Спектральные свойства оператора Лапласа на декорированных графах и на поверхностях с дельта-потенциалами, страница 3

Оператор ∆ самосопряжен, и его область определения D(∆) = H 2 (M ) (второе пространство Соболева). А при сделанномпредположении на размерность dim M ≤ 3 будет выполнено H 2 (M ) ⊂ C(M ).Зафиксируем теперь набор точек {qi }ni=1 на M , и рассмотрим следующийсимметрический оператор∆0 = ∆|Dq , где Dq = {ϕ ∈ D(∆)| ϕ(qi ) = 0 , 1 ≤ i ≤ n}.Для описания дефектных подпространств оператора ∆0 и для определения пространства граничных значений нам понадобятся некоторые свойства функции Грина оператора ∆, то есть интегрального ядра оператора(∆ − z)−1 (z из резольвентного множества):Z−1(∆ − z) f (x) = G(x, y; z)f (y)dw.MИмеет место следующаяЛемма 1 [7] Зафиксируем точку q, тогда в окрестности этой точкифункция G(x, q; z) имеет разложение:G(x, q; z) = F0 (x, q) + F1 (x, q; z) + R(x, q; z),16где F0 не зависит от z и имеет следующий вид (где d(x, q) - геодезическоерасстояние):F0 (x, q) =− 1 d(x, q), 2если dim M = 1;если dim M = 3.1− 2πln d(x, q), если dim M = 2;14πd(x, q)−1 ,Функция F1 непрерывна, а функция R имеет следующий вид при x → q: o(d(x, q)), если dim M = 1;R(x, q; z) = o(1),если dim M = 2 или dim M = 3.Лемма 2 [11] Пусть z ∈ C \ R, тогда функции {G(·, qi ; z)}ni=1 образуютбазис в дефектном подпространстве Nz = Ker(∆∗0 − z).

Оператор ∆0 замкнут.Из лемм 1,2 и теоремы 2 следует, что любая функция f ∈ D(∆∗0 ) имеетследующее асимптотическое разложение в окрестности точки qj :f (x) = aj (f )F0 (x, qj ) + bj (f ) + R(x),где aj (f ), bj (f ) ∈ C. Коэффициент aj (f ) мы будем называть коэффициентомпри особенности в точке qj , а bj (f ) мы будем называть значением регулярнойчасти в точке qj .Определим функцию, которая нам понадобится в следующем пункте: G(x, y; z), если x 6= y;Q(x, y; z) = F1 (x, x; z), если x = y.Лемма 3 [7] Положим G = Cn (со стандартным скалярным произведением) и определим операторы Γ(1) , Γ(2) : D(∆∗0 ) → G:Γ(1) := (ai (f ))ni=1 , Γ(2) := (bi (f ))ni=1 ,Тогда тройка (G, Γ(1) , Γ(2) ) – пространство граничных значений для оператора ∆0 .17Глава 2Ядро оператора Лапласа намногообразии с потенциалом нулевогорадиусаПусть M - гладкое замкнутое связное многообразие, dim M ≤ 3.

Как придать операторный смысл в L2 (M ) формальному выражению вида H =P∆ + nj=1 cj δqj (x), где δqj (x) - дельта-функция, qj ∈ M ? Это можно сделатьследующим образом. Рассмотрим Dq = {ϕ ∈ D(∆) | ϕ(qj ) = 0 ∀j = 1, .., n}.По определению умножения обобщенной функции на непрерывную для функции ϕ ∈ Dq имеем ϕδqj (x) = 0. Таким образом, должно быть выполненоH|Dq = ∆|Dq , откуда получаем, что H - самосопряженное расширение оператора ∆0 = ∆|Dq .

