Диссертация (Особенности акустооптического взаимодействия в терагерцевом диапазоне), страница 12

Один из нихнаблюдается при = 0 и любом значении , другой же – лишь при < 10−2 .Для количественного определения невзаимного эффекта удобно использо­вать величину ∆1 , показывающую во сколько раз уменьшается интенсивность1 при смене направления распространения исходной электромагнитной волны с⃗0 ↑↑ ⃗ на ⃗0 ↑↓ .⃗ При выполнении условия брэгговского синхронизма ( = 0)и малой эффективности дифракции (1 ≪ 1) были установлены следующие со­отношения для величины невзаимности: ≫ 1 : ∆1 = exp( ), ≫ 1 : ∆1 = exp(2 ),(2.81) , ≪ 1 : ∆1 = 1.Последнее из равенств ещё раз подтверждает, что при отсутствии погло­щения электромагнитных волн и затухания акустических волн невзаимностьотсутствует. Первые же два говорят о том, что можно добиться сколь угоднобольшой величины невзаимности ∆1 .

Этому можно дать следующее наглядное⃗ затухающие акустическая и электромагнитные волныобъяснение. При ⃗0 ↑↓ распространяются навстречу друг другу и, если затухание обоих волн достаточ­но велико, то в области сильного акустического поля амплитуда 0 ≪ 1, а вобласти, где 0 ≈ 1, акустическое поле очень слабое. В итоге, перекачка энер­гии из нулевого дифракционного порядка в первый практически отсутствует. В⃗ в области ξ ≪ 1 перекачка энергии происходит болеето же время при ⃗0 ↑↑ интенсивно. Таким образом, ∆1 может быть много больше единицы.Для определения полосы АО взаимодействия, как и в предыдущем па­раграфе, были использованы две функции для аппроксимации – линейная и83Рисунок 2.28 — Зависимость максимально достижимой эффективности АОВ1opt от параметра затухания звука при заданных значениях поглощенияизлученияРисунок 2.29 — Зависимость оптимальной длины opt от параметра затуханиязвука при различной степени поглощения излучения84квадратичная, но теперь относительно комбинации параметров ( − /2).

Чис­ленный расчёт показал, что в линейной функции необходимо взять модуль отаргумента, а квадратичную оставить без изменений:⃒⃒(︂)︂2⃒⃒∆ = 2 −+ 0 .(2.82)∆ = 1 ⃒⃒ − ⃒⃒ + 0 ,22Значения коэффициентов 0 , 1 , 0 , 2 , полученные с использованием ме­тода наименьших квадратов для наперёд заданного значения , лежащего вдиапазоне 0.001 6 6 8, приведены в таблице 2.2.Таблица 2.2 — Зависимость коэффициентов линейной и квадратичной моделейдля расчёта полосы АО взаимодействия от безразмерной длины Квадратичная модель оказалась наиболее подходящей при малых значени­ях длины АО взаимодействия , в то время как линейная – при больших. Каквидно из таблицы 2.2, величина коэффициента 0 сильно изменяется в той обла­сти значений , где коэффициент корреляции близок к единице.

Более точныйанализ показал, что функция (, ) во всех точках имеет вторую производ­ную. Поэтому зависимость 0 ( ) должна быть уточнена в области = /2.85Численный расчёт даёт следующие выражения для полосы АО взаимодействия:(︂)︂20.28π2, 6 0.1 : ∆ = 0.09 −+2⃒⃒(2.83)⃒⃒ 0.28π2 > 0.1 : ∆ = ⃒⃒ − ⃒⃒ +.2Проведённая аппроксимация гиперболической зависимостью четвертойстепени относительно аргумента ( − /2) показала, что в этом случае от­носительная погрешность аппроксимации не превышает 6%:⎯]︃2⎸(︂)︂4 [︃(︂)︂⎸2 20.28π4++ 1.12 .∆ = ⎷ −(2.84)2Таким образом, доказано, что в режиме обратной коллинеарной дифрак­ции при повороте АО ячейки на 180 градусов относительно падающего излуче­ния полоса АО взаимодействия и интенсивность дифрагированного излученияизменяются.

