Спектральные свойства оператора Лапласа на декорированных графах и на поверхностях с дельта-потенциалами, страница 7
Описание файла
PDF-файл из архива "Спектральные свойства оператора Лапласа на декорированных графах и на поверхностях с дельта-потенциалами", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физико-математические науки" из Аспирантура и докторантура, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. , а ещё этот архив представляет собой кандидатскую диссертацию, поэтому ещё представлен в разделе всех диссертаций на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 7 страницы из PDF
Разделяем переменные f = R(r)eimφ и получаем уравнениена R(r):1m2CR00 + R0 − 2 R + (λ − 2 )R = 0rrεqCПри r < ε решение, не имеющее особенности в нуле - Jmλ − ε2 r . При r >√√√√ε решение есть линейная комбинация Jm ( λ r) Ym ( λ) − Jm ( λ) Ym ( λ r)52(где Ym (z) - функция Ханкеля). Требуя гладкости решения при r = ε, получаем:qr√√√√0λ−0√ Ym ( λ ) JmC Jm( λ ε) − Jm ( λ ) Ym0 ( λ ε)√√√√q= λ− 2λε JYm ( λ ) Jm ( λ ε) − Jm ( λ) Ym ( λ ε)λ−mCε2Cε2εεили√√√00(Λε)Jm ( Λ2 ε2 − C) − JmεΛJm( Λ2 ε2 − C) Λ2 ε2 − C Jm (Λε)Jm (Λ)√√√=(∗)0 ( Λ2 ε2 − C) Λ2 ε2 − C Y (Λε)Ym (Λ) εΛYm0 (Λε)Jm ( Λ2 ε2 − C) − JmmПокажем, что правая часть (*) равномерно по ограниченному λ сходится кнулю при ε → 0.Поскольку при m > 0: z m 1Jm (z) = (−1)+ o(z m ),2m! m−110m1 zJm (z) = (−1)+ o(z m−1 ),2 2(m − 1)!mто числитель (*) есть O(εm ).1) Разберем случай m = 1 :2 zzY1 (z) = − + (2 ln + 2γ − 1) + O(z 3 ln z),z 22z12+ln+γ++ O(z 2 ln z)2z22√(см. [14] 17.61, стр.
211) Обозначим A = −C. Знаменатель дроби (*) имеетY10 (z) = −вид2(J1 (A) + J10 (A)A) + Λε ln ε(J1 (A) − J10 (A)A) + O(ε)ΛεЕсли J1 (A) + J10 (A)A 6= 0, то правая часть (*) есть O(ε2 ). Если же J1 (A) +J10 (A)A = 0, то J1 (A) − J10 (A)A 6= 0, т.к. нули функции Бесселя простые.Тогда правая часть (*) есть O( ln1ε ).2) В случае m > 1 дробь есть O(ε2m ) если J1 (A) − J10 (A)A 6= 0, и O(ε2m−2 )в противном случае.533) Если m = 0, то J0 (z) = 1 + O(z 2 ), J00 (z) = − z2 + O(z 3 ) и числитель (*)равен −J00 (A)A + O(ε).
ПосколькуY0 (z) = 2 lnz2+ 2γ + O(z 2 ln z), Y00 (z) = + O(z ln z),2zто знаменатель (*) принимает вид−2J00 (A)A ln ε + 2J0 (A) − 2J00 (A)Aγ + O(ε2 ln ε)Отсюда следует, что дробь (*) есть либо O( ln1ε ), либо O(ε). 54Глава 7Стягивающийся торТеорема 12 Рассмотрим оператор Лапласа (отрицательный) на поверхности, полученной вращением окружности (x − 1)2 + y 2 = ε2 вокруг оси oy.Если λ(ε) - аналитически зависящее от ε собственное значение, тоλ=1(λ0 + ε2 λ2 + ε4 λ4 + . .
.),2ε251λ0 = −n2 , λ2 = − 12 4nn2 −1 − m2 при n 6= 1 и λ2 = {− 12− m2 , 12− m2 } (приn = 1), где n, m ∈ N ∪ {0}.Доказательство. Разделяя переменные в уравнении на собственные значения оператора Лапласа, получаем для u(ψ) уравнение с коэффициентами,аналитически зависящими от ε:u00 − (ε sin ψ − ε2 cos ψ sin ψ + ε3 cos2 ψ sin ψ + o(ε3 ))u0−(m2 ε2 − 2m2 ε3 cos ψ + o(ε3 ))u = (λ0 + ελ1 + ε2 λ2 + o(ε2 ))uРаскладываем u(ψ) в ряд u = u0 + εu1 + ε2 u2 + . . ..
Получаем уравнение наu0 : u000 = λ0 u0 . То естьλ0 = −n2 , u0 = C1 einψ + C2 e−inψ .Уравнение на u1 :u001 − sin ψu00 = λ1 u0 + λ0 u155nu001 + n2 u1 = λ1 (C1 einψ + C2 e−inψ ) + (C1 ei(n+1)ψ − C1 ei(n−1)ψ − C2 e−i(n−1)ψ +2+C2 e−i(n+1)ψ )Из условия разрешимости этого уравнения получаем, что λ1 = 0.u1 = C3 einψ + C4 e−inψ +(частное решение).Уравнение на u2 :u002 + u00 sin ψ cos ψ − u01 sin ψ − m2 u0 = λ0 u2 + λ2 u0n(n + 1) i(n+2)ψe−−2(2n + 1)n(n − 1) inψn(n − 1) −i(n−2)ψn(n + 1) −inψ−C1e + C2e+ C2e−2(2n − 1)2(2n − 1)2(2n + 1)n(n + 1) inψn(n − 1) i(n−2)ψnC3 ei(n−1)ψ + nC4 e−i(n+1)ψ − C1e + C1e−−2(2n + 1)2(2n − 1)n(n − 1) −inψn(n + 1) −i(n+2)ψ−C2e− C2e−2(2n − 1)2(2n + 1)ni(n+2)ψi(n−2)ψ−i(n−2)ψi(n+2)ψ−C1 e− C1 e− C2 e+ C2 e+2+λ2 (C1 einψ + C2 e−inψ )2(u002 + n2 u2 ) = nC3 ei(n+1)ψ − nC4 e−i(n−1)ψ + C1При n 6= 1 условие разрешимости будет иметь вид:1 n2λ2 = −− m2 .22 4n − 1При n = 1 получаем систему:5Откуда λ2 = {− 1211( + λ2 + m2 )C1 + C2 = 06411C1 + ( + λ2 + m2 )C2 = 0461− m2 , 12− m2 }.
