Диссертация (Создание высокоточных методов анализа твердых тел на основе расшифровки данных электронной спектроскопии методами инвариантного погружения), страница 11

Подставляя полученные набор матриц в (2.30) можно получить угловоераспределение упруго отраженных частиц для произвольной геометрии рассеяния.В [38] показано, что функция отражения R0 (τ,µ0 ,µ,φ), описывающая угловые распределения плотностей потока упруго отраженных электронов, определяет те же уравнения, которыеописывают угловые распределения интенсивностей в рассеивающей среде с альбедо λ и индикатрисой рассеяния xel (µ). В последние несколько десятилетий для расчета R0 (τ,µ0 ,µ,φ) в оптикебыли созданы высокоточные производительные численные методы вычислений угловых распределений, например, MDOM [43] и DISORT [92], погрешность которых составляет доли процента.На рис.

3.1 представлено сравнение результатов, полученных при решении (3.33), с методом дискретных ординат на базе MDOM [43] и моделированием. Алгоритм моделирования описан в 4.Расчет выполнен для модельной задачи отражения от полубесконечного слоя золота с использованием одинаковых параметров вещества во всех трех методах. Все три результата полностью600.07MDOM0.060.05R0(θ)0.040.030.020.010-80-60-40-20020406080θРисунок 3.1 — Угловое распределение упруго отраженных электронов от слоя золотаполубесконечной толщины, E0 = 2 кэВ, нормальное падение.соответствуют друг другу. Данные, полученные путем моделирования, сходятся к решению методом MDOM с увеличением числа траекторий.3.3.2 Функция отражения от слоя конечной толщиныПри переходе от полубесконечности к слоям конечной толщины, которые представляютпрактический интерес, уравнение (3.32) должно быть дополнено производной по глубине от функции R0m (τ,µ0 ,µ):()11∂R0m (τ,µ0 ,µ)m+ R0 (τ,µ0 ,µ)+= λxm,−(µ0 ,µ)el∂τµ0 µˆ1ˆ1dµ′dµ′m,+′m′′+ λ xel (µ0 ,µ ) R0 (τ,µ ,µ) ′ + λ R0m (τ,µ0 ,µ) xm,+(µ,µ)+elµµ′00ˆ1 ˆ1+λ0(µ′ ,µ′′ ) R0m (τ,µ′′ ,µ)R0m (τ,µ0 ,µ) xm,−eldµ′′ dµ′.

(3.34)µ′′ µ′0Аналогичное изменение необходимо сделать и в дискретном аналоге уравнения:61∂R0 (τn )+ m−1 R0 (τn ) + R0 (τn ) m−1 = λxm + λxp wR0 (τn ) +∂τ+ λR0 (τn ) wxp + λR0 (τn ) wxm wR0 (τn ) . (3.35)Уравнение (3.33) называется дифференциальным алгебраическим уравнением Риккати. Влитературе описаны различные алгоритмы его решения [93]. Стандартным методом интегрирования таких уравнений является формула численного обратного дифференцирования или BackwardDifferentiation Formula (BDF) [94, 95]. Запишем уравнение (3.33) в виде:∂R0 (τ )= F (τ,R0 (τ )) ,∂τтогда интегрирование дифференциального уравнения может быть представлено реккурентнойформулой:R0 (τn+1 ) −p−1∑αj R0 (τn−j ) − hβF (τn+1 ,R0 (τn+1 )) = 0,j=0здесь p – порядок метода BDF, h – шаг интегрирования, τn = nh – узлы сетки интегрирования поглубине, αj , β – коэффициенты метода BDF соответствующего порядка.Таким образом, дифференциальное уравнение (3.33) может быть сведено к алгебраическомууравнению Риккати с постоянными коэффициентами, аналогичному (3.33):ABDF R0 (τn ) + R0 (τn ) A′BDF = CBDF + R0 (τn ) DBDF R0 (τn )EABDF = hβA +2min(p,n−1)∑CBDF = hβC +αi R0 (τi )(3.36)i=0DBDF = hβDРассмотрим изменение функции Rk (τ,µ0 ,µ,φ) при добавлении слоя толщиной dτ над образцом толщиной τ .

