цель не в том, чтобы точно копировать микроскопическуюионную сложность тех или иных процессов, а скорее в том, чтобы воспроизвести динамику потенциала действия на мезоскопическом уровне (нашкалах между внутриклеточным уровнем и целым органом, если речьидет о моделировании сердечной ткани). Модель построена так, чтобыввести минимальный набор ионных мембранных токов, необходимых длявоспроизведения экспериментально полученных кривых восстановления,и, таким образом, состоит из трех переменных.Данные системы в диссертационной работе рассматриваются не только с точки зрения формального перечисления их характеристик исвойств, но также и с точки зрения возникающих в них решений.

К такимрешениям в частности относятся известные автоволновые структуры —спиральные волны.Спиральная волна, как следует из названия, представляет собой самостоятельно вращающуюся в среде автоволновую структуру спиральнойформы. Ядро спиральной волны (центральный сегмент квадрата на рис.1) представляет собой разрыв фазы (или фазовую сингулярность). Фаза обычно определяется через значения функций u(x, y, t) и v(x, y, t) вточке и их среднего по всей области интегрирования в каждый моментвремени u∗ и v ∗:u(x, y, t) − u∗φ = arctan.v(x, y, t) − v ∗Рассмотрим интеграл, через который определяется так называемый «топологический заряд»:∇φ dln=(6)CЕсли замкнутый контур C окружает точку фазовой сингулярности, тоинтеграл обратится в ±2π (знак определяет хиральность). В противномслучае он будет равен 0 . Обозначим градиент фазы через вектор ∇φ = k.Понятно, что величина k обращается в 0 везде, где φ дифференцируема,и не равен 0 как раз в точках фазовых сингулярностей.