Стабилизация турбулентной спирально-волновой динамики возбудимых сред, страница 4

В этом случае пейсмекер будет полностью подавлен хаотичной средой, и динамика системы будет развиваться таким образом,как будто внешнее воздействие на нее практически не оказывается.Для решения описанной проблемы, в диссертационной работе предложено два в принципе независимых направления дальнейших исследований:• увеличение числа ведущих центров;• переход от неподвижных ведущих центров к движущимся.Самый простой способ — первый, т.е. увеличение числа областей, ккоторым подводится внешнее возбуждение. Поэтому мы также изучалиповедение системы с несколькими (от 2 до 8) внешними источникамивозбуждения.Из проведенных исследований мы можем сделать довольно любопытный вывод. В ряде случаев увеличение числа пейсмекеров может ускорить подавление турбулентной динамики.

Однако так происходит далеконе всегда. Более того, иногда получалось, что увеличение числа ведущихцентров давало обратный эффект, то есть время подавление увеличивалось. Связано это, по-видимому, с возникновением конкуренции междупейсмекерами.Следующий этап работы был связан с анализом более общего случая, когда пейсмекеры не являются стационарными областями в среде,а движутся там с некоторой скоростью.19Система оказалась крайне чувствительной как к величине ωrot , таки числу ведущих центров и их расположению в области среды. В качестве закона движения для ведущих центров мы взяли проекцию синусана горизонтальную либо вертикальную ось ξ = ξ0 sin(ωrot t), то есть периодическое движение с амплитудой ξ0 и частотой ωrot .

Но даже в этомслучае мы столкнулись с очень сложным поведением. Система оказаласькрайне чувствительной как к величине ωrot , так и числу ведущих центров и их расположению в области среды. В целом наши исследованияпоказали, что зависимость эффективности подавления хаоса в среде отрасположения и скорости движения ведущих центров существенно нелинейна.После всех проведенных расчетов было решено ограничиться двумяведущими центрами, расположенными на вертикальной прямой, проходящей через центр области и медленно осциллирующими относительнонее по горизонтали.

Частота и амплитуда колебаний ведущих центровбыла фиксированной: ξ0 = 10, ωrot = 2.5 · 10−4. Иными словами, пейсмекер оказывался локализованным в малой области среды. Тем не менее такой модификации пейсмекера было вполне достаточно, чтобы в системепроизошли заметные изменения по сравнению со случаем неподвижныхведущих центров.Глобальная задача, которая ставилась на данном этапе, состояла вследующем. Необходимо было найти такие параметры для пейсмекера,чтобы остаться в рамках концепции слабого почти точечного внешнеговоздействия, но при этом полностью гарантировать подавление хаотической динамики в среде независимо от того, в каком состоянии находиласьсистема в начальный момент времени (и в особенности область, окружающая ведущий центр). Основные характеристики воздействия ужефиксированы, однако, остался еще один параметр, который мы обошлистороной – отношение длительности положительной полуволны к отрицательной τ .

Было обнаружено, что с точки зрения эффективности целесообразно брать τ = 0.18. В дальнейшем мы везде будем пользоватьсяименно этим значением τ .20Рис. 8 Число фазовых сингулярностей в системе (1) с движущимися внешнимипейсмекерами как функция времени. G1 = 0.01, G3 = 0.5, ωin = 0.65, τ = 0.18.При всех указанных выше параметрах внешнего импульса нам удалось решить задачу успешного подавления при всех использовавшихсяначальных условиях. В качестве примера приведем здесь один из полученных графиков динамики фазовых сингулярностей (рис. 8).В пятой главе рассматриваются и обсуждаются возможные механизмы подавления спиральных волн в исследуемой среде.В целом можно сделать следующие выводы.

Всего механизмов подавления спиралей в системе два: вытеснение на периферию (для нулевыхграничных условий) и взаимное уничтожение фазовых сингулярностей спротивоположными хиральностями. Соответственно, для случая периодических границ остается один механизм. При этом ключом к успешномуподавлению спиральных волн является именно неустойчивость. Связаноэто, видимо, с тем, что неустойчивость создает благоприятные условиядля образования пар сингулярностей с противоположными хиральностями. Как известно, ядра волн с противоположными хиральностями приналичии дрейфа могут сталкиваться и взаимно уничтожаться.

