Диссертация (Создание высокоточных методов анализа твердых тел на основе расшифровки данных электронной спектроскопии методами инвариантного погружения), страница 12

Не закрашенные круги – упругое рассеяние, звезды –фоторождение, описывающееся функциейF (µ0 ,µ,φ), черные круги - неупругое рассеяние, неприводящее к изменению направления движения частицы.Запишем дискретный аналог уравнения (3.47):∂Qk (τn )+ Qk (τn ) m−1 = λQk (τn ) wxp +∂τ+ λγ Fm wxm wRk (τn ) + λQk (τn ) wxm wR0 (τn ) ++ (1 − λ) Qk−1 (τn ) m−1+k−1∑i=0λQi (τn ) wxm wRk−i (τn ) ,70перенесем в левую часть все слагаемые с Qk (τn ), применим метод DBF для решения матричного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами:[ADBFQk (τn ) ADBF (τm ) = CBDF (τn )[](τm ) = hβ m−1 − λwxp − λwxm wR0 (τn ) + ECBDF (τn ) = hβ λγ Fp wxm wRk (τn ) + (1 − λ) Qk−1 (τn ) m−1 +k−1∑]λQi (τn ) wxm wRk−i (τn )i=0∑min(p,n−1)+αi Qk (τn−i−1 ) .(3.48)i=03.4Моделирование рассеяния электронов в твердом теле методомМонте-КарлоСреди методов решения уравнения переноса (2.1) отдельно стоят алгоритмы компьютерного моделирования рассеяния частиц методом Монте-Карло.

Компьютерное моделирование становится все более популярным в последние годы, что связано с ростом производительности вычислительных систем и сокращении времени расчета. Компьютерное моделирование, в отличие отостальных методов, позволяет рассматривать значительно более сложные системы и процессы.Результаты компьютерного моделирования в настоящее время при апробации вычислительныхметодик могут выступать в качестве замены экспериментальным данным. Моделирование содержит только заложенные в него процессы и приближения и дает картину мысленного эксперимента,которая была в случае справедливости заложенных приближений.Для дополнительной апробации разработанных способов была создана система моделирования методом Монте-Карло в среде MATLAB. Траектория частицы в среде моделируется классическим прямым методом [97].

В модели рассеяния использовались следующие приближения:1. гипотеза Ферми – сечение рассеяния электрона можно разделить на две независимые части ω (E0 ,Ω,∆) = ωel (E0 ,Ω,∆) + ωin , (E0 ,∆): упругую, приводящую к изменению траектории и потери энергии исходя из законов сохранения механической энергии, и неупругую, связанную с потерей энергии в результате взаимодействия с электронной подсистемой атомов мишени. Потери энергии при упругом взаимодействии описываются выражением:∆el (θ) = E 1 −(mm+M)2cos θ + Mm√(1−m sin θM)22  ,(3.49)где m – масса электрона, M – масса рассеивающего атома, θ – угол рассеяния, E0 – энергия электрона;2.

процесс рассеяния считается стохастическим Пуассоновским процессом;713. мишень считается однородной, изотропной, аморфной с четко определенным составом иплотностью; кристаллическая решетка не влияет на движение электронов внутри мишени, упругое рассеяние рассматривается как рассеяние на отдельных атомах, случайнымобразом расположенных в веществе;4. взаимодействием между рассеивающимися частицами пренебрегается;5. рассматриваются только плоские однослойные (однородные) системы;6.

между двумя актами рассеяния электрон движется прямолинейно без потери энергии,свободный пробег определяется какl = −ltot ln ξ,(3.50)где ξ – случайное число (каждое ξ в тексте соответствует новому случайному числу);7. приближение широкого пучка позволяет пренебречь зависимостью результата от положения на поверхности образца.Разработанная система делает возможным:– моделирование отражения, пропускания и фотоэмиссии слоев конечной толщины;– построение угловых распределений по кратностям упругого и неупругого рассеяния;– получение пробеговых распределений в заданную геометрию по кратностям упругого инеупругого рассеяния;– построение энергетических спектров электронов с учетом потерь энергии при упругомрассеянии;– ведение учета зависимости сечения от энергии.При статистической обработке удачно завершенных траекторий используются равномерные сетки(рис. 3.8), что значительно упрощает нормировку полученных данных:– сетка по косинусу полярного угла {µi };– сетка по азимутальному углу {φi } в случае ненормального падения;– сетка по энергии {εi }, определяемая конкретной задачей;– сетка по кратностям упругого рассеяния {nel,i };– сетка по кратностям неупругого рассеяния {nin,i };– сетка по длине пробега {ui };– сетка по полярному углу фоторождения, с которой был эмитирован фотоэлектрон {µγ,i }.Состояние частицы на каждом шаге моделирования описывается параметрами:→– −r = {x,y,z} – вектор координат частицы;−→– d = {d1 ,d2 ,d3 } – вектор направляющих косинусов, описывающий направление движениячастицы;– E – энергия частицы;– nin – число неупругих рассеяний, которое испытала частица в процессе своего движенияв мишени;– nel – число упругих рассеяний, которое испытала частица в процессе своего движения вмишени;– µγ – полярный угол, с которым фотоэлектрон был рожден.72Рисунок 3.8 — Элементарная площадка на полусфере у поверхности мишени, поток частицчерез которую фиксируется.

Сетка разбиения по полярному углу выбирается равномерной покосинусу ∆µ = const, таким образом размер элементарной площадкиdΩ = sin θdθdφ = dµdφ = const постоянен.Искомые функции распределений могут быть представлены как плотность вероятности детектирования частицы, вылетевшей из мишени в заданном направлении и с заданной потерей энергии.1N (µi ,φj ,εk ),n→∞ N0 (µ0 ,φ0 ,0) ∆µ∆φ∆εF (µi ,φj ,εk ) ≈ µ0 lim(3.51)здесь коэффициент µ0 в начале приводит в соответствие результаты моделирования с решениямиуравнений МИП, n – число траекторий.Точность современных методов решения уравнения переноса в оптике достигает десятойдоли процента.

