Диссертация (Особенности акустооптического взаимодействия в терагерцевом диапазоне), страница 10

Для полученных значений оптимальной длиныбыла рассчитана максимально достижимая интенсивность в первом дифракци­онном порядке, зависимость которой от при различных значений приведе­на на рисунке 2.19.В том случае, когда электромагнитная волна нулевого дифракционного⃗ потребуем, чтобыпорядка распространяется навстречу акустической (⃗0 ↑↓ ),граничные условия на амплитуды электромагнитных волн остались прежними.Поэтому необходимо, чтобы направление оси ξ совпадало с направлением вол­нового вектора падающей на звуковую решётку электромагнитной волны. Послеряда преобразований можно получить следующие дифференциальные уравне­ния:[︂]︂− (2 − ξ)0=−0 + 1 expexp( ξ), 0 (0) = 1,ξ222[︂]︂(2.58)1− (2 − ξ)=−1 + 0 expexp(− ξ), 1 (0) = 0.ξ222Анализ полученных выражений показывает, что смена направления вол­нового вектора исходной электромагнитной волны ⃗0 относительно волнового⃗ на противоположной не влияет на эффектив­вектора акустической волны ность АО взаимодействия при брэгговском синхронизме и не сказывается навеличине полосы ∆.

Таким образом, можно сделать вывод о полной идентич­ности решений систем уравнений (2.54) и (2.58).67Рисунок 2.17 — Зависимость интенсивности 1 от длины АО взаимодействия и затухания звука в оптически прозрачной средеРисунок 2.18 — Зависимость интенсивности 1 от длины АО взаимодействия и при различных значениях затухания звука в оптически прозрачной среде68Рисунок 2.19 — Зависимость оптимальной интенсивности 1opt откоэффициентов поглощения света и затухания звука Рисунок 2.20 — Зависимость оптимальной длины АОВ opt от затухания звука при различных значениях поглощения излучения 692.2.5 Обратная коллинеарная акустооптическая дифракция наакустической волне постоянной амплитудыВ данном разделе рассмотрена так называемая обратная дифракции.

Подтермином “обратная” подразумевается, что дифрагированная и исходная элек­тромагнитные волны распространяются в противоположных направлениях. Нарисунке 2.21 приведены векторные диаграммы для, иллюстрирующие этот осо­бый тип дифракции. Из этих диаграмм следует, что длины волновых векторовсвета и звука отличаются в 2 раза. Обратная коллинеарная дифракция можетбыть реализована как в двулучепреломляющих, так и в оптически изотропныхсредах, при этом частота акустической волны должна быть экстремальновысокой. Так в видимом диапазоне частота может достигать нескольких де­сятков гигагерц, в то время как в ТГц диапазоне она будет составлять уже сотнимегагерц.б)а)Рисунок 2.21 — Обратная коллинеарная АО дифракция: а) +1 порядок и б) -1порядокУстройства, в которых применяется данный тип дифракции, используютсядостаточно давно в голографии и волоконной оптике и называются брэгговски­ми отражателями [1; 27; 93].

Их отличительной особенностью является аперио­дическая зависимость интенсивности 1 электромагнитной волны в первом ди­фракционном порядке от безразмерной длины АО взаимодействия = . Еслисчитать, что среда оптически прозрачна, а дифракция происходит на плоскоймонохроматической незатухающей акустической волне, то зависимость 1 ( )имеет вид квадрата гиперболического тангенса [1]:(︂ )︂4 exp( )2 0 (ξ = 1) =,1 (ξ = 0) = tanh.(2.59)[exp( ) + 1]2270Поведение функции tanh() таково, что она не имеет осцилляций и, выходяиз начала координат по линейному закону, стремится к единице при увеличенииеё аргумента (см.

рисунок 2.22). Данное свойство может быть использовано длясоздания АО фильтров с высоким разрешением, в которых будет отсутствоватьобратная перекачка энергии из первого дифракционного порядка в нулевой, ха­рактерная для прямой коллинеарной дифракции [94].Для того, чтобы определить полосу АО взаимодействия, необходимо ре­шить следующую систему уравнений:0= 1 exp( ξ),0 (0) = 1,ξ21= − 0 exp(− ξ), 1 (1) = 0.ξ2(2.60)На рисунке 2.23 приведёна зависимость 1 (, ), полученная в результатечисленного расчёта.

