Стабилизация турбулентной спирально-волновой динамики возбудимых сред, страница 3

Тогда оптимальные частота и амплитуда внешнего бифазного прямоугольного импульса, соответствующие данным параметрам среды составят ωin = 0.48 и A = 6, т.к. глобальные максимумы амплитудно-частотных зависимостей отвечают именно этим значениям параметров импульса.

Однако попытка подавить турбулентностьпри этих параметрах привела к неудаче. Спиральные волны убывают вовремени очень медленно, их число остается практически постоянным втечении 7000 мс. (рис. 4б). В то же время, при ωin = 1.2 и A = 6 результат оказался куда более важным. Ведущий центр полностью вытесняетспирали за весьма короткий интервал t ≈ 1700 мс. (рис. 4а).Рис. 4 Зависимость числа фазовых сингулярностей N в системе от времени при:ωin = 1.2 (а), и ωin = 0.48 (б) A = 6, τ = 0.7, G1 = 1/30, G3 = 1.0.Многочисленные скачки на этих графиках вызваны особенностью алгоритма подсчета сингулярностей.

Принципиальной роли они не играют,13так как нас интересует непосредственно сам момент времени, когда этотграфик касается оси абциcс. Тщательное исследование позволяет сделать вывод, что к этому моменту в среде действительно не остается ниодной спиральной волны, так что система переходит в состояние покоя.При тех же параметрах среды для пилообразного импульса с амплитудой A = 7 зависимость ωout (ωin) получилась весьма любопытной.

Онапредставляет собой совокупность линейных участков, отвечающих различным режимам синхронизации среды и пейсмейкера (1 : 1, 1 : 2, 1 : 3 ит.д.).Рис. 5 Зависимость числа фазовых сингулярностей N в системе от времени дляпилообразного импульса с частотой ωin = 1.82 и амплитудой A = 7 приG1 = 1/30, G3 = 1.0.Самый высокий максимум частотной характеристики приходится вэтом случае на значение ωin = 1.82. Пейсмекер с этой частотой вытеснилиз среды все спиральные волны примерно за 2500 мс.

(см. рис. 5) , чтона 50% дольше, чем для прямоугольного импульса. Тем не менее, этовесьма удачный результат.Однако далеко не при всех параметрах среды результаты получилисьстоль же оптимистичными. Это обстоятельство связано со значительнойчувствительностью среды к начальным условиям, и об этом еще будетсказано ниже.Рассмотрим теперь известную систему Фентона-Кармы, которая была изначально предложена как упрощенная ионная модель распростра14нения потенциала действия в сердечной ткани. В наших исследованиях внешнее воздействие представляло собой однофазные или бифазныепрямоугольные импульсы с амплитудой A и частотой ωin и подавалось вобласть размером 2 × 2 узла. Точно так же как и для модели ФицХьюНагумо, для определения отношения длительностей полуволн бифазногоимпульса здесь использовался параметр τ .Мы считали, что период внешнего импульса T < 500 ms, это условие было необходимо, чтобы обеспечить достаточно высокую частотуимпульсов стабилизации.

Также необходимо было найти значения параметров A и τ , обеспечивающих наиболее эффективное управление динамикой системы. Численно было найдено, что оптимальными значениямидля параметра τ являются следующие: τ = 0.05 ÷ 0.15 для монофазныхимпульсов и τ = 0.25 ÷ 0.3 для бифазных.Вначале исследовалась возможность подавить сложную активностьмонофазным воздействием. Было обнаружено, что хотя подавление наблюдается для частот 3, 13 Гц и 7 Гц, оно сильно зависит от начальныхусловий. Например, монофазное воздействие при ωin = 7 Гц приводит кстабилизации хаотической динамики, если начинается в момент времени500 мс, но оно неудачно, если начало подавления приходится на 600 мс.И наоборот, стимуляция частоты 3, 13 Гц, приложенная в момент 600 мс,привела к подавлению спирально-волновой турбулентности.Затем исследовались бифазные импульсы внешнего воздействия. Вотличие от монофазной стимуляции, бифазное воздействие приводит кстабилизации сложной динамики стимулами с частотой 3, 13 Гц, прикладываемыми в момент времени 500 мс, и стимуляцией с частотой 7, 25 Гц,начинающейся в момент 600 мс.

Частотный интервал, соответствующийвторому максимуму частотной зависимости довольно широкий, поэтомудостаточно трудно выбрать корректное значение частоты стимуляциидля эффективного подавления хаотической динамики.Следует отметить также, что стимуляция с частотой ωin = 7 Гц, начавшаяся при t = 600 мс (приводящая к восстановлению турбулентнойактивности при A = 10μA/2), обеспечивает эффективное подавление15при удвоении амплитуды стимуляции (рис. 6).Однако утроение амплитуды не дает положительного результата.