Уравнение для u3 :u003 + n2 u3 = sin ψu02 − cos ψ sin ψu01 − cos2 ψ sin ψu00 − 2m2 cos ψu0+m2 + λ1 u2 + λ2 u1 + λ3 u0В правой части этого уравнения коэффициенты при einψ и e−inψ равны C1 λ3и C2 λ3 . Откуда λ3 = 0. 56Литература[1] Kronig R. de L., Penney W.G. Quantum mechanics of electrons in crystallatices. // Proc. Roy. Soc. A. – 1931.
– V.130. – P.499 - 513.[2] Березин Ф.А., Фаддеев Л.Д. Замечание об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом. // Докл. Акад. Наук СССР. – 1961.– Т. 137. –С. 1011 - 1014.[3] Альбеверио С., Гестези Ф., Хеэг-Крон Р., Хольден Х. Решаемые моделив квантовой механике. - М.: Мир. – 1991.[4] И.С. Лобанов. Спектральные свойства гамильтонианов явнорешаемыхмоделей мезоскопических структур: декорированные квантовые графыи квантовые точки.
Кандидатская диссертация, 2005.[5] Брюнинг Й., Гейлер В.А. Геометрическое рассеяние на компактных римановых многообразиях. // Доклады Академии Наук. – 2003.– Т. 389, N.3. – С. 310-313.[6] Брюнинг Й., Гейлер В.А., Лобанов И.С. Спектральные свойства операторов Шредингера на декорированных графах. // Математические заметки. –2005. –Т. 77, N.6. – С. 932-934.[7] J.Bruning, V.Geyler.
Scattering on compact manifolds with infinitely thinhorns.// J.Math.Phys. –2003. – Vol.44. – pp.371-405.57[8] S. Roganova. Direct and inverse spectral problems for hybrid manifolds.Dissertation, Humboldt Universitat zu Berlin. – 2007.[9] Exner P., Post O. Convergence of spectra of graph-like thin manifolds.//Journal of Geometry and Physics.
– 2005. – V.54. – P. 77-115.[10] М.А. Наймарк. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука,1969.[11] В.А. Гейлер, В.А. Маргулис, И.И. Чучаев. Потенциалы нулевого радиусаи операторы Карлемана.// Сибирский математический журнал. – 1995.–Т. 36. – N. 4.[12] Х. Цикон, Р. Фрезе, В. Кирш, Б. Саймон.
Операторы Шредингера сприложениями к квантовой механике и глобальной геометрии. М.: Мир,1990.[13] H. Donnelly. Eigenfunctions of the Laplacian on compact Riemannianmanifolds.// Asian J. Math. – 2006. – V. 10(1)– pp. 115-125.[14] Э. Уиттекер, Дж. Ватсон. Курс современного анализа, ч.2. Издательствофизико-математической литературы, 1963.[15] S. Rosenberg. The Laplacian on a Riemannian manifold.
// LondonMathematical Society Student Texts. –1997. – Vol. 31. – Cambridge.[16] Г. Бейтмен, А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции. т.1. М.: Наука, 1965.[17] Демков Ю.Н., Островский В.Н. Метод потенциалов нулевого радиуса ватомной физике. - Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1975.58[18] Курасов П.Б., Павлов Б.С. Электрон в однородном кристалле из точечных атомов с внутренней структурой. II. // Теоретическая и математическая физика. – 1987. – Т.74, N.
1. – С. 82-93.[19] Павлов Б.С. Теория расширений и явнорешаемые модели. // Успехи матем. наук. – 1987. – Т.42, N 6. – С. 99-131.[20] Павлов Б.С. Электрон в однородном кристалле из точечных атомов свнутренней структурой. // Теоретическая и математическая физика. –1987. – Т. 72, N 3.– С. 403-415.[21] Kuchment P., Zheng H. Convergence of spectra of mesoscopic systemscollapsing onto a graph.
// J. Math. Anal. Appl. – 2001. – V. 258, N.2.– P.671-700.[22] Saito Y. The limiting equation for Neumann Laplacians on shrinkingdomains. // Electron. J. Differ. Equ. – 2000. – V.31 – P. 1-25.[23] А.А. Толченников. О ядре операторов Лапласа-Бельтрами с потенциалом нулевого радиуса и на декорированных графах.// Математическийсборник. – 2008. – Т. 199, N7.
– с. 123-138.[24] A.A. Tolchennikov. Kernel and Trace Formula for the Exponential of theLaplace-Beltrami Operator on a Decorated Graph. // Russian Journal ofMathematical Physics. – 2008. – Vol. 15, No. 1. – pp.128-139.[25] А.А. Толченников. Тезисы конференции "Дни дифракции 2009". Изд-воСПбГУ. – 2009. – с. 88.[26] А.А. Толченников. Воронежская зимняя математическая школа С.Г.Крейна - 2008. Тезисы докладов.
Изд-во ВорГУ. – 2008. – с. 136.59.
