Диссертация (Особенности акустооптического взаимодействия в терагерцевом диапазоне), страница 11

Изнего видно, что затухание акустической волны оказывает приблизительно такоеже влияние на эффективность АО взаимодействия, как и поглощение электро­магнитных волн. Численный расчёт позволил определить величину полосы АОвзаимодействия и построить график ∆(, ), который представлен на рисун­ке 2.26.

Отметим, что наличие затухания акустической волны позволяет полу­чить полосу АО взаимодействия меньше единицы ∆ < 1 в области значений > 4 и ≈ 0.6. Платой за это будет уменьшение эффективности АО взаимо­действия на ∆1 = 10 ÷ 15% относительно уровня, соответствующего = 0.Столь малая величина ∆1 связана с тем, что при < 1 интенсивность элек­тромагнитной волны в первом порядке 1 практически не зависит от (см.76Рисунок 2.25 — Зависимость интенсивности 1 от длины взаимодействия изатухания звука в прозрачной средеРисунок 2.26 — Зависимость полосы АО взаимодействия ∆ от длинывзаимодействия и затухания звука в прозрачной среде77рисунок 2.25).

Минимальное значение полосы составляет ∆ = 0.7 и наблю­дается при величине коэффициента затухания акустической волны = 0.7(совпадение численных значений случайно).Как видно из графиков, приведённых на рисунках 2.25 и 2.26, при отно­сительно больших значениях коэффициента полоса, в которой наблюдаетсяэффективное АО взаимодействие, и интенсивность электромагнитной волны впервом дифракционном порядке зависят только от того, насколько велико зату­хание акустической волны. Численный расчёт даёт следующие выражения:1 =1,21∆ = .2(2.73)Точно такой же результат был получен при рассмотрении прямой колли­неарной АО дифракции. Поэтому можно сделать вывод о том, что эффектив­ная длина АО взаимодействия оказывает в обоих случаях одинаковое влияниена полосу ∆.

Некоторые особенности обратной коллинеарной дифракции, каксужение полосы ∆, проявляются лишь при слабом затухании акустическойволны. С точки же зрения эффективности АО взаимодействия, режим обратнойколлинеарной АО дифракции является более предпочтительным. Это связанос тем, что при прямой коллинеарной АО дифракции интенсивность электро­магнитной волны в первом порядке гораздо быстрее спадает при увеличениикоэффициента затухания акустической волны .

Кроме этого, если при задан­ном коэффициенте поглощения электромагнитной волны увеличивать дли­ну АО взаимодействия , то в режиме прямой коллинеарной АО дифракциипри превышении некоторого оптимального значения > opt интенсивность 1уменьшается, в то время как при обратной коллинеарной дифракции можно идалее увеличивать , поскольку дифрагированная волна распространяется в об­ратном направлении и поэтому проходит меньшее расстояние, чем при прямойколлинеарной дифракции.Как было отмечено выше, величина полосы АО взаимодействия являетсясложной функцией от параметров , и .

Для уточнения вида этой функциидля каждого наперёд заданного значения численно рассчитывался график∆(, ) на сетке 0 < (, ) < 100. Расчёт показал, что полоса изменяетсялишь в определённом направлении при смещении расчётной точки на плоскости(, ). Данный факт связан с тем, что при малой эффективности АО взаимо­действия параметры и входят в выражение для интенсивности лишь вкомбинации ( + /2). Это позволило использовать две наиболее простые мо­78дели:(︂∆ = 1+2)︂(︂+ 0 ,∆ = 2+2)︂2+ 0 .(2.74)В таблице 2.1 приведены коэффициенты для указанных моделей, рассчи­танные численно с использованием метода наименьших квадратов, а также ко­эффициенты корреляции .

Как видно из значений , линейная модель хорошоработает при > 0.1, в то время как квадратичная – при < 0.1.Таблица 2.1 — Зависимость коэффициентов линейной и квадратичной моделейдля расчёта полосы АО взаимодействия от безразмерной длины В результате анализа данных численного расчёта получены следующиеаналитические выражения для полосы АО взаимодействия:)︂2(︂0.28π2 6 0.1 : ∆ = 0.09 ++,2(2.75)0.28π2 > 0.1 : ∆ = ++.2Численное моделирование позволило установить, что при малых значени­ях , ≈ 1 наблюдается локальный минимум полосы ∆, положение которогозависит от величины и не может быть описано в рамках приведённых моде­лей при > 0.01 .

Поэтому необходимо усложнить вид аппроксимирующей79функции до поверхности второго порядка, а при больших значениях длины АОвзаимодействия > 4 – до поверхности четвёртого порядка.Анализ показал, что для определения универсальной аппроксимирующейфункции необходимо изменять диапазон значений и при изменении пара­метра . Пусть длина АО взаимодействия порядка одного сантиметра ≈ 1 см,а интенсивность в первом дифракционном порядке больше, чем −1 > 10−5 . Вэтом случае можно получить оценку величин = ·10−3 = и = ·10−3 см−1 ,где – некое число, которое больше единицы.