Установлено, что этот невзаимный эффект проявляется только,когда нельзя пренебречь поглощением излучения и затуханием звука. Прове­дённый анализ показал, что при малой эффективности АО взаимодействия вы­⃗ зависят отражения для интенсивности 1 и полосы ∆ при условии ⃗0 ↑↓ ⃗ – откомбинации параметров ( − /2), в то время как при условии ⃗0 ↑↑ комбинации ( + /2).862.2.6.3 Дифракция на отражённой акустической волне присонаправленности её волнового вектора и волнового векторападающей электромагнитнойЕсли показатель преломления среды достаточно велик, необходимо потре­бовать малости угла падения (ψ ≪ 1) акустической волны на входную оптиче­скую грань АО ячейки. В этом случае до и после отражения акустическая волнапроходит примерно равные отрезки пути , её затуханием до отражения прене­бречь нельзя.

В этом параграфе проведён анализ для геометрии АО взаимодей­ствия, при которой электромагнитная волна нулевого дифракционного порядка⃗ Схемараспространяется в том же направлении, что и акустическая (⃗0 ↑↑ ).АО взаимодействия приведена на рисунке 2.30, а система уравнений связанныхмод имеет вид:]︂[︂0− (ξ + 1)=−0 + 1 expexp( ξ), 0 (0) = 1,ξ222[︂]︂(2.85)− (ξ + 1)1=1 − 0 expexp(− ξ), 1 (1) = 0.ξ222б)а)Рисунок 2.30 — Обратная коллинеарная АО дифракция на отражённой⃗ а) ход лучей в АО ячейке и б)затухающей акустической волне при ⃗0 ↑↑ :векторная диаграмма87При выполнении условия брэгговского синхронизма ( = 0) решение дан­ной системы записывается через модифицированные функции Бесселя:[︃]︃2(︂)︂1111()()+()()333311ν− 2ν+ 2ν+ 2−ν+ 2exp − ,1)ν 6 : 0 =2ν− 12 (1 )ν+ 12 (3 ) + ν+ 21 (3 )−ν+ 21 (1 )2[︃]︃2ν+ 12 (3 )ν+ 12 (1 ) − ν+ 21 (1 )ν+ 21 (3 )1 =,ν+ 12 (3 )−ν+ 12 (1 ) + ν− 21 (1 )ν+ 21 (3 )[︃]︃2(︂)︂−ν− 12 (3 )−ν+ 21 (3 ) + −ν+ 12 (3 )ν+ 21 (3 )112)ν > : 0 =exp − ,2−ν− 12 (3 )−ν+ 21 (1 ) + −ν+ 12 (1 )ν+ 21 (3 )2[︃]︃2−ν− 21 (1 )ν+ 21 (3 ) − −ν− 12 (3 )ν+ 21 (1 )1 =,−ν− 12 (3 )−ν+ 21 (1 ) + −ν+ 12 (1 )ν+ 21 (3 )(2.86)где введено следующее обозначение:exp(− ).(2.87)Как было показано ранее, в режиме малой эффективности АО взаимодей­ствия интенсивность 1 пропорциональна мощности акустической волны.

По­этому, решение в данном случае отличается от (2.71) лишь дополнительнымэкспоненциальным множителем:3 =1 =1 + exp[−2 (/2 + )] − 2 exp[− (/2 + )] cos( )×4(/2 + )2 + 4 2× exp(− ).(2.88)(2.89)Поскольку зависимость от параметра осталась прежней, то это приведётк тому, что полоса АО взаимодействия ∆ будет также определяться соотноше­нием (2.76). Проведённый численный расчёт показал, что данное утверждениесправедливо и при любой эффективности АО взаимодействия:⎯]︃2⎸(︂)︂4 [︃(︂)︂2⎸20.28π4∆ = ⎷ +++ 1.12 .(2.90)2Вычислив производную от 1 по и приравняв её к нулю, можно получитьследующее выражение для оптимальной длины АО взаимодействия, дающеепогрешность менее 5% в области > 3, > 0.06:(︂)︂12opt=ln+2 .(2.91)/2 + 88Из полученного соотношения следует, что в отсутствие затухания акусти­ческой волны ( = 0) оптимальная длина, как и ранее, стремится к бесконеч­ности, а в прозрачной среде ( = 0) она обратно пропорциональна .