Из графика видно, что осцилляции появляются лишь прибольших величинах расстройки > 1, когда интенсивность 1 оказывается нанесколько порядков меньше, чем при выполнении условия брэгговского синхро­низма. Кроме того, при больших значениях > 10 полоса ∆ практически независит от .Численный расчет полосы АО взаимодействия ∆ для значений безраз­мерной длины АО взаимодействия , лежащих в диапазоне 0 < < 1, даётрезультат:0.28π2∆ =.(2.61)Дополнительный анализ зависимости 1 (,) (см. рисунок 2.23) показал,что, кроме эффекта насыщения интенсивности дифрагированной волны в пер­вом дифракционном порядке, обратная коллинеарная дифракция на акустиче­ской волне постоянной амплитуды имеет ещё одну характерную только для дан­ного режима черту.

Она состоит в том, что безразмерная полоса АО взаимодей­ствия не может быть меньше, чем некоторое число. В связи с этим была про­ведена аппроксимация функции ∆( ) в более широком диапазоне значений0 < < 15. Наилучший результат, обеспечивающий относительную погреш­ность не более 6%, дала следующая функция:√︃(︂)︂20.28π2∆ =+ ∆02 ,∆0 = 1.108 ± 0.012.(2.62)71Рисунок 2.22 — Зависимость интенсивности электромагнитной волны внулевом и первом дифракционных порядках от безразмерной длины АОвзаимодействияРисунок 2.23 — Зависимость интенсивности 1 от длины АО взаимодействия и расстройки в прозрачной среде72Если учесть поглощение электромагнитных волн в среде, то достаточнопростое выражение для интенсивностей 0 и 1 получается лишь при выполненииусловия брэгговского синхронизма = 0:√4( 2 + 1) exp( 2 + 1)0 = [︀ √√√]︀2 ,( 2 + 1 + ) exp( 2 + 1) − + 2 + 1(2.63)√]︀2[︀exp( 2 + 1) − 11 = [︀ √√√]︀2 .222( + 1 + ) exp( + 1) − + + 1Как видно из приведённых уравнений, коэффициент поглощения входитв выражения для 0 и 1 более сложным образом, чем при прямой коллинеарнойили ортогональной АО дифракции.

Даже в случае малой эффективности АОвзаимодействия не удаётся разделить переменные и :1 =1 + exp(2 ) − 2 cos( ) exp( )exp(−2 ).4 ( 2 + 2 )(2.64)Данный факт приводит к тому, что полоса АО взаимодействия ∆ зави­сит не только от длины , но и от коэффициента поглощения . Численныйрасчёт показывает, что наличие поглощения электромагнитных волн в среде неприводит к осцилляциям, и максимальное значение функции 1 ( ) достигаетсяпо-прежнему на бесконечности. Численное моделирование показывает, что прималых значениях длины АО взаимодействия и коэффициента поглощения величина полосы ∆ зависит только от , при больших – наоборот, только от:0.28π2∆ =(, ≪ 1),∆ = (, ≫ 1).(2.65)Используя метод наименьших квадратов, была проведена аппроксимациязависимости ∆(, ) функциями, предельные значения которых были найде­ны ранее.

Наиболее удачной оказалась гиперболическая зависимость четвёртойстепени, обеспечивающая относительную погрешность не более 7%:⎯[︃(︂]︃2⎸)︂2⎸20.28π4∆ = ⎷ 4 ++ 1.12 .(2.66)В области значений > π и > 100 указанная погрешность существен­но возрастает, и аппроксимация гиперболической зависимостью не применима.73Более того, в этой области эффективность АО взаимодействия много меньшеединицы, а зависимость 1 (∆) имеет вид гармонической функции. Таким об­разом, полученные ранее соотношения могут быть использованы для описанияработы большинства типов АО устройств.