Эти общие наблюдения также представляют исследовательский интерес, хотя,безусловно, нуждаются в математической формализации. Но этот аспектследует рассматривать как продолжение данного диссертационного исследования.В заключении обсуждаются возможные приложения полученных вработе результатов, а также выносимые на защиту положения.211. На базе модели ФицХью-Нагумо показано, что стабилизация хаотической динамики внешним точечным воздействием вполне осуществима.Предложенный подход позволяет полностью вытеснить все спирали ивосстановить регулярное поведение системы.2. Разработанный метод стабилизации также опробован на примере модели Фентона-Кармы, продемонстрирована его эффективность.3.

Выявлены недостатки такой стабилизации и показано, что для получения успешного результата предпочтительно использование движущегосяпейсмекера (пейсмекеров).4. Продемонстрировано, что спирально-волновая турбулентность эффективно подавляется силовым воздействием, приложенным ко всей области среды, причем эффективность нелинейно связана с амплитудой этоговоздействия.5. Обоснована возможность использования предложенной методики подавления спирально-волновой динамики в различных областях физикисложных систем.22Список публикаций по теме работы1. А.Ю.Лоскутов, Р.В.Черемин, С.А. Высоцкий. Стабилизация турбулентнойдинамики возбудимых сред внешним точечным воздействием.— ДАН, том 404, N 4,с.

1-4, (2005).2. А.Ю.Лоскутов, С.А.Высоцкий. Новый подход к проблеме дефибрилляции: подавление спирально-волновой активности сердечной ткани.— Письма в ЖЭТФ, том84, вып. 9, с. 616–621, (2006).3. E.Zhuchkova, B.Radnayev, S.Vysotsky, A.Loskutov. Suppression of turbulentdynamics in models of cardiac tissue by weak local excitations.— In: UnderstandingComplex Systems, ed. S.K. Dana, P.K. Roy, J. Kurths, Springer Berlin/Heidelberg, pp.89–105, (2009).4. S.A.Vysotskiy, R.V.Cheremin, A.Loskutov. Suppression of spatio-temporal chaos insimple models of re-entrant fibrillations.— J.

of Physics: Conference Series, v. 23, pp.202-209, (2005).5. S.A.Vysotsky, R.V.Cheremin and A.Loskutov. Suppression of spiral–waveturbulence by point weak excitations.— Proc. of 2005 Int. Conf. «Physics and Control»,August 24–26, Saint Petersburg, Russia.— IEEE, p.236–239, (2005).6. S.A.Vysotskiy, R.V.Cheremin, A.Loskutov. Suppression of spiral-wave turbulence bypoint weak excitations.— IEEE XPlore, ISBN: 0-7803-9235-3, pp. 236–239, (2005).7.

A.Loskutov, S.Vysotskiy, S.Boccaletti. New Methods of Suppression of the SpiralWave Activity in Cardiac Tissue.— Proceedings of 17th International Workshop onNonlinear Dynamics of Electronic Systems, pp. 153-156, (2009).8. S.A.Vysotsky, R.V.Cheremin and A.Loskutov. Suppression of spatio-temporalchaos in simple models of re-entrant fibrillations.— Proc.

of Int. Conf. on Control andSynchronization of Dynamical Systems, October 4–7, 2005, Leon GTo., Mexico, p.20–21.9. S.Vysotskyi, R.Cheremin and A.Loskutov. Stabilization of fatal cardiac rhythms.—Book of abstracts of XXV Dynamics Days Europe 2005, Berlin, Germany, July 25–28,2005, p.229.10. A.Loskutov and S.Vysotsky. A new strategy of the defibrillation: Suppression ofthe spiral wave turbulence by moving pacemaker(s).— Abstract Collection of the 3rdInternational IEEE Scientific Conference on Physics and Control (PhysCon 2007), p.317, (2007).11.

A.Loskutov and S.Vysotsky. New Methods of Suppression of the SpiralWave Activity in Cardiac Tissue.— Indo-Russian workshop «Complete networks andapplications». Kolkata, India, December 1–2, 2009.12. С.А.Высоцкий, Р.В.Черемин, А.Ю.Лоскутов. Исследование динамикипространственно-распределенных систем. Приложения к кардиологии. Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальнымнаукам «Ломоносов-2005», Россия, Москва, (2005).23.