Спектральные свойства оператора Лапласа на декорированных графах и на поверхностях с дельта-потенциалами

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М.В. ЛОМОНОСОВАМЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТНа правах рукописиУДК 517.984.68, 515.168.5Толченников Антон АлександровичСпектральные свойства оператора Лапласана декорированных графахи на поверхностях с дельта-потенциалами01.01.04 — геометрия и топологияДиссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:доктор физико-математическихнаук, профессорА.И. ШафаревичМосква — 2009ОглавлениеВведение4Глава 1. Предварительные сведения121.1 Оператор Лапласа на отрезке. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2 ∆0 - оператор Лапласа-Бельтрами, ограниченный на функции,которые зануляются на наборе точек. . . . . . . . . . . . . . . . 16Глава 2. Ядро оператора Лапласа на многообразии с потенциалом нулевого радиуса182.1 Вычисление (xy ◦ y) для стандартной сферы Sa2 .. . . .

. . . . . 23Глава 3. Ядро оператора Лапласа на декорированных графах243.1 Размерность ядра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2 Расширение с условиями непрерывности . . . . . . . . . . . . . . 263.3 Ядро расширения с условиями непрерывности . . . . . . . . . . . 293.4 Пример, в котором оценка достигается. . .

. . . . . . . . . . . . . 32Глава 4. След экспоненты оператора Лапласа на декорированном графе.34Глава 5. След квадрата резольвенты для оператора с условияминепрерывности392Глава 6. Cпектр оператора Лапласа с потенциалом, сходящимсяк дельта-функции456.1 Окружность . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.2 Сфера.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.3 Диск. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Глава 7. Стягивающийся тор55Список литературы573ВведениеИспользование потенциалов нулевого радиуса в квантовой механике имеет более чем 70-летнюю историю. Изучая движение нерелятивистского электронав жесткой кристаллической решетке, Р.

де Л. Крониг и В.Г. Пенни в 1931году [1] одними из первых стали использовать точечные потенциалы. В 1961году Ф.А. Березин и Л.Д. Фаддеев [2], используя теорию самосопряженныхрасширений, дали строгое математическое обоснование этого метода и предложили использовать резольвентную формулу М.Г. Крейна для получениярезольвент возмущений. Дальнейшее исследование подобных моделей атомной физики проводилось в работах Ю.Н. Демкова и В.Н.

Островского [17],П.Б. Курасова и Б.С. Павлова [18], [19], [20].Та же техника расширений операторов используется в еще одном вопросе,касающемся операторов Лапласа-Бельтрами на декорированных графах, т.е.топологических пространствах, полученных отождествлением концов реберграфа с точками на замкнутых ориентируемых римановых многообразияхразмерности 1, 2 или 3. Актуальность этой темы заключается в том, чтоподобными операторами возможно моделировать гамильтониан заряженнойчастицы в массиве фуллеренов.

Подобные объекты впервые появились в работе Б.С. Павлова [20], где изучалось движение электронов в однородныхкристаллах из точечных атомов.Среди работ на эту тему можно отметить диссертацию И.С. Лобанова[4], в которой изучались спектральные свойства операторов Шредингера на4периодических декорированных графах, работу Й. Брюнинга и В.

Гейлера[7], в которой изучались свойства операторов на замкнутых многообразиях сприкрепленными полупрямыми, а также работы [5], [6].Очевидно, что размерность ядра оператора Лапласа на замкнутом римановом многообразии равна числу компонент связности этогомногообразия. Цель главы 3 диссертации - дать описание ядра оператораЛапласа-Бельтрами на декорированном графе. Ограничение на размерностьмногообразий (не больше чем 3), при помощи которых происходит декорация,связано с тем, что применяемая техника использует краевые условия в точкахсклейки; тем самым, область определения оператора Лапласа D(∆) = H 2 (M )(второе пространство Соболева) должна вкладываться в C(M ). При работе соператорами на таких пространствах применяются методы теории самосопряженных расширений (см.

[4],[7]). Именно, L2 пространство на декорированномграфе - это прямая сумма L2 -пространств на ребрах графа и на многообразиях. Оператор Лапласа-Бельтрами определяется из тех соображений, что нафункциях, носитель которых лежит в M \ {q1 , .., qs } (где M - замкнутое многообразие, либо отрезок, а {q1 , .., qs } - точки cклейки), он должен совпадатьс обыкновенным оператором Лапласа-Бельтрами. Также от этого оператора надо потребовать, чтобы он был самосопряжен.

Таким образом, оператор Лапласа-Бельтрами - это самосопряженное расширение оператора H0 –прямой суммы обычных операторов Лапласа-Бельтрами, ограниченных нафункции, которые зануляются в точках склейки. Далее, пользуясь тем, чтоимеется биекция Λ ↔ H Λ между лагранжевыми плоскостями в C4n ⊕ C4n(где n - число ребер графа) и самосопряженными расширениями оператораH0 , можно получить (п. 3.1), что ker H Λ ' L ∩ Λ, где L - фиксированнаялагранжева плоскость. Таким образом, размерность ядра может меняться впределах от 0 до 4n, причем в случае общего положения плоскости Λ ядротривиально.5Более содержательный результат получается, если фиксировать расширение.

