Спектральные свойства оператора Лапласа на декорированных графах и на поверхностях с дельта-потенциалами, страница 2

При α = 0 Hε,y имеет не более одного отрицательного собственного значения, погружающегося в существенныйспектр [0; ∞).В пункте 6.1 рассматривается семейство операторов на окружности вида∆ε = ∆ + 1ε V ( xε ). Имеет место сходимость собственных собственных значенийоператора ∆ε к собственным значениям ∆α,0 (теорема 9). Здесь ∆α,0 - расширение оператора Лапласа, ограниченного на функции, которые зануляются вRточке 0. Где α = S 1 V (x)dx - параметр, равный отношению одностороннихпроизводных в точке 0 для функций из области определения расширения.Для двумерной плоскости имеет место следующее утверждение (см.

[3]).Пусть семейство операторов имеет вид:λ1λ211·−yHε,y = ∆ +.+oV+ln ε (ln ε)2(ln ε)2ε2εТогда Hε,y сходится в равномерном резольвентном смысле к оператору∆α,y . Где α - параметр расширения, который находится следующим образом:RRRλ2 V (x)dxV (x) ln(x − x0 )V (x0 )dx0 dxRα=+,(2π)22π( V (x)dx)2Z2πприV (x)dx 6= 0, λ1 = R.V (x)dxВ противном случае Hε,y сходится в равномерном резольвентном смысле к ∆.Техника, применяемая в монографии [3], не обобщается на случай операторов на компактных многообразиях, имеющих дискретный спектр. Нами разбирается задача о сходимости спектра оператора Лапласа на сфере скусочно-постоянным потенциалом, сходящимся к дельта-функции (без нормировки логарифмом). Эта задача является модельным примером.

В п. 6.2доказывается теорема, утверждающая, что ограниченные непрерывные собственные значения сходятся к точкам спектра обычного оператора Лапласана сфере, т.е. к числам вида n(n + 1). Уравнение на спектр получается из9склейки собственных функций на границе, где потенциал терпит разрыв.

Апоскольку собственные функции выражаются через функции Лежандра, то,используя стандартные утверждения теории специальных функций, можнополучить оценки на часть уравнения, зависящую от ε, а отсюда получитьпредельные значения собственных чисел.Еще одна, разбираемая в п.6.3 задача рассматривает оператор Лапласана единичном диске с кусочно-постоянным потенциалом, терпящим разрывна границе диска радиуса ε и сходящимся к дельта-функции. Здесь имеетместо аналогичное утверждение о сходимости ограниченных непрерывныхсобственных значений к точкам спектра оператора Лапласа на диске (с граничными условиями Дирихле), т.е.

к нулям функций Бесселя. Техника доказательства здесь такая же, как и в предыдущей теореме.Еще одна затрагиваемая тема - сходимость спектра оператора Лапласа наповерхности, которая стягивается вдоль одного из направлений. Подобнымзадачам посвящены статьи [9], [21], [22]. В работе П. Экснера и О.

Поста [9]рассматривается "графоподобная" двумерная поверхность Mε в R3 , стягивающаяся к некоторому конечному графу G. Ограниченные по ε собственные значения оператора Лапласа на графоподобных поверхностях сходится кспектру оператора Лапласа на метрическом графе, причем граничные условия в вершинах графа зависят от способа перехода к пределу.

В частности,ими построено такое семейство графоподобных поверхностей Mε , для которых все ограниченные собственные значения λk (Mε ) оператора Лапласа сходятся либо к нулю, либо к собственным значениям прямой суммы операторовЛапласа с условиями Дирихле на ребрах графа G. В главе 7 рассматриваетсязадача о сходимости спектра оператора Лапласа на двумерном торе вращения, радиус меридиана которого стремится к нулю.