Согласно теореме 3 и лемме 3, любое самосопряженноерасширение оператора ∆0 задается лагранжевой плоскостью Λ ⊂ Cn ⊕ Cn .Это расширение будем обозначать как ∆Λ .Утверждение 1 Функция f ∈ ker(∆∗0 ) однозначно определяется всеми коэффициентами при особенностях и значением регулярной части в однойточке.Доказательство. Пусть существуют две таких функции: f и f 0 . Тогдаf − f 0 ∈ ker(∆) и f − f 0 обращается в ноль в одной точке, т.е. f − f 0 = 0. 18Утверждение 2 Пусть dim M = 2.

Для существования функции f0 ∈PPD(∆0 ) такой, что f (x) = f0 (x) + nj=1 αj+ G(x, qj ; i) + nj=1 αj− G(x, qj ; −i) ∈ker(∆∗0 ) необходимо и достаточно, чтобы α+= (α1+ , . . . , αn+ ), α−(α1− , . . . , αn− ) удовлетворяли системе A+ α+ + A− α− = 0, где±(q1 qn , q2 )± · · · (q1 qn , qn )± (q1 qn , q1 ) (q2 qn , q1 )±(q2 qn , q2 )± · · · (q2 qn , qn )±..A± = . (qn−1 qn , q1 )± (qn−1 qn , q2 )± · · · (qn−1 qn , qn )±11···1=(ab, c)± = lim(Q(a, c; z) − Q(b, c; z)) − Q(a, c; ±i) + Q(b, c; ±i)z→0Доказательство.

Пусть f ∈ ker(∆∗0 ), тогда∆f0 (x) = −inXαj+ G(x, qj ; i)j=1+inXαj− G(x, qj ; −i).j=1Поскольку из замкнутости графика и компактности резольвенты оператора∆ (см. [12]) следует, что Im(∆) - замкнутое множество, то критерий существования такой функции f0 ∈ D(∆) - это ортогональность правой частиконстантам, а именно:nX(αj+ + αj− ) = 0j=1(это дает последнюю строчку матриц A± ). Осталось найти условие на коэффициенты, при котором f0 ∈ D(∆0 ), т.е. f0 (qj ) = 0 (j = 1, .., n).

Достаточнонайти условие, при котором f0 (qj ) = f0 (qn ) при j = 1, . . . , n − 1 (посколькуфункция f0 (x) определена с точностью до константы, то потом вычтем изполученной функции f0 (qn )).Разложим f0 (x) и G(x, y; z) по базису из собственных функций {fs } оператора ∆:f0 (x) =Xcs fs (x), G(x, y; ±i) =sX fs (x)fs (y)s19λs ∓ i.Тогда получим:"Xλs cs fs (x) =Xfs (x) −issnXαj+ fs (qj )j=1λs − i+inXαj− fs (qj )j=1#λs + i.Приравнивая коэффициенты при базисных функциях, получим при λs 6= 0:nnXXαj+ fs (qj )αj− fs (qj )cs = −i+iλ(λ−i)λ (λ + i)ssj=1j=1 s sd−1Поскольку max |fs (x)| < C λs 4 (см. [13]) и поскольку λs ∼ C(d)(s/V ol(M ))2/dx∈M(где d = dim M), то при условии d = 2 ряд для f0 (x) сходится равномерно, апоэтому:f0 (x) − f0 (y) = 0 ⇐⇒0=nXj=1αj+nX −i(fs (x) − fs (y))fs (qj ) XX i(fs (x) − fs (y))fs (qj )−+αjλs (λs − i)λs (λs + i)j=1s: λs 6=0s: λs 6=0Найдем для коэффициентов при αj+ другое выражение через функциюPs (x)fs (y)Q(x, y; z).

