Диссертация (Создание высокоточных методов анализа твердых тел на основе расшифровки данных электронной спектроскопии методами инвариантного погружения), страница 9

Таким образомможно заменить процедуры численного вычисления сверток на произведение матрицы Тёплицаот индикатрисы неупругого рассеяния. Такую матрицу можно подставить в решение Ландау вместо xin (p), перейдя от обыкновенной экспоненты к матричной:[TL (s,∆) = expm (1 − λ) (1 − xT )sltot]x0 .(2.29)Удобно также перейти в исследуемых функциях к разложению по азимутальным гармоникам, что позволяет диагонализовать уравнения по азимутальному индексу m, тогда с учетом (2.27):46F (τ,∆,µ0 ,µ,φ) =xel (µ0 ,µ,φ) =F (µ0 ,µ,φ) =∞∑m=0∞∑m=0∞∑(2 − δm0 ) cos (mφ)∞∑Fkm (τ,µ0 ,µ) xkin (∆) ,(2.30)k=0(2 − δm0 ) cos (mφ) xmel (µ0 ,µ) ,(2 − δm0 ) cos (mφ) F m (µ0 ,µ) .m=02.5Основные результаты и выводы второй главы1.

Представлено и изучено базовое уравнение переноса, для описания движения потока частиц в веществе. Сформулирована граничная задача. Проведена аналогия и показаны отличия в уравнении переноса от постановки, известной в лучевой оптике.2. В единой модели, обозначениях и подходе сформулированы все основные уравнения,необходимые для решения задач переноса электронов и фотоэлектронов методом инвариантного погружения. Единый формализм позволит в дальнейшем предложить единообразные методы решения всех из представленных видов уравнений инвариантного погружения.3. Обозначены уравнения для описания потока фотоэлектронов, покидающих слой вещества. Эти уравнения, полученные на базе инвариантного погружения, учитывают не только упруго рассеянные частицы, но и электроны, испытавшие неупругие рассеяния в процессе движения в веществе.

Они обладают всеми преимуществами метода инвариантногопогружения и получены в тех же приближениях. Это позволит применить уже известныеи новые методы электронной спектроскопии к задачам РФЭС.4. На базе инвариантного погружения получены уравнения для описания потока фотоэлектронов, учитывающие как упруго рассеянные частицы, так и электроны, испытавшиенеупругие рассеяния в процессе движения в веществе. Использование метода инвариантного погружения для получения уравнений позволит применить к их решению развитыйматематический апарат электронной спектроскопии.5.

Описан подход к решению уравнений инвариантного погружения в виде разложения пократностям неупругого рассеяния, что позволяет перейти от многомерной задачи к последовательному решению «квази-упругих» задач для каждой кратности неупругого рассеяния, повышая производительность и упрощая методы.47Глава 3. Методы решения уравнения переноса в инвариантном погружении3.1 Решение уравнения переноса в приближении однократном иприближении «прямо вперед»Наиболее простым приближением, позволяющим получить аналитическое решение уравнений (2.17), (2.23), является классическое приближение «прямо вперед», также известное как«straight line approximation» (SLA) или приближение Рубина-Эверхарта [77, 78], в котором в силу сильной вытянутости сечения упругого рассеяния xel (θ ≈ 0◦ ) ≫ xel (θ > 90◦ ) пренебрегаетсяизменением направления движения частиц. Эта модель широко используется для интерпретацииспектров обратного резерфордовского рассеяния [79, 80] и спектров упругого электронного рассеяния [21, 81].xel,SLA (θ) = δ (θ) .(3.1)Описание функции пропускания в SLA, включающее в себя упруго не рассеянные частицы,описываемые дельта-функцией Дирака, становится тривиальным и может быть выражено черезрешение Ландау:)(τ ltotTSLA (τ,∆,µ0 ,µ,φ) = µ0 TL,∆ δ (µ0 − µ) δ (φ) .(3.2)µ0В случае отражения, в рамках данного приближения рассматривается единственное сильноерассеяние, которое и приводит к развороту частицы.