Для этого в п. 3.2 вводится специальная лагранжева плоскость Λ0 , заданная условиями типа непрерывности. Центральный результат главы 3 доказательство неравенства (теорема 5), выполненного для оператора H Λ0на декорированном графе (полученном декорацией графа G):β0 ≤ dim ker H Λ0 ≤ β0 + β1где β0 - количество компонент связности графа G, β1 - количество независимых циклов графа G. Приведен пример, в котором указанная оценка достигается (п. 3.4), и показано, что сколь угодно малым изменением длин реберможно добиться равенства dim ker H Λ0 = β0 . Также показано, что величинаβ1 (G) − dim ker H Λ0 не убывает при добавлении новых ребер и многообразий.Техника, применяемая при описании операторов на декорированных графах, возникает и в более простой ситуации (представляющей самостоятельный интерес) операторов Лапласа-Бельтрами на многообразиях с потенциалом нулевого радиуса.

Это самосопряженное расширение оператора ЛапласаБельтрами, ограниченного на функции, зануляющиеся на наборе точек{qi }ni=1 . В определении таких операторов замечается сходство с определениемоператоров Лапласа-Бельтрами на декорированных графах. Описанию ядратакого оператора посящена глава 2, где доказывается равенство (теорема 4)ker H Λ ' L ∩ Λ, где L - фиксированная лагранжева плоскость в Cn ⊕ Cn ,которая может быть явно задана (утверждение 3).Связь характеристик многообразия со спектром оператора Лапласа, построенного по римановой метрике многообразия, проявляется наиболее явно васимптотических формулах следа для квадрата резольвенты (∆ + z 2 )−2 (z →∞) и экспоненты оператора e−∆t (t → 0). Для компактного риманова многообразия M (см.

[15])Tr e−∆t− n2∼ (4πt)∞Xk=06ak t k ,где ak =RMak (x)dwx , ak (x) - полиномиальные выражения от компонент тен-зора кривизны и их ковариантных производных. В частности, a0 (x) = 1, и6a1 (x) - скалярная кривизна.Отсюда, применяя преобразование Меллина, мы можем найти след квадрата резольвенты. Например, при dim M = 2:2 −2T r(∆ + z )∞Xak k!V ol(M ) χ(M )=++ ....∼4πz 2k+24πz 26z 4k=0Обобщением этих формул на случай декорированных графов посвящена диссертация С.В. Рогановой [8]. Для этих целей использовалась формула Крейна,выражающая разность резольвент двух дизъюнктных расширений (т.е. области определений которых пересекаются по области определения того оператора, от которого берутся расширения) через граничные операторы Γ(i) (см.[7]).

В отличие от классического случая риманова многообразия, формула дляследа квадрата резольвенты оператора Лапласа на декорированных графахсодержит в качестве коэффициентов при степенях z рациональные функцииот ln z. Получается т.н. псевдоасимптотическое разложение, разложение поz −n ln−m z, n, m ∈ N ∪ {0}. Такое разложение, если существует, единственно.С.В. Рогановой было вычислено псевдоасимптотическое разложение для расширений специального вида с условиями локальности (граничные условия вточке склейки содержат только значения функций, производных и коэфффициенты при особенностях в этой точке).

Это означает, что граничные условияимеют вид Γ(2) = ΛΓ(1) , где Λ - блочно-диагональная матрица.В главе 4 мы вычисляем след экспоненты описанных операторов, для чегоприменяем пребразование ЛапласаΛT r(t e−tH ) : T r(H Λ + p)−2к каждому члену псевдоасимптотического разложения T r(H Λ + p)−2 (утверждение 7) и даем оценку остаточного члена (утверждение 8). В теореме 7Λнайдены первые члены разложения T r(t e−tH ).7В главе 5 мы, используя технику С.В. Рогановой, вычисляем T r(H Λ0 +z 2 )−2 для оператора Лапласа с введенными в п.

3.2 условиями непрерывностиH Λ0 . Для этих целей необходимо изменить операторы граничных условий исравнивать резольвенту с резольвентой для H0 - прямой суммы операторовЛапласа на многообразиях и операторов Лапласа на отрезках с условиемДирихле. Доказательство теоремы 8 за исключением прямых вычисленийдословно повторяет доказательство теоремы 6 из [8]. В теореме 8 найденыпервые члены псевдоасимптотического разложения.Оказывается, что в разложении T r(H Λ0 +z 2 )−2 слагаемые, не содержащиелогарифмических членов, дают разложение для следа квадрата резольвентыпрямой суммы операторов Лапласа на многообразиях и на отрезках с условиями Неймана. В то время, как в разложении следов операторов, рассматриваемых С.В.

Рогановой, присутствуют ненулевые добавки к степенным членам(см. теорему 6).В главе 6 изучается следующий вопрос: что происходит со спектром оператора Лапласа при добавлении обычного потенциала, зависящего от малогопараметра и сходящегося к дельта-функции? Будет ли он сходиться к спектруоператора с дельта-потенциалом, введенным в главе 2 ?Вопрос о дельта-потенциалах и их аппроксимациях для евклидовыхпространств предельно подробно разбирался в монографии С.Альбеверио,Ф.Гестези, Р.Хэг-Крона и Х. Хольдена [3].

Для случая оператора на прямой имеет место следующий результат. Рассмотрим семейство операторовHε,y = ∆ + 1ε V ( ·−yε ), где V ∈ L1 (R). Тогда Hε,y сходится в равномерномRрезольвентном смысле к оператору ∆α,y , где α = R V (x)dx (это параметр,определяющий расширение ∆α,y оператора Лапласа, ограниченного на функции, которые зануляются в точке y). При α < 0 отрицательная часть спектраHε,y состоит из одного простого собственного значения, сходящегося к единственному собственному значению оператора ∆α,y . Если α > 0, то при доста8точно малых ε отрицательная часть спектра Hε,y отсутствует и у ∆α,y нетотрицательных собственных значений.