Поскольку Q(x, y; z) и P (x, y; z) = s (z−i)f(λs −i)(λs −z) мероморфныефункции от z при каждых фиксированных x, y и поскольку∂P (x, y; z) ∂Q(x, y; z) X fs (x)fs (y)==∂z∂z(λs − z)2sи P (x, y; i) = 0, то P (z) = Q(z) − Q(i). Отсюда,Q(x, y; z) −X (z − i)fs (x)fs (y)z−i− Q(x, y; i) =izV ol(M )(λs − i)(λs − z)s: λs 6=0Таким образом,X −i(fs (x) − fs (y))fs (q)= lim(Q(x, q; z)−Q(y, q; z))−Q(x, q; i)+Q(y, q; i)z→0λs (λs − i)s: λs 6=0Аналогично:X i(fs (x) − fs (y))fs (q)= lim(Q(x, q; z)−Q(y, q; z))−Q(x, q; −i)+Q(y, q; −i)z→0λs (λs + i)s: λs 6=020Таким образом, условие f0 (qk ) = f0 (qn ) для любого k = 1, .., n−1 перепишетсяв таком виде:0=nXαj+ (qk qn , qj )++j=1nXαj− (qk qn , qj )−j=1Теорема 4 ker ∆Λ ' L ∩ Λ, где L = Γ(ker ∆∗0 ) - лагранжева плоскость.Доказательство.

Непосредственно из определения отображения Γ следует, что L = Γ(ker ∆∗0 ) - изотропная плоскость, т.е. [x, y] = 0 ∀ x, y ∈ L. Апоскольку из утверждения 2 следует, что dim ker ∆∗0 ≥ n (это, очевидно, будет верно и для случая dim M = 3 ), и поскольку из утверждения 1 следует,что Γ|ker ∆∗0 - инъекция, то dim L ≥ n. Значит L - лагранжева плоскость.Поскольку ∆Λ ⊂ ∆∗0 , то: f ∈ Ker(∆∗ ),0Λf ∈ Ker(∆ ) ⇔ (Γ(1) f, Γ(2) f ) ∈ Λ.Таким образом, ограничивая изоморфизм Γ : ker ∆∗0 → L на Γ−1 (Λ), мы получаем изоморфизм Γ : ker ∆Λ → L ∩ Λ.

Заметим, что поскольку множество лагранжевых подпространств, трансверсальных к некоторой фиксированной плоскости L, является открытым, всюду плотным подмножеством в множестве всех лагранжевых плоскостей, то вслучае общего положения ядро тривиально.Следующее предложение позволяет по значению коэффициентов при особенностях во всех точках и по значению регулярной части в одной точкефункции f ∈ ker(∆∗0 ) определить значения регулярной части во всех остальных точках. При помощи этого предложения можно получить явную параметризацию для плоскости L = Γ(ker ∆∗0 ).21Утверждение 3 Пусть dim M = 2. (2)(2)(q1 qn ◦ q1 )Γ f − Γn f  1  (2) (q2 qn ◦ q1 ) Γ2 f − Γ(2)n f = .... .. (2)(2)(qn−1 qn ◦ q1 )Γn−1 f − Γn fЕсли f ∈ ker(∆∗0 ), то(q1 qn ◦ q2 )···(q1 qn ◦ qn )(q2 qn ◦ q2 ) · · · (q2 qn ◦ qn )  (1)Γ f(qn−1 qn ◦ q2 ) · · · (qn−1 qn ◦ qn )где(ab ◦ c) = lim(Q(a, c; z) − Q(b, c; z))z→0Доказательство.

Посколькуf (x) = f0 (x) +nXαj+ G(x, qj ; i)j=1+nXαj− G(x, qj ; −i),j=1тоΓ(1) f = α+ + α− , Γ(2) f = T + α+ + T − α−гдеQ(q1 , q1 ; ±i) Q(q1 , q2 ; ±i) · · · Q(q1 , qn ; ±i) Q(q2 , q1 ; ±i) Q(q2 , q2 ; ±i) · · · Q(q2 , qn ; ±i)T± = ...Q(qn , q1 ; ±i) Q(qn , q2 ; ±i) · · · Q(qn , qn ; ±i)Поскольку α− + α+ = Γ(1) f , то (A− − A+ )α+ = A− Γ(1) f .