Процессы, приводящие к этому изменению, изображены на рис. 3.3. Методинвариантного погружения позволяет записать уравнение для функции отражения, описывающееэти процессы. Отметим, что нелинейные члены, содержащие искомую функцию, записаны явнои вынесены из суммы:620.016MDOM0.0140.0122R0(θ)0.010.00810.0060.0040.0020-80-60-40-20020406080θРисунок 3.2 — Угловые распределения отраженных электронов отраженных от слоя золотаконечной толщины: (1) – 1 нм, (3) – 3 нм. Начальная энергия E0 = 5 кэВ, угол зондированияθ0 = 30◦ , кресты – метод дискретных ординат (MDOM), линия – численное решениеуравнения (3.36).∂Rkm (τ,µ0 ,µ)+ Rkm (τ,µ0 ,µ)∂τ(11+µ0 µ)ˆ1x+el=λ′(µ0 ,µ) Rkmdµ′(τ,µ ,µ) ′ +µ′0ˆ1+λ′Rkm (τ,µ0 ,µ′ ) x+el (µ ,µ)dµ′+µ′0ˆ1 ˆ1+λ0dµ′′ dµ′+µ′′ µ′′ ′′m′′R0m (τ,µ0 ,µ′ ) x−el (µ ,µ ) Rk (τ,µ ,µ)dµ′′ dµ′+µ′′ µ′0ˆ1 ˆ1+λ0′ ′′m′′Rkm (τ,µ0 ,µ′ ) x−el (µ ,µ ) R0 (τ,µ ,µ)0(1 − λ)(1 − λ) mm(τ,µ0 ,µ)Rk−1 (τ,µ0 ,µ) + Rk−1++µ0µk−1 ˆ1 ˆ1∑dµ′′ dµ′′′′ ′′m(τ,µ,µ)(µ,µ)R+λRim (τ,µ0 ,µ′ ) x−.

(3.37)k−ielµ′′ µ′i=100Дискретный аналог уравнения (3.37) для слоя полубесконечной толщины имеет вид:m−1 Rk + Rk m−1 = λxp wRk + λRk wxp + λR0 wxm wRk + λRk wxm wR0+ (1 − λ) m−1 Rk−1 + (1 − λ) Rk−1 m−1 +k−1∑i=1λRi wxm wRk−i63Rk ( τ, µ 0 , µ, ϕ )dτ0τRkRkRiRk − iRk −1Rk −1ZРисунок 3.3 — Процессы, приводящие к изменению функции Rk (τ,µ0 ,µ,φ) при добавлении слоятолщиной dτ над образцом толщиной τ . Не закрашенные круги – упругое рассеяние, черныекруги – неупругое рассеяние, не приводящее к изменению траектории.что, после переноса всех членов с Rk в левую часть, с учетом симметричности матриц Rk ,преобразуется в:ARk + Rk A′ = C(3.38)A = m−1 − λxp w − λR0 wxm w−1C = (1 − λ) m Rk−1 + (1 − λ) Rk−1 m−1+k−1∑λRi wxm wRk−ii=1Уравнение (3.38), в отличие от (3.33), является уравнением Ляпунова, в нем нет нелинейного слагаемого, и оно может быть решено стандартными методами. С одной стороны, матричноеуравнение Ляпунова проще, с другой стороны, его необходимо последовательно решать Nin − 1раз, где Nin - число интересующих неупругих рассеяний.Отметим, что с ростом кратности неупругого рассеяния в уравнении меняется только правая часть, поэтому решать уравнение (3.38) будем с помощью разложения коэффициентов на собственные числа и собственные векторы.

Это позволит единожды получить разложение неизменного коэффициента и в дальнейшем, подставляя различные правые части, получать искомую функцию отражения. Следующий псевдокод иллюстрирует предложенный метод решения уравненияЛяпунова:64Алгоритм 3.2 Решение уравнения Ляпунова методом разложения на собственные числа и собственные векторы% Находим собственные векторы и собственные значения матрицы A[A_vec, A_val] = eig(A);% Сортируем вектор собственных значений по возрастанию[A_val, sortOrder] = sort(diag(A_val));% Аналогично сортируем матрицу собственных векторовV_vec = V_vec(:,sortOrder);for n=1:N_inC= ...;C_new = A_vec\C/A_vec’;% Получаем квадратную матрицу, в которой% P(i,j) = A_val(i)+A_val(j);P= bsxfun(@plus, A_val, A_val’);Rn= A_vec*(C_new./P)*A_vec’;end;0.250.2k=1k=20.15Rn(θ)k=50.10.0500102030405060708090θРисунок 3.4 — Угловые распределения отраженных и один, два и пять раз неупруго рассеянныхэлектронов от слоя золота полубесконечной толщины.