Следовательно, зависимостьэффективности подавления спирально-волновой активности от амплитуды нелинейна.Рис. 6 Число фазовых сингулярностей как функция времени во время бифазнойстимуляции с ωin = 7 Гц и амплитудами A = 10μA/2 (жирная линия),A = 20μA/2 (тонкая линия) и A = 30μA/2 (пунктирная линия).Таким образом из изложенного во второй главе материала можно сделать один крайне важный вывод. Развитый пространственно-временнойхаос в среде, описываемой системой (1), можно подавить слабым почтиточечным периодическим воздействием. Этот вывод имеет принципиальное значение для приложений, когда требуется стабилизировать турбулентную динамику возбудимой среды.

Кроме того, наши исследованияпоказали, что эффективность (или, иными словами, скорость) подавления хаоса в системе, можно существенно повысить.В третьей главе изучается силовое воздействие на все точки средыодновременно, обсуждаются преимущества и недостатки такого выведения среды из хаотического состояния. Рассматриваются дополнительнонекоторые любопытные аспекты поведения системы, которые были обнаружены в процессе нашего анализа.В данной диссертационной работе была проведена целая серия исследований с воздействием на всю среду. Первый вполне естественныйвывод, к которому мы пришли, состоит в том, что характер граничныхусловий качественного влияния на эффективность подавления не оказы16вает. Поэтому в большинстве случаев мы ограничились периодическими граничными условиями. Воздействие подавалось в среду с развитымпространственно-временным хаосом в виде однократного прямоугольного импульса длительностью 1 мс.При первых же численных экспериментах нам сразу удалось достичьположительного результата для параметров среды G1 = 0.01, G3 = 0.5и амплитуды импульса A = 1.3.Вполне очевидно, что эффективность описанного подхода при заданных параметрах среды должна зависеть от амплитуды подаваемого импульса.

Действительно, при определенном пороговом значении амплитуды импульса A, турбулентность может полностью восстановиться. Например, для параметров среды G1 = 0.01 и G3 = 0.5 пороговое значениеамплитуды A = 1.29. То есть при использовании импульса с амплитудой A = 1.29 турбулентная спирально-волновая динамика полностьюподавляется, а если воздействовать импульсом амплитуды A = 1.28, тонебольшой участок среды остается в возбужденном состоянии и становится источником спиральных волн, которые постепенно заполняют всюобласть.В дополнение к этим исследованиям мы также рассмотрели системус одним ведущим центром при тех же условиях. В этом случае наблюдались некоторые новые интересные эффекты.

В частности оказалось, чтодаже при больших амплитудах общего внешнего воздействия возрождение хаоса в такой системе вполне возможно. После подачи внешнего воздействия в каждый элемент среды фронты кольцевых волн от ведущегоцентра начинают распадаться на рефрактерных участках, и постепенно спирально-волновая турбулентность заполняет всю среду целиком.Происходит это при достаточно больших частотах волн, исходящих отведущего центра.Еще одно интересное наблюдение было сделано, когда мы еще болееувеличили время рефрактерности. Оказалось, что в среде с длительнымпериодом рефрактерности турбулентная динамика исчезает сама собойеще до подачи общего воздействия. Это обстоятельство дает ключ к по17ниманию многих процессов, происходящих в реальных возбудимых средах.Рис.

7 Зависимость амплитуды импульса от параметра GexКак уже упоминалось ранее, управляющие параметры G1 и G3 системы (1) – (3) обратно пропорциональны периодам абсолютной и относительной рефрактерности соответственно. Поэтому весьма любопытноизучить как порог возбудимости среды зависит от этих параметров. Дляэтих целей мы ввели новый совокупный параметр Gex =1G1+10G3 ,и длякаждого значения этого параметра было найдено значение пороговой амплитуды общего внешнего воздействия, при которой происходило полноеподавление хаотической динамики в среде (рис. 7).Хорошо видно, что максимальная амплитуда использовавшегося импульса равна 1.5, т.е. она по крайней мере в 4 раза меньше амплитудыточечного воздействия (см.

Главу 2). Тем не менее, как уже упоминалось выше, применение этой методики в эксперименте может оказатьсявесьма затруднительным.Таким образом, с точки зрения эффективности, метод общего одновременного силового воздействия на каждый элемент среды в целомможно считать предпочтительным с точки зрения эффективности. Приправильно подобранной амплитуде всегда удается избавиться от турбулентности. Однако необходимо помнить, что если в системе еще дополнительно имеется точечный источник возбуждения, как, например, этоимеет место для сердечной ткани, он может стать причиной достаточно18быстрого возрождения пространственно-временной хаотической динамики.В четвертой главе рассматривается среда с несколькими неподвижными и движущимися ведущими центрами, обсуждаются преимуществаи недостатки этого подхода, проводятся аналогии с результатами, полученными в предыдущих главах, производится оптимизация параметроввнешнего воздействия, что позволяет обеспечить выведение из хаоса прилюбых начальных условиях.Представим ситуацию, когда ведущий центр окружен несколькимиспиралями таким образом, что пространство вокруг него занято волновыми фронтами.