Теорема 12 вычисляетасимптотики собственных значений, аналитически зависящих от ελ=1(−n2 + ε2 λ2 + ε4 λ4 + . . .),2ε10251где λ2 = − 21 4nn2 −1 − m2 при n 6= 1 и λ2 = {− 12− m2 , 12− m2 } (при n = 1),n, m ∈ N ∪ {0}.Результаты автора по теме диссертации опубликованы в работах [23]—[26].Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю Андрею Игоревичу Шафаревичу за постановку задач, внимание к работе и ценные советы.11Глава 1Предварительные сведенияПусть H - гильбертово пространство, S - линейный оператор, область определения DS которого всюду плотна в H.Определение 1 График GS линейного оператора S - это множество пар{(f, Sf ) ⊂ H ⊕ H | f ∈ DS }.Определение 2 Если GS1 ⊂ GS2 , то оператор S2 называется расширениемоператора S1 (обозначается S1 ⊂ S2 ) .Определение 3 Оператор S1 называется замыканием оператора S, еслиGS1 = GS (оператор S1 обозначается S). Оператор S называется замкнутым, если GS - замкнутое подмножество в H ⊕ H.Пусть g ∈ H таков, что ему можно поставить в соответствие элементg ∗ ∈ H таким образом, что для всех f ∈ DS :(Sf, g) = (f, g ∗ ).В силу плотности DS , элемент g ∗ определен однозначно.Определение 4 Соответствие g ∗=S ∗ g, при котором равенство(Sf, g) = (f, S ∗ g) справедливо для всех f ∈ DS , задает некоторый оператор S ∗ , называемый сопряженным к S оператором.12Отметим очевидное свойство : если S ⊂ T , то T ∗ ⊂ S ∗ .Определение 5 Оператор S называется симметрическим, если (f, Sg) =(Sf, g) (∀ f, g ∈ DS ).Определение 6 Оператор S называется самосопряженным, если S = S ∗ ,то есть DS = DS ∗ , и Sf = S ∗ f (∀f ∈ DS ).Как описывать самосопряженные расширения? Поскольку для любого самосопряженного расширения S ⊂ S1 выполнено S1 ⊂ S ∗ , то надо уметь описывать оператор S ∗ .Определение 7 Дефектное подпространство Nz оператора S - это ортогональное дополнение в H к образу оператора S − z̄I, где z ∈ C.Теорема 1 [10] 1) Подпространства Nz являются собственными подпространствами оператора S ∗ , отвечающими собственным значениям z;2) n+ = dim Nz постоянно при изменении z в верхней полуплоскости, иn− = dim Nz постоянно при изменении z в нижней полупоскости (числаn+ и n− - называются индексами дефекта);3) S обладает самосопряженными расширениями тогда и только тогда,когда n+ = n− ;4) S - самосопряжен тогда и только тогда, когда n+ = n− = 0.Теорема 2 [10] Если S - замкнутый симметрический оператор, то подпространства DS , Nz , Nz̄ трансверсальны, иDS ∗ = DS ⊕ Nz ⊕ Nz̄ .13(1)Определение 8 Тройка (G, Γ(1) , Γ(2) ), где G - евклидово пространство,Γ(j) : D(S ∗ ) → G - линейные операторы, называется пространством граничных значений, если отображение x → Γ x = (Γ(1) x, Γ(2) x) ∈ G ⊕ Gсюрьективно и для любых x, y ∈ D(S ∗ ) выполнено условие:(x, S ∗ y) − (S ∗ x, y) = (Γ(1) x, Γ(2) y) − (Γ(2) x, Γ(1) y)(2)Определение 9 Пусть G - евклидово пространство.

Рассмотрим косоэрмитову форму на G ⊕ G: [x, y] = (x1 , y2 ) − (x2 , y1 ). ПодпространствоΛ ⊂ G ⊕ G называется лагранжевым, если оно совпадает со своим косоортогональным дополнением.Теорема 3 [7] Пусть S - симметрический оператор с совпадающими индексами дефекта (n− = n+ ) и пусть (G, Γ(1) , Γ(2) ) - пространство граничных значений для S. Для любого лагранжевого подпространства Λ ⊂ G ⊕ Gмножество {x ∈ D(S ∗ ) | Γx ∈ Λ} (где Γ = (Γ(1) , Γ(2) ) ) является областьюопределения самосопряженного расширения H Λ оператора S. Более того,это соответствие Λ ↔ H Λ является биекцией.Далее следуют важные примеры нахождения самосопряженных расширений симметрических операторов.1.1 Оператор Лапласа на отрезке.2dОпределим оператор S как замыкание оператора − dx2 c областью определе-ния C0∞ ([0, 1]) в пространстве L2 ([0, 1]).

Этот оператор симметрический, но несамосопряженный. Найдем оператор S ∗ , найдем индексы дефекта и построимпространство граничных значений для S.14По определению 4, f ∈ D(S ∗ ) если существует h ∈ L2 ([0, 1]) такая, что(f, Sg) = (h, g) для всех g ∈ D(S). В нашем случае для всех g ∈ C0∞ ([0, 1]):Z 1Z 100(f, Sg) = −f (x)g (x)dx =h(x)g(x)dx = (h, g).00А это означает, что f имеет вторую обобщенную производную из L2 , то естьD(S ∗ ) = H 2 ([0, 1]) и S ∗ f = −f 00 . Теперь найдем Ni = Ker(S ∗ − i):00∗2√−f − if = 0, f ∈ H ⇒ Ker(S − i) =< e−ix√− −ix,e>.Таким образом, n− = n+ = 2. Теперь покажем, что пространство граничныхзначений имеет вид: (C2 , Γ(1) , Γ(2) ), где Γ(i) : D(S ∗ ) → C2 определены так:0−f (0)f (0) , Γ(2) f = .Γ(1) f = 0f (1)f (1)Действительно, для любых f, g ∈ D(S ∗ ):(f, S ∗ g) − (S ∗ f, g) = f 0 (x)g(x)|10 − f (x)g 0 (x)|10 =f 0 (1)g(1) − f 0 (0)g(0) + f (0)g 0 (0) − f (1)g 0 (1) = (Γ(1) f, Γ(2) g) − (Γ(2) f, Γ(1) g).Самосопряженные расширения оператора S задаютсяплоскос   лагранжевыми0αтями в C2 ⊕ C2 .

Например, плоскости Λ = {    | α, β ∈ C} соответ0βствует расширение Неймана, то есть оператор второй производной с граничными условиями вида f 0 (0) = f 0 (1) = 0:D(SN ) = {f ∈ H 2 ([0, 1]) | f 0 (0) = f 0 (1) = 0}.151.2 Оператор Лапласа-Бельтрами, ограниченный на функции, которые зануляются на набореточек.Везде далее считаем, что M - гладкое замкнутое связное риманово многообразие, dim M ≤ 3. Пусть ∆ - оператор Лапласа-Бельтрами, то есть замыканиеоператора−dimXMi,j=11 ∂ √ jk ∂( gg),√g ∂xj∂xkопределенного на C ∞ (M ).