В тоже время, при использованииэкстремально больших мощностей акустической волны возможно проявлениенеобычных эффектов, исследование которых выходит за рамки данной работы.2.2.6 Обратная коллинеарная акустооптическая дифракция назатухающей акустической волнеКак и в параграфе, посвященном прямой коллинеарной АО дифракции, вданном разделе рассмотрены четыре возможных ситуации, отвечающие различ­ной взаимной ориентации волновых векторов электромагнитной волны нулевого⃗ а также возможности ис­дифракционного порядка ⃗0 и акустической волны ,пользования отражения акустической волны.2.2.6.1 Обратная дифракция при сонаправленности волновоговектора акустической волны и волнового вектора электромагнитнойволны нулевого дифракционного порядкаЕсли в эксперименте не используется отражение акустической волны иволновой вектор электромагнитной волны сонаправлен с волновым вектором⃗ (см.

рисунок 2.24), то при обратной коллинеарнойакустической волны ⃗0 ↑↑ дифракции уравнения связанных мод записываются следующим образом:(︂)︂− ξ0=−0 + 1 expexp( ξ), 0 (0) = 1,ξ222(︂)︂(2.67)1− ξ=1 − 0 expexp(− ξ), 1 (1) = 0.ξ22274б)а)Рисунок 2.24 — Обратная коллинеарная АО дифракция при распространенииакустической и падающей электромагнитной волны в одном и том женаправлении: а) ход лучей в АО ячейке и б) векторная диаграммаАналитическое решение системы (2.67) в общем случае выражается черезмодифицированные функции Бесселя комплексного порядка и аргумента, а ито­говая формула, даже при введении новых обозначений для сокращении записи,занимает не одну страницу. При выполнении условия брэгговского синхронизма( = 0) выражения для 0 (ξ = 1) и 1 (ξ = 0) имеют вид:1) ν 60 =1:2[︃]︃2ν− 12 (1 )ν+ 12 (1 ) + ν+ 12 (1 )−ν+ 21 (1 )ν− 12 (2 )ν+ 12 (1 ) + ν+ 12 (1 )−ν+ 21 (2 )[︃1 =ν+ 12 (2 )ν+ 12 (1 ) − ν+ 12 (1 )ν+ 21 (2 )(︂1exp − 2)︂,]︃2,ν− 12 (2 )ν+ 12 (1 ) + ν+ 12 (1 )−ν+ 21 (2 )12) ν > :[︃2]︃2)︂(︂−ν− 12 (1 )−ν+ 12 (1 ) + −ν+ 21 (1 )ν+ 21 (1 )10 =exp − ,−ν− 12 (1 )−ν+ 12 (2 ) + −ν+ 21 (2 )ν+ 21 (1 )2[︃]︃2−ν− 12 (2 )ν+ 12 (1 ) − −ν− 21 (1 )ν+ 21 (2 )1 =.−ν− 12 (1 )−ν+ 12 (2 ) + −ν+ 21 (2 )ν+ 21 (1 )В формуле (2.68) введены следующие обозначения:(︂)︂111,1 =exp − ,2 =,ν=2(2.68)(2.69)75а ν () и ν () – модифицированные функции Бесселя первого и второго родасоответственно, являющиеся решением уравнения Бесселя:22 2+− (2 + ν2 ) = 0.(2.70)При малой эффективности АО взаимодействия удаётся получить болеепростое выражение для 1 , не содержащее функций Бесселя:1 =1 + exp[−2 (/2 + )] − 2 exp[− (/2 + )] cos( ).4(/2 + )2 + 4 2(2.71)Проведённый численный расчёт показал, что максимальная эффектив­ность дифракции достигается при opt = ∞.

Это объясняется следующим об­разом. Во-первых, при увеличении длины АО взаимодействия обратная пе­рекачка энергии из первого дифракционного порядка в нулевой не приводитк уменьшению интенсивности 1 . Во-вторых, интеграл перекрытия электромаг­нитного и акустического полей растёт с увеличением . И в-третьих, в данномслучае нет никакого фактора, ограничивающего рост 1 , как, например, при ор­тогональной или прямой коллинеарной геометрии, когда наличие поглощенияизлучения приводит к необходимости уменьшать область АО взаимодействия.При АО дифракции в прозрачной среде ( = 0) итоговые соотношениясущественно упрощаются и представляют собой квадрат обратного гиперболиче­ского косинуса для интенсивности в нулевом дифракционном порядке и квадратгиперболического тангенса для интенсивности в первом порядке:]︂[︂]︂[︂2 1 − exp ( /2)−2 1 − exp ( /2),1 = tanh.(2.72)0 = coshПостроенный по данным формулам график приведён на рисунке 2.25.