Начальная энергия – E0 = 3 кэВ,нормальное падение. Моделирование было проведено для 108 траекторий.На рис. 3.4 представлено сравнение результатов численного расчета угловых распределений отраженных от слоя золота полубесконечной толщина электронов с энергией 3 кэВ с МКмоделированием для однократно, двукратно и пятикратно неупругого рассеянных.При переходе к слоям конечной толщины уравнение (3.38) преобразуется в дифференциальное уравнения Ляпунова с переменными коэффициентами. Стандартным методом его решенияявляется BDF. Дискретный аналог уравнения (3.37), также как (3.36) с учетом (3.38) имеет вид:65ABDF Rk (τn ) + Rk (τn ) A′BDF = CBDFEABDF = hβA +2min(p,n−1)∑CBDF = hβC +αi Rk (τn−i−1 )(3.39)i=0Уравнения (3.35), (3.36), (3.38), (3.39) с учетом (2.30) составляют полный набор инструментов, необходимых для точного решения выражения МИП для функции отражения.3.3.3Функция пропусканияНа практике задачи об отражении от полубесконечного однородного слоя не встречаются.Даже в однокомпонентном веществе в приповерхностных слоях рассеивающие свойства веществаотличаются от таковых в массиве, что подталкивает нас к рассмотрению даже однокомпонентноймишени как многослойной системы.

Задача о рассеянии такой системой неизбежно приводит наск необходимости описания функции пропускания поверхностных слоев. Очевидно, что функцияпропускания отлична от нуля только для слоев конечной толщины. Запишем уравнение (2.15) дляупруго рассеянных частиц, не испытавших неупругих рассеяний:[]∂ m1 mτT (τ,µ0 ,µ) + T0 (τ,µ0 ,µ) = λ exp −xm,+ (µ0 ,µ) +∂τ 0µµ0 elˆ1dµ′′+λ T0m (τ,µ,µ′ ) xm,+(µ,µ)+elµ′0[τ+λ exp −µ0] ˆ1xm,−(µ0 ,µ′ ) R0m (τ,µ′ ,µ)eldµ′+µ′0ˆ1ˆ100+λ(µ′ ,µ′′ ) R0m (τ,µ′′ ,µ)T0m (τ,µ,µ′ ) xm,−eldµ′ dµ′′µ′ µ′′Дискретный аналог уравнения (3.40):)(∂T0 (τn )+ T0 (τn ) m−1 = λ exp −τn m−1 xp + λT0 (τn ) wxp +∂τ()+λ exp −τn m−1 xm wR0 (τn ) + λT0 (τn ) wxm wR0 (τn ) .Перенесем в левую часть уравнения все слагаемые с T0 (τn ) и применим BDF:(3.40)66CBDFT0 (τn ) ABDF (τn ) = CBDF (τn )[]ABDF (τn ) = hβ m−1 − λwxp − λwxm wR0 (τn ) + E[()()](τn ) = hβ λ exp −τn m−1 xp + λ exp −τn m−1 xm wR0 (τn ) +∑(3.41)min(p,n−1)+αi T0 (τn−i−1 ) .i=0В результате матричной записи и применения BDF получается система линейных алгебраических уравнений, которые характеризуются простым решением.Рассмотрим изменение функции Tk (τ,µ0 ,µ,φ) при добавлении слоя толщиной dτ над образцом толщиной τ .

Процессы, приводящие к этому изменению, изображены на 3.5. Отметим, чтонелинейные члены, содержащие искомую функцию, вынесены из суммы.[]()k1 mτ1 m,+∂ m1−λTk (τ,µ0 ,µ) + Tk (τ,µ0 ,µ) = λ exp −τx(µ0 ,µ) +∂τµµ0µ0k! elˆ1dµ′ 1 − λ m′(µ,µ)+ λ Tkm (τ,µ0 ,µ′ ) xm,++Tk−1 (τ,µ0 ,µ) +elµ′µ0ˆ1 ˆ1+λ0+k∑i=0Tkm (τ,µ0 ,µ′ ) xm,−(µ′ ,µ′′ ) R0m (τ,µ′′ ,µ)eldµ′ dµ′′+µ′ µ′′0[τλ exp −µ0](1−λτµ0)i1i!ˆ1mxm,−(µ0 ,µ′ ) Ri−k(τ,µ′ ,µ)eldµ′+µ′0+k−1∑i=0ˆ1ˆ100λmTim (τ,µ0 ,µ′ ) xm,−(µ′ ,µ′′ ) Rk−i(τ,µ′′ ,µ)eldµ′ dµ′′. (3.42)µ′ µ′′0RiτTkTiRRk −iiTk −1dτZTk ( τ, µ 0 , µ, ϕ )Рисунок 3.5 — Процессы, приводящие к изменению функции Tk (τ,µ0 ,µ,φ) при добавлении слоятолщиной dτ над образцом толщиной τ .