Запишем уравнение (2.17) с использованиемсечения (3.1), во втором и третьем слагаемом в правой части снимаются интегралы в результатеинтегрирования δ-функции, четвертым слагаемым пренебрегаем:∂RSLA (τ,p,µ0 ,µ,φ) + (1 − (1 − λ) xin (p))∂τ=(λx−el11+µ0 µ)RSLA (τ,p,µ0 ,µ,φ) =(′′(µ0 ,µ,φ) + λRSLA (τ,p,µ0 ,µ ,φ )11+µ0 µ). (3.3)Получено обыкновенное дифференциальное уравнение, решением которого с учетом граничного условия R (0,p,µ0 ,µ,φ) = 0 будет:RSLA (τ,p,µ0 ,µ,φ) =µ0 µλx−el (µ0 ,µ,φ)·µ0 + µ (1 − λ) (1 − xin (p))[(() )]11· 1 − exp − (1 − λ) (1 − xin (p))+τ, (3.4)µ0 µ48или, после обратного Лаплас-преобразования, в виде ряда по кратностям неупругого рассеяния:Rk,SLA (τ,µ0 ,µ,φ) =µ0 µ λx−el (µ0 ,µ,φ)·µ0 + µ (1 − λ)[((· 1 − exp − (1 − λ)11+µ0 µ) )∑(() )n ]k111τ(1 − λ)+τ.

(3.5)n!µµ0n=0Для слоев полубесконечной толщины, в соответствии с выражением 3.5, интенсивность сигнала отраженных электронов остается постоянной с ростом кратности неупругого рассеяния.Запишем уравнение (2.23) в SLA, оставив только первое и третье слагаемое, интегралы вкотором снимаются в результате интегрирования δ-функции:∂1 − (1 − λ) xin (p)QSLA (τ,p,µ0 ,µ,φ) +QSLA (τ,p,µ0 ,µ,φ) =∂τµ= λγ F (µ0 ,µ,φ) + λQSLA (τ,p,µ0 ,µ′ ,φ′ ).

(3.6)µПолученное обыкновенное дифференциальное уравнение может быть решено аналитически:[()]λγ F (µ0 ,µ,φ)(1 − λ) (1 − xin (p))QSLA (τ,p,µ0 ,µ,φ) = µ1 − exp −τ,(1 − λ) (1 − xin (p))µ(3.7)или, после обратного Лаплас-преобразования, в виде ряда по кратностям неупругого рассеяния:[()∑()n ]kλγ F (µ0 ,µ,φ)(1 − λ)1 1−λQk,SLA (τ,µ0 ,µ,φ) = µ1 − exp −ττ.(1 − λ)µn!µn=0(3.8)Стоит отметить, что приведенное тут выражение, в случае упругого рассеяния (k = 0), сточностью до обозначений совпадает с решением Фэдлей [9, 74].3.2 Решение уравнения переноса методом инвариантного погружения вмалоугловом приближенииКлассическим методом получения аналитических решений уравнения переноса в МИП является малоугловое приближение [82, 83, 84].

Оно, как и SLA, использует сильную вытянутостьупругого сечения рассеяния, но не пренебрегает им. Для упрощения формул не будем брать врасчет зависимость функций от азимутального угла, которую легко дополнить путем перехода кприсоединенным полиномам Лежандра и поиском решения для каждой m-ой азимутальной гармоники. Основными допущениями малоуглового приближения являются:491. пренебрежение удлинением траектории в результате небольших отклонений частицы приупругом рассеянии, что в случае отражения эквивалентно(s≈d·11+µ0 µ);(3.9)2. пренебрежение членами второго порядка малости в уравнениях МИП;3. вынесение из-под интеграла косинуса угла рассеяния в знаменателе как постоянной, соответствующей максимуму индикатрисы, поскольку подынтегральное выражение с x+el в(2.12)-(2.18) имеет резкий максимумˆ1dµ′1′T (τ,p,µ0 ,µ′ ) x+(µ,µ)≈el′µµˆ1′′T (τ,p,µ0 ,µ′ ) x+el (µ ,µ) dµ ;004. возможность расширения пределов интегрирования в область, на которой ортогональныполиномы Лежандра и упрощения интегралов, поскольку сечение упругого рассеянияимеет резкий максимум при малых углахˆ1T (τ,p,µ0 ,µ′) x+el′ˆ1′(µ ,µ) dµ ≈T (τ,p,µ0 ,µ′ ) xel (µ′ ,µ) dµ′ ;−105.