Заметим, что A−0 −±+−±A+0 = S(T − T ) где A0 −(n − 1 × n) матрица, полученная из матрицы Aотбрасыванием последней строки,10S=0а матрица S размера n − 1 × n имеет вид:0 · · · 0 −11 · · · 0 −1 ...0 · · · 1 −1− (1)Поскольку Γ(2) f = (T + − T − )α+ + T − Γ(1) f , то SΓ(2) f = (A−0 + ST )Γ f . Этои доказывает требуемое равенство.222.1 Вычисление (xy ◦ y) для стандартной сферыSa2.Известно (см.

[7]), чтоQ(x, y; z) =1rP− 21 +t(z) (− cos )4 cos(πt(z))a11πQ(x, x; z) = −Ψ( + t(z)) − Ψ(1) − tg(πt(z)) − ln(2a)2π22√где t(z) = 12 1 + 4a2 z, Ψ(x) - логарифмичекая производная гамма-функции,Pa (z) - функция Лежандра. Тогдаlim(Q(x, y; z) − Q(y, y; z)) = limz→0P− 21 +t(z) (− cos ar ) − sin πt(z)4 cos πt(z)z→0=cos πu − Pu (− cos ar )= limu→0sin πuВоспользуемся правилом Лопиталя, для этого найдем производную(Pu (z))0 |u=0 . Зафиксируем z ∈ (−1; 1) и воспользуемся представлением Pu (z)в виде ряда (см. [14]):Pu (z) =k∞X(u + 1) . . . (u + k)(−u) . . . (k − 1 − u) 1 − z(k!)2k=02Поскольку для производной k-го члена Lk (u) этого ряда выполняется неравенство (при u ∈ [−ε, ε] (|ε| < 1)):2k(k + 1)!k!|L0k (u)| ≤(k!)21−z2k,то ряд из производных сходится равномерно на [−ε, ε]. Значитk∞∞XX11−z1+zP00 (z) == lnL0k (0) = −k22k=0k=1Окончательно получаем:(xy ◦ y) = −1r(x, y)ln(2a sin)2πa23Глава 3.Ядро оператора Лапласа надекорированных графахОпределение 10 Рассмотрим набор отрезков {Ii = [0, li ]}ni=1 , а также набор гладких, замкнутых, связных, римановых многообразий {Mi }mi=1 с условием dim Mi ≤ 3.

Отождествим концы отрезков с точками на многообразиях, причем так, чтобы разным концам отрезков соответствовали разные точки на многообразиях. Полученное топологическое пространство Xбудем называть декорированным графом.Положим2L (X) =mM2L (Mi )i=1nML2 (Ii ).i=1Обозначим m(i), m0 (i) - номера многообразий, к которым примыкает i-ыйотрезок. Обозначим qi ∈ Mm(i) , qi0 ∈ Mm0 (i) - точки примыкания i-го отрезка.Пусть ∆i (i = 1, .., m) - самосопряженные операторы Лапласа-Бельтрами2dна Mi , ∆i+m (i = 1, .., n) - самосопряженный оператор − dx2 на Ii с условиямиНеймана. Определим операторы ∆0,i ⊂ ∆i (i = 1, .., m + n):D(∆0,i ) = {f ∈ D(∆i )| f (q) = 0 , если q − точка примыкания отрезка к Mi }(i = 1, .., m)D(∆0,i ) = {f ∈ D(∆i )| f (0) = f (li−m ) = 0 } (i = m + 1, .., m + n)24m+nОбозначим H0 = ⊕i=1∆0,i - это симметрический оператор с конечными рав-ными индексами дефекта (4n, 4n).Определение 11 Всякое самосопряженное расширение H оператора H0 будем называть оператором Лапласа-Бельтрами на X.Для того, чтобы описать самосопряженные расширения оператора H0 ,определим пространство граничных значений: (C4n , Γ(1) , Γ(2) ).