При характерных значенияхα, α ≈ 1 см−1 можно определить диапазон значений безразмерных парамет­ров 0 6 , 6 103 /, в котором необходимо проводить аппроксимацию.Как показано ранее, при малых значения и полоса ∆ описывает­ся квадратичной функцией, а при больших – линейной. Подобными свойствами√︀обладает гипербола, повёрнутая на 45 градусов: = 2 + 20 . Более детальноеисследование показало, что аппроксимация данной функцией даёт значитель­ную погрешность (>10%) при , ≈ 0 из-за того, что в этой области функция∆(, ) более полога, чем гипербола. Поэтому было предложено использоватьаппроксимацию гиперболой четвёртой степени, которая снизила погрешность до6%:⎯]︃2⎸(︂)︂4 [︃(︂)︂⎸2 20.28π4∆ = ⎷ +++ 1.12 .(2.76)2В среде, в которой отсутствует затухание звука, соотношение (2.76) пере­ходит в (2.66).

Из него следует, что затухание звука увеличивает полосу АОвзаимодействия. Кроме этого, при малой эффективности дифракции парамет­ры и входят в выражения для интенсивности 1 и для полосы ∆ в видеодной и той же комбинации ( + /2).802.2.6.2 Обратная дифракция при противонаправленности волновоговектора акустической волны и волнового вектора электромагнитнойволны нулевого дифракционного порядкаВ данном разделе проведён анализ обратной дифракции в случае, когдападающая электромагнитная волна распространяется навстречу акустической.Начало координат, как и ранее, задаётся точкой входа электромагнитной волныв область АО взаимодействия, а координатная ось направлена в ту же сторону,что и ⃗0 (см.

рисунок 2.27).б)а)Рисунок 2.27 — Обратная коллинеарная АО дифракция: а) ход лучей в АОячейке и б) векторная диаграммаУравнения связанных мод и граничные условия для этой геометрии АОвзаимодействия записываются следующим образом:[︂]︂0− (1 − ξ)=−0 + 1 expexp( ξ), 0 (0) = 1,ξ222[︂]︂(2.77)1− (1 − ξ)=1 − 0 expexp(− ξ), 1 (1) = 0.ξ222Можно показать, что в приближении прозрачной среды ( = 0) решениеданной системы уравнений совпадает с решением (2.72). Расчёт показывает, чтодаже если условие брэгговского синхронизма не выполнено ( ̸= 0), то невзаим­ность при смене направления ⃗0 на противоположное не проявляется.81В поглощающей среде ( ̸= 0) решение уравнений связанных мод присинхронном взаимодействии ( = 0) имеет вид:[︃ν+ 21 (2 )−ν+ 12 (2 ) + ν− 12 (2 )ν+ 21 (2 )]︃2(︂1exp0 =ν− 12 (2 )ν+ 12 (1 ) + ν+ 21 (1 )−ν+ 21 (2 )2[︃]︃2ν− 21 (2 )−ν+ 12 (1 ) − ν− 12 (1 )−ν+ 21 (2 )1 =.ν− 12 (2 )ν+ 12 (1 ) + ν+ 12 (1 )−ν+ 21 (2 ))︂,(2.78)Выражения (2.78) для интенсивностей электромагнитных волн в нулевоми первом дифракционных порядках отличаются от полученных в предыдущемпараграфе (2.68).

Это позволяет сделать два важных вывода:1. Невзаимность при смене направления распространения электромагнит­ной волны на противоположное наблюдается только в режиме обратнойколлинеарной дифракции;2. Она проявляется лишь в том случае, когда в среде есть поглощениеэлектромагнитных волн и нельзя пренебречь затуханием акустическихволн.Для режима малой эффективности АО взаимодействия было выведеноследующее выражение для 1 при нарушении условия брэгговского синхронизма( ̸= 0):1 =exp(−2 )×4(/2 − )2 + 4 2(2.79)× {1 + exp[−2 (/2 − )] − 2 exp[− (/2 − )] cos( )}.Продифференцировав выражение для 1 по параметру и приравняв кнулю, можно получить следующее соотношение для оптимальной длины opt :(︂)︂1 opt =ln.(2.80)/2 − 2Из полученного выражения видно, что opt = ∞ в отсутствии затуханияакустической волны ( = 0) или поглощения электромагнитных волн в среде( = 0).

И только при наличии обоих факторов можно говорить об ограниче­нии оптимальной длины. Это связано с тем, что при увеличении координаты ξамплитуда электромагнитного поля уменьшается, а акустического, наоборот, –увеличивается. Это приводит к уменьшению интеграла перекрытия указанных⃗ Очевидно, что как при бесконечно малой,полей, чего не было при ⃗0 ↑↑ .82так и при бесконечно большой длине АО взаимодействия интенсивность в пер­вом порядке будет стремиться к нулю. Таким образом, существует некотороеоптимальное значение opt , зависящее от и .Исследование показало, что в области (, ) < 2 полученное выражениедля opt даёт погрешность более 5%. Это обусловлено с тем, что связь междуэлектромагнитной и акустической волнами усиливается, и режим малой эффек­тивности дифракции нарушается.

Поэтому в этом случае необходимо прибегатьк численному расчёту, результаты которого приведены на рисунках 2.28 и 2.29.На рисунках минимальное значение параметра было ограничено 10−2 , по­скольку в области малых оптимальная длина неограниченно возрастает. Каквидно из графиков, зависимость opt ( ) имеет два максимума.