поиск решения в виде разложения по полиномам ЛежандраT (τ,p,µ0 ,µ) =∞∑2l + 1l=0lTl (τ,p) Pl (µ0 ) Pl (µ) .(3.10)Разложение в ряд по полиномам Лежандра функции в уравнении МИП диагонализует его и приводит к системе независимых уравнений. В силу теоремы сложения для полиномов Лежандра идопущения №3, интегралы преобразуются к виду:ˆ1′′T (τ,p,µ0 ,µ′ ,φ′ ) x+el (µ ,µ,φ − φ )dµ′Tl (τ,p) xl≈,µ′µ0гдеˆ1xl =xel (cos θ) Pl (cos θ) d (cos θ) .−1503.2.1Функция пропусканияФункция пропускания с единичным граничным условиемЗапишем уравнение МИП для функции пропускания Tl+ (τ,p) в малоугловом приближении:∂ +1 − (1 − λ) xin (p) +T + (τ,p) xlTl (τ,p) +Tl (τ,p) = λ l.∂τµµ(3.11)Полученное обыкновенное дифференциальное уравнение с учетом граничного условияT (0,p) = µδ (µ0 − µ) δ (φ) имеет аналитическое решение:+[Tl+]1 − λxl − (1 − λ) xin (p)(τ,p) = µ exp −τ ,µ(3.12)или в виде разложения в ряд по кратностям неупругого рассеяния:[+Tl,k1 − λxl(τ ) = µ exp −τµ]((1 − λ) τµ)k1.k!(3.13)Функция пропускания, записанная в таком виде, содержит в себе частицы, прошедшие слой,не испытав упругих рассеяний, и описываемые дельта-функцией Дирака.

Суммирование коэффи+циентов разложения Tl,k(τ ) по l приведет к осциллирующей функции, таким образом решение(3.13) непригодно для определения самой функции пропускания, но, как будет показано ниже,удобно для использования в расчете многослойных систем.Функция пропускания с нулевым граничным условиемЕсли нас все же интересует вид функции пропускания для слоя необходимо исключить изнее частицы, прошедшие слой, не испытав упругих рассеяний.

Для этого «от руки» вычтем функцию Ландау из (3.13):Tl,k (τ ) =+Tl,k()k)(τ11−λ(τ ) − µ exp −τ.µµk!(3.14)или суммируя коэффициенты разложения по полиномам Лежандра,(Tk (τ,µ0 ,µ) = µ1−λτµ)k]([[)]∞1 ∑ 2l + 1τ1 − λxl·τ − exp −exp −Pl (µ0 ) Pl (µ) , (3.15)k! l=0 2µµ51что было предложено Гаудсмитом и Саундерсеном [12, 13]для упругого случая отраженных частици хорошо известно специалистам в области теории переноса.Функция пропускания с учетом эффекта поворота тела яркостиКак было показано в работе [85], уравнение для функции пропускания может быть записанос учетом эффекта поворота тела яркости, хорошо известного в оптике мутных сред. Для этогозапишем уравнение МИП для функции пропускания Tl (τ,p) (2.17) в малоугловом приближении:[]∂1 − (1 − λ) xin (p)1 − (1 − λ) xin (p)Tl (τ,p) xlτ xl + λTl (τ,p) +Tl (τ,p) = λ exp −.∂τµµ0µРешением этого дифференциального уравнения с учетом граничного условия Tl (0,p) = 0является:)−11 − (1 − λ) xin (p) 1 − λxl − (1 − λ) xin (p)Tl (τ,p) = λxl−·µ0µ)())((ττ.

(3.16)· exp − [1 − λxl − (1 − λ) xin (p)] − exp − (1 − (1 − λ) xin (p))µµ0(Разложим выражение (3.16) по степеням xin (p), чтобы использовать в формулах вида (2.30):λxl (1 − λ)kTl,k (τ ) = µµ0·µ − (1 − λxl )µ0[ k ()k−i [() ( )i() ( )i ] ]∑µ − µ0ττττ1·exp − [1 − λxl ]− exp −. (3.17)µ − (1 − λxl )µ0µµµ0µ0i!i=03.2.2 Функция отраженияПоиском решения для функции отражения в малоугловом приближении занимались многиеученые на протяжении последних десятилетий [86, ?]. В рамках этих решений применялись различные дополнительные допущения, например, «от руки» вычитался не рассеянный поток частиц,вводились физически и математически плохо обоснованные дополнительные коэффициенты. Ниже впервые будет представлен аккуратный вывод решения для функции отражения в малоугловомприближении [87].Ключевая проблема применения малоуглового приближения для описания отражения заключается в несправедливости допущения №4 раздела 3.2 при описании функции отражения.Рассмотрим уравнение для упруго рассеянных частиц от слоя полубесконечной толщины по крат-52ностям упругого рассеяния.