Если задаться целью получить погрешность не более 1%, необходимо промоделировать около 108 траекторий для упругой задачи, что даже сегодня встречается не часто. Примоделировании потерь энергии этот показатель возрастает до 1010 ÷ 1012 траекторий. Это накладывает жесткие требования на производительность используемых алгоритмов.Процесс моделирования траектории рассеяния частиц стандартен, хорошо апробирован [98]и состоит из следующих этапов:1. задается начальное положение частица:→−−→→→(a) в случае электронного рассеяния: −r =−r0 , d = d0 , E = E0 , nin = nel = 0;(b) в случае фотоэмиссии: [(() )]−→1−→zmaxi. r = − d0 lγ ln 1 − 1 − exp − lγ cos θ0 ξ , где lγ – средняя длинасвободного пробега фотона между рождением двух электронов длязаданного перехода; zmax – параметр, определяющий максималь-73ную возможную глубину рождения фотоэлектрона для данной серии моделирования;(−)−→→ii.

θ0 = Pγ−1 (ξ), φ0 = 2πξ, d = Rotation d0 ,θ,φ , где Pγ (θ) =´θF (θ′ ) dθ′ – плотность вероятности рассеянияэлектронана угол0(→)−−1θ, Pγ (ξ) – обратная ей функция, Rotation d0 ,θ,φ – функция по−→ворота частица, летящей в направлении d0 , при рассеянии на угол(θ,φ):d1 =d2 =d3 =d01 cos θ + √sin θ 2 (d01 d03 cos φ − d02 sin φ)1−d03d02 cos θ +√sin θ 21−d03(d02 d03 cos φ + d01 sin φ) .(3.52)d03 cos θ − √sin θ 2 cos φ1−d032. разыгрывается пробег частицы (3.50)→−→→(a) −r =−r +ld ;(b) u = u + l;3.

проверка условия обрыва траектории в результате выхода частицы из образца(a) r3 < 0 или r3 > dmax , где dmax – толщина образца;4. определяется канал рассеяния(a) ξ ≤ λ – упругое рассеяние;(b) ξ > λ – упругое рассеяние;5. в зависимости от канала рассеяния(a) упругое рассеяние:i. увеличивается счетчик неупругих рассеяний: nel = nel + 1;−→ii. разыгрываетсяуголрассеяния: θ = Pel−1 (ξ), φ = 2πξ, d =(−)´θ→Rotation d ,θ,φ , где Pel (θ) = 0 xel (θ′ ) dθ′ ;iii. разыгрывается потеря энергии при упругом рассеянии по формуле(3.49): E = E − ∆el 1 ;(b) неупругое рассеяние:i. увеличивается счетчик неупругих рассеяний: nin = nin + 1;ii.

разыгрывается потеря энергии при неупругом рассеянии: E = E −´E−1Pin(ξ), где Pin (∆) = 0 xin (∆) d∆ – плотность вероятности потери энергии при неупругом рассеянии2 ;6. проверяется условие обрыва траектории(a) покидание частицей пределов образца: r3 < 0, r3 > d, где d – толщина образца;(b) выход частицы за интересующий интервал: E < Emin , где Emin – нижняя граница рассматриваемого диапазона энергий3 ;(c) превышение предельной кратности неупругого рассеяния: nin > nmaxin ;1Расчет может быть отключенРасчет может быть отключен3Выполняется только в случае моделирования потерь энергии2747.

статистическая обработка частиц происходит только при обрыве траектории в результатевылета частицы из образца.Представленный алгоритм может быть проиллюстрирован ниже приведенным псевдокодом. Здесьфункции расчета длины свободного пробега, угла рассеяния и потери энергии представлены частицами, зависящими от энергии. Подобное уточнение снижает скорость моделирования и можетбыть отключено с помощью специального параметра.Алгоритм 3.3 Моделирование траектории движения частицы% Задаем начальное положение частицыif моделирование РФЭС[d, r] = GetXPSInitialParams;elsed = d0;r = r0;end if;while true% Моделирование свободного пробегаl_tot = CalcMeanFreePath(E);l = -l_tot*log(xi1);r = r + d*l;u = u + l;if r(3)>0 && r(3)<d_max% Статистическая обработка вылетевшей частицыAnalyze;break;end;% Определение канала рассеянияif xi2>CalcLambda(E) thenn_in = n_in+1;E = E - Calc_dE(xi3, E);elsen_el = n_el + 1;[theta, phi] = CalcScatteringAngle(xi3, xi4, E);d = Rotation(d, theta, phi);E = E - Calc_dE_Elastic(xi5, E);end;% Проверка условий обрыва тракторииif E<E_min || n_in>n_in_maxbreak;end;end;75Отличительной особенностью математической среды MATLAB является использование высокопроизводительных библиотек для операций над матрицами, а также оптимизированных методом генерации массивов случайных величин, приводящих к росту производительности их генерации с ростом размерности массива.

Это позволяет перейти от стандартного процесса моделирования последовательно каждой траектории частицы к моделированию пачками. Пачка представляет из себя набор векторов и матриц, характеризующих текущее состояние и положение частиц.Каждый этап алгоритма реализуется сразу для всей пачки, если это возможно. Таким образом, наэтапе розыгрыша свободного пробега частицы все частицы пачки «перемещаются» одновременно. Аналогичным образом канал рассеяния определяется для всех частиц пачки. Моделированиеупругого и неупругого канала рассеяния происходят примерно для половины всех частиц в пачке,т.к.