Такимобразом, определяющую роль в ограничении opt играет, в основном, затуханиеакустической волны, в то время как при прямой коллинеарной дифракции необ­ходимо учитывать ещё и поглощение электромагнитных волн. На рисунках 2.31и 2.32 приведена численно рассчитанная зависимость оптимальной длины optи интенсивности 1opt от параметров и .

Из графиков следует, что функция opt ( ) имеет локальный максимум, который монотонно смещается в сторонуменьших значений при уменьшении параметра .89Рисунок 2.31 — Зависимость максимально достижимой интенсивности 1opt отзатухания акустической волны при различной степени прозрачности средыРисунок 2.32 — Зависимость оптимальной длины opt от затуханияакустической волны при различной степени прозрачности среды902.2.6.4 Дифракция на отражённой акустической волне припротивонаправленности её волнового вектора и волнового векторападающей электромагнитной волныДля геометрии АО взаимодействия, когда электромагнитная волна нулево­го дифракционного порядка распространяется навстречу отражённой звуковой⃗ схема дифракции приведена на рисунке 2.33, а система уравне­волне ⃗0 ↑↓ ,ний связанных мод записывается в виде:(︂)︂− (2 − ξ)0=−0 + 1 expexp( ξ), 0 (0) = 1,ξ222(︂)︂(2.92)1− (2 − ξ)=1 − 0 expexp(− ξ), 1 (1) = 0.ξ222б)а)Рисунок 2.33 — Обратная коллинеарная АО дифракция на отражённойзатухающей акустической волне, распространяющейся навстречу падающейэлектромагнитной волне: а) ход лучей в АО ячейке и б) векторная диаграммаПри выполнении условия брэгговского синхронизма ( = 0) получено сле­дующее аналитическое решение системы (2.92):[︃]︃2(︂)︂ν+ 12 (1 )−ν+ 12 (1 ) + ν− 12 (1 )ν+ 21 (1 )10 =exp ,ν− 12 (1 )ν+ 12 (3 ) + ν+ 21 (3 )−ν+ 21 (1 )2(2.93)[︃]︃2ν− 21 (3 )−ν+ 12 (1 ) − ν− 12 (1 )−ν+ 21 (3 )1 =.ν− 12 (1 )ν+ 12 (3 ) + ν+ 12 (3 )−ν+ 21 (1 )Если эффективность АО взаимодействия мала, и можно пренебречь изме­нением амплитуды 0 при перекачке энергии в первый дифракционный поря­док, то интенсивность 1 будет в exp(− ) раз меньше, чем рассчитанная по91формуле (2.79), а величина невзаимности ∆1 останется прежней (2.81):1 =exp[−2 (/2 + )×4(/2 − )2 + 4 2(2.94)× {1 + exp[−2 (/2 − )] − 2 exp[− (/2 − )] cos( )}.Поскольку при нарушении условия брэгговского синхронизма множительexp(− ) не влияет на зависимость от параметра расстройки , то полосаАО взаимодействия ∆ будет по-прежнему определяться соотношением (2.84).Проведённый численный расчёт показал, что данное утверждение справедливои при любой эффективности АО взаимодействия:⎯]︃2⎸(︂)︂4 [︃(︂)︂2⎸20.28π4∆ = ⎷ −++ 1.12 .(2.95)2При малой эффективности дифракции оптимальная длина АО взаимодей­ствия связана с параметрами и следующим образом:(︂)︂1ln.(2.96) opt =/2 − /2 + Численный расчёт показывает, что данное соотношение даёт погрешностьменее 5% в области > 3 и > 0.3 (малая эффективность дифракции).