Не закрашенные круги – упругое рассеяние, черныекруги – неупругое рассеяние, не приводящее к изменению траектории.Дискретный аналог уравнения (3.39) для слоя полубесконечной толщины имеет вид:67() ((1 − λ) τn m−1 )∂Tk+ Tk m−1 = λ exp −τn m−1xp +∂τk!+ λTk wxp + (1 − λ) Tk−1 m−1 +k+ λTk wxm wR0 +k−1∑λTi wxm wRk−i +i=0k∑i=0() ((1 − λ) τn m−1 )ixm wRk−i . (3.43)λ exp −τn m−1i!или после переноса в левую часть уравнения всех слагаемых с Tk (τn ) и применения BDF:CBDFTk (τn ) ABDF (τn ) = CBDF (τn )[]ABDF (τn ) = hβ m−1 − λwxp − λwxm wR0 (τn ) + E∑(1 − λ) Tk−1 m−1 + k−1i=0 λTi wxm wRk−i +k((1−λ)τn m−1 )(τn ) = hβ xp ++λ exp (−τn m−1 )k!i−1∑k((1−λ)τn m )+ i=0 λ exp (−τn m−1 )xm wRk−ii!∑(3.44)+min(p,n−1)+αi Tk (τn−i−1 )i=0В результате получается система линейных алгебраических уравнений, которая должна решаться последовательно по кратностям неупругого рассеяния.В совокупности уравнения (3.35), (3.36), (3.38), (3.39), (3.41), (3.44) с учетом (2.30) составляют полный набор инструментов точного описания рассеивающих свойств слоя, который в дальнейшем будет использован для анализа многослойных систем.3.3.4Плотность потока рентгеновских фотоэлектронов и Оже-электроновЗапишем уравнение (2.23) для фотоэлектронов, покинувших образец, не испытав неупругихрассеяний[96].Qm (τ,µ0 ,µ)∂ mQ0 (τ,µ,µ) + 0= λγ F m,− (µ0 ,µ) +∂τµˆ1ˆ1′dµdµ′m,+′′(τ,µ,µ)x(µ,µ)+ λγ F m,+ (µ0 ,µ) R0m (τ,µ′ ,µ) ′ + λ Qm+00elµµ′00ˆ1ˆ100+λm,−′Qm(µ′ ,µ′′ ) R0m (τ,µ′′ ,µ)0 (τ,µ0 ,µ ) xeldµ′ dµ′′.

(3.45)µ′ µ′′68dτ0R0R0τQ0Q0Q0Q0 ( τ, µ 0 , µ, ϕ )ZРисунок 3.6 — Процессы, приводящие к изменению функции Q0 (τ,µ0 ,µ,φ) при добавлении слоятолщиной dτ над образцом толщиной τ . Не закрашенные круги – упругое рассеяние, звезды –фоторождение, описывающееся функцией F (µ0 ,µ,φ).Дискретный аналог уравнения (3.45):∂Q0 (τn )+ Q0 (τn ) m−1 = λγ Fm + λQ0 (τn ) wxp +∂τ+ λγ Fp wxm wR0 (τn ) + λQ0 (τn ) wxm wR0 (τn ) ,перенесем в левую часть все слагаемые с Q0 (τn ), применим метод DBF для решения матричного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами:ADBFQ0 (τn ) ADBF (τm ) = CBDF (τn )[](τm ) = hβ m−1 − λwxp − λwxm wR0 (τn ) + E∑min(p,n−1)CBDF (τn ) = hβ [λγ Fm + λγ Fp wxm wR0 (τn )] +i=0αi Q0 (τn−i−1 ) .(3.46)69Запишем уравнение (2.23) для фотоэлектронов, покинувших образец, испытав k неупругихрассеяний.∂ mQm(τ,µ0 ,µ)1−λ mQk (τ,µ,µ) + k=Qk−1 (τ,µ0 ,µ) +∂τµµˆ1ˆ1dµ′dµ′m,+m,+m′′′+ λγ F(µ0 ,µ) Rk (τ,µ ,µ) ′ + λ Qm(τ,µ,µ)x(µ,µ)+0kelµµ′00ˆ1 ˆ1+λ0m,−′Qm(µ′ ,µ′′ ) R0m (τ,µ′′ ,µ)k (τ,µ0 ,µ ) xeldµ′ dµ′′+µ′ µ′′0k−1 ˆ1 ˆ1∑dµ′ dµ′′m,−′′ ′′m′′(3.47)+λQm(τ,µ,µ)x(µ,µ)R(τ,µ,µ)0ik−iel′ µ′′µi=000dτ0Rk − iRkτQkQiQk −1Qk ( τ, µ 0 , µ, ϕ )ZРисунок 3.7 — Процессы, приводящие к изменению функции Qk (τ,µ0 ,µ,φ) при добавлении слоятолщиной dτ над образцом толщиной τ .